一类二阶脉冲微分方程解的存在性
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长沙 ４ ００ ； ．南 华大学 １２ ０ ２ 数理学 院 ，湖南 衡 阳 ４ １０ ） ２０ １
（ ．湖南信息职业技术学院 ，湖南 １
摘
要 ： 用 单调 迭 代 技 巧 和 上 、 解 方 法讨 论 了一 类 二 阶脉 冲微 分 方程 的周 期 边 值 问题 ， 到 了该 方 程 的 最 大 值 运 下 得
（） １ （） ２
文 献 ［ ４ 拓展 了上 、 ３— ］ 下解 的定 义 ， 获得 了如下 的二 阶泛 函微分方 程 （ ） ２ 的一些 新 的结果 。
一
Ｙ （）： （ ，（ ） Ｙ ０ ｔ ） ，∈Ｊ ｙ Ｏ Ｙ Ｔ ， （ ）＝ Ｔ 。 ” ｔ ｇ ｔｙ ｆ ， （ （） ） ｔ ， （ ）＝ （ ） ｙ Ｏ ｙ ） Ｙ（ ）＝（ ＋ （） ｙ ｔ ｔ （） ，∈Ｊ ｔ ”ｔ １ Ｐ ｔ ） ）＋ ， ｔ ） ｔ ，≠ｔ， Ｙ
近年来 ， 运用 单调 迭代方 法研 究脉 冲微 分 方 程边 值 问题 ， 得 了一些 好 的 结果 。文献 ［ ～２ 研 究 了如 取 １ ］ 下 的二 阶微 分方 程 （ ） １ 在存 在 上解 ｕ和下解 （ （ ） （ ） 时的边 界值 问题 Ⅱｔ ｔ）
一
Ｙ （）＝ ｔ （） ） ｔ ） ｔ ，（ ）＝ （ ，，０ ｙ ） ”ｔ ｇ（， ｔ ， ） ， ∈Ｊ ｙ ０ Ｙ ） ） ） Ｔ 。 Ｙ ，
为定义方 程 （ ） ３ 的解 ， 我们 引入 如下空 间 ：
Ｐ Ｊ ＝｛ ：一ＲＩ ｔ ｕ ’ｔ是连续的， ｔ ｔ ｕ （） Ｃ（ ） ｕ． ≠￡ ｕ（） ， 当 ， 当 ＝ ＾ ‘ ｔ是左连续的， Ｍ ￡ 存在， １２ …， ， 且 ‘ ） ＝ ，，
ｍ，＝ １ … ，｛ ０， ， ｒ 。
１ ０ ，
ｚ ｔ ｐ ｔｚ ｔ ＿ ，∈ ，≠ｔ， ＜ ）＋ （ ）（ ） １ｔ Ｊ ｔ ４
ｙ（ ≤ｙ ｔ）＋（ 一ｃ） （ ） ｔ ｔ， ＝１２ … ， ， ） ｆ １ Ｙ ｔ ， ＝ Ｊ ， ， ｍ， Ｉ ｝
ｙ ｏ ｙ ） （ ）＝ （ ， 成立 ， ｅ ＞１ ｃ， 且 １ ｉ （） ４
则在 ． ，（ ） ０ 其 中 ， ｙｔ＜ ， 上 －
ｆ
ｑ （）＝｛
当函数 Ｙ∈Ｐ Ｊ 满足 方程 （ ） ， Ｃ （） ３ 时 我们 就说 函数 是 方程 （ ） ３ 的解 。
１ 引 理
引理 １ 设 ｈ∈Ｐ （ ） Ⅱ ０使 Ｃ － ， ， ｙ ｔ ＾ ｔＹ ｆ ， ∈ ，≠ｔ， ）＋ （） （） ｔ Ｊ ｔ ｙ ￡ ｙ ｔ） ｔ （ ） （ ，＝ｔ， ＝１２， ， Ｙ ０ （ ） ， … ｍ，（ ） Ｔ
和 最 小值 存 在 定 理 。
关 键 词 ： 下解 ； 上 周期 边值 问题 ； 冲微 分 方 程 脉 中 图 分 类 号 ： １５ １ ０ ７ ．２ 文献标志码 ： Ａ 文章 编 号 ：０９— ９ ７ ２ １ １ ０ ５ ０ １０ ３０ （００）２— ０ ３— ４
Ｏ 引 言
（ ） ） ） ， ｙ０ ＞ ） ｙ ０ 一， ） ） ｙ ，
ｙ ０ ） ） 。
１ ０ ，
ｆ ｙ０ 一 ）， ０ ＞，Ｔ ， 专（ ） ｙＴ ）ｙ ） ， ） ＜ 证明 令 （）：，（）＋ （）＋ｑ ￡， ） ￡ Ｙ （） 其中 ｑ ￡ （）＝｛ 则
Ｙ ￡ ， （ 分 别表示 Ｙ ｔ 在 ｔ 时 的 左 极 限 和 右 极 限 ， 且 Ｍ （ｆ）＝｜ ［ （ ＋ｈ （ ） Ｙ ￡ ） （） ＝ｔ 并 ，ｆ ｉ ｈ ｕｔ ａ ｒ ）一ｕ ｔ） ， （ ］ Ｍ ）＝ｌ 一［ （ ｈ ｆ ｉ ｈ ｕ ｔ ＋ ）一ｕ ｔ） 。 ａ ｒ （ ］
成 立 ， ｅｐ ＾ ｓ ｄ ）＞ｒ ｌ 则 在 －上 ，（ ） 。 且 ｘ （ （）ｓ １ 口， ， Ｙ ｔ
根 据文 献 ［ ］ ５ 中的引理 ２易 证 ， 处略 。 此 弓 理 ２ 设 ｐ ｔ ∈ｃ ｔ ，。 （ ） ｓ ０ ｃ ０，：１ ２ … ， 使 ｌ （ ） （ ） ｆｐ ｓ ｄ ＞ ， ， Ｔ ｉ ， ， ｍ，
在 本文 中 ， 我们 将讨论 如下 的二 阶脉 冲微分 方 程 ：
一
△ （ ） （ （ ） ，＝ｔ， ＝１２ … ， ｙ ｔ ＝ Ｙ ｔ ） ｔ 尼 ， ， ｍ，
△， ＝Ｈ （ （ ） ｔ ＾Ｉ＝１２， ， ） ） ｋ Ｙ ｔ） ，＝ｔ， ｔ ｊ ， … ｍ， ２
第２ Ｏ卷
第 ｌ ２期
长
春
大
学
学
报
Ｖｏ ． ０ Ｎｏ ２ １２ ．１ Ｄｅ ｃ．２０１ ０
２１ ００年 １ ２月
Ｊ ０ＵＲＮＡ Ｌ ＯＦ ＣＨＡＮ ＧＣＨＵＮ Ｕ ＶＥ Ｉ Ｙ ＮＩ ＲＳ Ｔ
一
类 二 阶脉 冲 微 分 方程 解 的存 在 性
朱焕桃 ，关开 中
ｒ、 ３
ｙ０ （ ）＝ｙ Ｔ ， ｔ ） ７ 。 （ ） ｙ ｏ ＝ｙ ’ ）
其 中 Ｊ＝［ ， ］０＝ｏ Ｉ ２ ０ Ｔ ， ｔ＜ｔ＜ｔ＜… ＜ ＜ｔ＋ ＝Ｔ△ （ Ｙ ）一 （ ） △ ， ）＝ （ ）一，（２） ｔ ｌ ， ｔ）＝ （ Ｙ ， （ ， ，ｔ ， ，
收稿 日期 ：０ ０１ － ２１． ２ ０ ０ 基金项 目： 湖南省教育厅资助科研项 目［０ ０５ ］ １Ｃ ２ ８ 作者简介 ： 朱焕桃 （９０ ） 男 ， １７ 一 ， 湖南双峰人 ， 副教授 ， 硕士 ， 主要从事微分 方程等方 面研 究。
长
春大ຫໍສະໝຸດ 学学报 第２ ０卷
Ｙ （）＋（ （ ） ），ｔ ｐ ｔｙ ｔ ｑ （） ０ ｔ ，ｔ ， ”ｔ Ｐ ｔ ＋１ ， ）＋ （） （）＋ ｔ － ，Ｅ． ≠ ＜ ， Ｙ ￡ ≤ｃ （ ） ｔ ｔ， （ ） ｔ ， ＝ Ｙ ＝１２ … ， ， ， ｍ，
（ ．湖南信息职业技术学院 ，湖南 １
摘
要 ： 用 单调 迭 代 技 巧 和 上 、 解 方 法讨 论 了一 类 二 阶脉 冲微 分 方程 的周 期 边 值 问题 ， 到 了该 方 程 的 最 大 值 运 下 得
（） １ （） ２
文 献 ［ ４ 拓展 了上 、 ３— ］ 下解 的定 义 ， 获得 了如下 的二 阶泛 函微分方 程 （ ） ２ 的一些 新 的结果 。
一
Ｙ （）： （ ，（ ） Ｙ ０ ｔ ） ，∈Ｊ ｙ Ｏ Ｙ Ｔ ， （ ）＝ Ｔ 。 ” ｔ ｇ ｔｙ ｆ ， （ （） ） ｔ ， （ ）＝ （ ） ｙ Ｏ ｙ ） Ｙ（ ）＝（ ＋ （） ｙ ｔ ｔ （） ，∈Ｊ ｔ ”ｔ １ Ｐ ｔ ） ）＋ ， ｔ ） ｔ ，≠ｔ， Ｙ
近年来 ， 运用 单调 迭代方 法研 究脉 冲微 分 方 程边 值 问题 ， 得 了一些 好 的 结果 。文献 ［ ～２ 研 究 了如 取 １ ］ 下 的二 阶微 分方 程 （ ） １ 在存 在 上解 ｕ和下解 （ （ ） （ ） 时的边 界值 问题 Ⅱｔ ｔ）
一
Ｙ （）＝ ｔ （） ） ｔ ） ｔ ，（ ）＝ （ ，，０ ｙ ） ”ｔ ｇ（， ｔ ， ） ， ∈Ｊ ｙ ０ Ｙ ） ） ） Ｔ 。 Ｙ ，
为定义方 程 （ ） ３ 的解 ， 我们 引入 如下空 间 ：
Ｐ Ｊ ＝｛ ：一ＲＩ ｔ ｕ ’ｔ是连续的， ｔ ｔ ｕ （） Ｃ（ ） ｕ． ≠￡ ｕ（） ， 当 ， 当 ＝ ＾ ‘ ｔ是左连续的， Ｍ ￡ 存在， １２ …， ， 且 ‘ ） ＝ ，，
ｍ，＝ １ … ，｛ ０， ， ｒ 。
１ ０ ，
ｚ ｔ ｐ ｔｚ ｔ ＿ ，∈ ，≠ｔ， ＜ ）＋ （ ）（ ） １ｔ Ｊ ｔ ４
ｙ（ ≤ｙ ｔ）＋（ 一ｃ） （ ） ｔ ｔ， ＝１２ … ， ， ） ｆ １ Ｙ ｔ ， ＝ Ｊ ， ， ｍ， Ｉ ｝
ｙ ｏ ｙ ） （ ）＝ （ ， 成立 ， ｅ ＞１ ｃ， 且 １ ｉ （） ４
则在 ． ，（ ） ０ 其 中 ， ｙｔ＜ ， 上 －
ｆ
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当函数 Ｙ∈Ｐ Ｊ 满足 方程 （ ） ， Ｃ （） ３ 时 我们 就说 函数 是 方程 （ ） ３ 的解 。
１ 引 理
引理 １ 设 ｈ∈Ｐ （ ） Ⅱ ０使 Ｃ － ， ， ｙ ｔ ＾ ｔＹ ｆ ， ∈ ，≠ｔ， ）＋ （） （） ｔ Ｊ ｔ ｙ ￡ ｙ ｔ） ｔ （ ） （ ，＝ｔ， ＝１２， ， Ｙ ０ （ ） ， … ｍ，（ ） Ｔ
和 最 小值 存 在 定 理 。
关 键 词 ： 下解 ； 上 周期 边值 问题 ； 冲微 分 方 程 脉 中 图 分 类 号 ： １５ １ ０ ７ ．２ 文献标志码 ： Ａ 文章 编 号 ：０９— ９ ７ ２ １ １ ０ ５ ０ １０ ３０ （００）２— ０ ３— ４
Ｏ 引 言
（ ） ） ） ， ｙ０ ＞ ） ｙ ０ 一， ） ） ｙ ，
ｙ ０ ） ） 。
１ ０ ，
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Ｙ ￡ ， （ 分 别表示 Ｙ ｔ 在 ｔ 时 的 左 极 限 和 右 极 限 ， 且 Ｍ （ｆ）＝｜ ［ （ ＋ｈ （ ） Ｙ ￡ ） （） ＝ｔ 并 ，ｆ ｉ ｈ ｕｔ ａ ｒ ）一ｕ ｔ） ， （ ］ Ｍ ）＝ｌ 一［ （ ｈ ｆ ｉ ｈ ｕ ｔ ＋ ）一ｕ ｔ） 。 ａ ｒ （ ］
成 立 ， ｅｐ ＾ ｓ ｄ ）＞ｒ ｌ 则 在 －上 ，（ ） 。 且 ｘ （ （）ｓ １ 口， ， Ｙ ｔ
根 据文 献 ［ ］ ５ 中的引理 ２易 证 ， 处略 。 此 弓 理 ２ 设 ｐ ｔ ∈ｃ ｔ ，。 （ ） ｓ ０ ｃ ０，：１ ２ … ， 使 ｌ （ ） （ ） ｆｐ ｓ ｄ ＞ ， ， Ｔ ｉ ， ， ｍ，
在 本文 中 ， 我们 将讨论 如下 的二 阶脉 冲微分 方 程 ：
一
△ （ ） （ （ ） ，＝ｔ， ＝１２ … ， ｙ ｔ ＝ Ｙ ｔ ） ｔ 尼 ， ， ｍ，
△， ＝Ｈ （ （ ） ｔ ＾Ｉ＝１２， ， ） ） ｋ Ｙ ｔ） ，＝ｔ， ｔ ｊ ， … ｍ， ２
第２ Ｏ卷
第 ｌ ２期
长
春
大
学
学
报
Ｖｏ ． ０ Ｎｏ ２ １２ ．１ Ｄｅ ｃ．２０１ ０
２１ ００年 １ ２月
Ｊ ０ＵＲＮＡ Ｌ ＯＦ ＣＨＡＮ ＧＣＨＵＮ Ｕ ＶＥ Ｉ Ｙ ＮＩ ＲＳ Ｔ
一
类 二 阶脉 冲 微 分 方程 解 的存 在 性
朱焕桃 ，关开 中
ｒ、 ３
ｙ０ （ ）＝ｙ Ｔ ， ｔ ） ７ 。 （ ） ｙ ｏ ＝ｙ ’ ）
其 中 Ｊ＝［ ， ］０＝ｏ Ｉ ２ ０ Ｔ ， ｔ＜ｔ＜ｔ＜… ＜ ＜ｔ＋ ＝Ｔ△ （ Ｙ ）一 （ ） △ ， ）＝ （ ）一，（２） ｔ ｌ ， ｔ）＝ （ Ｙ ， （ ， ，ｔ ， ，
收稿 日期 ：０ ０１ － ２１． ２ ０ ０ 基金项 目： 湖南省教育厅资助科研项 目［０ ０５ ］ １Ｃ ２ ８ 作者简介 ： 朱焕桃 （９０ ） 男 ， １７ 一 ， 湖南双峰人 ， 副教授 ， 硕士 ， 主要从事微分 方程等方 面研 究。
长
春大ຫໍສະໝຸດ 学学报 第２ ０卷
Ｙ （）＋（ （ ） ），ｔ ｐ ｔｙ ｔ ｑ （） ０ ｔ ，ｔ ， ”ｔ Ｐ ｔ ＋１ ， ）＋ （） （）＋ ｔ － ，Ｅ． ≠ ＜ ， Ｙ ￡ ≤ｃ （ ） ｔ ｔ， （ ） ｔ ， ＝ Ｙ ＝１２ … ， ， ， ｍ，