一类二阶脉冲微分方程解的存在性

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Banach空间一类二阶脉冲微分方程解的存在性

ｓａｅｗａｂａｎｄｂｓｎｈｏｃｉｅ－ｏｎｈｏｅｉｈｏｄｔｏｆａｃｒａｎｎｎｃｍｐｃｉｅｐｃｓｏｔｉｅｙｕｉｇｔｅＭｎｈｆｘｄｐｉｔｔｅｒｍｎｔｅｃｎｉｉｎｏｅｔｉｏ－ｏａｔｖ
问题解的存在性．关键词：非紧性测度；冲；周期边值问题脉
中图分类号：７．０１５８文献标识码：Ａ
Ｅｘｓｅｃｆｓｕｉｎｓｔｌｓｆｓｃｎｄｏｄｒｉｐｕｌｉｅｉｔｎｅｏｏｌｔｏｏａｃａｓｏｅｏ－ｒｅｍｓｖｄｉｆｒｎｔａｑｕｔｏｓｉｎａｈｐｃｆｅｅｉｌｅａｉｎｎＢａｃｓａｅ
（）１
出Ｐ［，在范数ｌＰ—ｓｐｌ（ｌＣＪ明ｌｌＣｕｚ￡下为Ｂ — ｌｚｌ）ｌａｎｃ空间，Ｃ［，］ｌ一ｍａ｛ｌ，ａｈＰ，ＪＥ在ｌｌｌＸｘｌｌｌｘ
．
一
Ｉｕ一Ｉ（（），ｌＡ：ｋ￡）Ｉ
【０Ｕ（）一（，Ｕ（）一Ｕ（２）０２）
ｌ，ｌ）ｌｌ下亦为Ｂｎｃ空间．ｘａａｈ
以下谈到问题（）解是指Ｕ∈ＰＣ［Ｅ］ｎ１的，Ｊ，ＯＥＥ且满足问题（）Ｊ，］１中各式．
解的存在性．式中：Ｊ一［，，＞００ｔ＜￡＜Ｌ＜ｔ＜２，０２］Ｍ，＜１２ｖｎ
Ｊ一八｛１ｔ，ｔ）ｆ（，）Ｊ× Ｅ— Ｅ，， ∈ ￡，Ｌ，，ｔｓ：２Ｐ

一类奇异二阶脉冲微分方程三点边值问题正解存在性

引理１设Ｑ。是Ｅ中以０为中心的开球，０翻，Ｑ２且 ∈
解以及多个正解的存在性．抽象空间中带脉冲的奇异边值问
题是脉冲微分方程领域比较新的分支，文献［．］７【分别讨论］８
了两类奇异脉冲微分方程解及正解的存在性．文献【】Ｒ１在
ｙｘ．∈ＣＰＰ， ∈ｃＰＸＥＰ，＝ｘＣ［ＥＸ１ｔ－ ∈ＰＩ［，Ｉ［，］｛∈Ｐ，］（ｔｋ】ｋＱＪｘ）＞０ ∈
非线性脉冲微分方程是微分方程的一个重要分支，文献
【，】［，】１１１【及６【，０针对不同的方程类型，】２】９［在不同的空间中分
Ｐ［Ｅ＝ｘ－￣，（ｔ续，ｔｔ左连续右极限ＣＪＩ｛Ｊ－ｘＩ＃ｔ连，：－Ｅ ’）在在＝ｋ
引理２ｘＣ【Ｅｎｃ［，】【ＥＰ，］。’ 是方程（）剖ＪＪＥ１的正解当且仅当ｘＣ［Ｅ是方程（正的不动点．ＥＰ，］Ｊ２）
则Ａ在Ｐｃｎ。ｎ（）中至少有一个不动点．考察算子方程Ａ（＝（中ｘＩｘ１））其
解的存在性，２Ｂｎｃ间中利用严格集压缩算子范文【】ａａｈ空在
数形式的锥拉伸锥压缩不动点定理讨论了方程（）１的一种特
Ａ（Ｇ，（（ｘ）＋Ｉ（＋—ｉ（ｘ）ｘ：（），）（ｄ ∑［ｘ）（Ｏ（ｋ’ ］ｔ）ｔｓｓ・ｓｋｔｔｋｔ㈨ｓｘ，ｓｆ）（ｋｔｘ）），
，
ｓ１ｔｃ（７（）ｃｔ－＋ｑ－￣
１ｅｑ－ｃ
Ｔ≤ｓ ≤１ｌ ≤ｔ
记Ｉｂ】。＝ ’ ．

一类二阶时滞微分方程多点边值问题正解的存在性

郑春华，刘楠
（陕西工业职业技术学院基础部，陕西咸阳７２０）１００
摘
要：究了一类时滞微分方程的多点边值问题。利用单调迭代方法在未引入上下解的条件下得到了该边值问研
题正解存在的充分条件，并确立了收敛到该正解的迭代序列，推广和改进了一些已有结果关键词：时滞微分方程；多点边值问题；单调迭代；正解
Ｚｈｎｕｈａ，ＬｕＮａｅｇＣｈｎｕｉｎ
（ａｉＤｐｒｎ，ｈａｘＰｌｅｈｉＩｓｔｔ，ｉｙｎｈａｘ７２０，ｈａＢｓｅａｔｔＳａｎｉｏｔｃｎｃｎｔｕｅＸａａｇＳａｎｉ１００Ｃｉ）ｓｍｅｙｉｎｎ
收稿日期：０２～３— ２１４
作者简介：郑春华（９２一）男，１８，河南漯河人，助教，研究方向：微分方程边值问题。
陕西工业职业技术学院学报
ｒ
２１０２拄
（）＋Ａ（）（，ｔ）：０ｔ∈ ［，］ｔｐ厂ｔ（ — ）０１
中图分类号：１５８０７．文献标识码：Ａ文章编号：５９９—２１（）一Ｏ５一ｏ４０２２０４４
ＳｃｎｄＯｒｅｆｅｅｉｌＥｑｔｏＷｉｈＭｕｉｌ —ｐｉｅｏｄｒＤｉｒｎｔａｕａｉｎｔｔｐｉ・ｏｎｔ — ＢｏｄｒｌｎｄｔｏｎｌｙｕｎａｙＶａｕｅＣｏｉｉｎｓａｄＤｅａ
ｏｔｉｅｎｏｒｓｎｉｇｉｒｔｅｓｈｅｓｗｈｃｏｖｒｅｔｈｅｓｌｔｏｓａｅｅｔｂｉｈｄ．Ｓｍｅｋｏｅｕｔｂａｎｄａｄｃｒｅｐｏｄｎｔａｉｃｍｅｉｈｃｎｅｇｏｔｏｕｉｎｒｓａｌｓｅｅｖｏｎｗｎｒｓｌｓａｅｅｔｎｅｎｍｐｏｅｒｘｅｄｄａｄｉｒｖｄ．Ｋｅｒｓｄｆｒｎｉｌｑａｉｎｙｗｏｄ：ｉｆｅｔａｅｕｔｗｉｈｅａｅｏｔｄｌｙ；ｍｕｔｌ — ｐｉｔｏｎｒｖｌｐｏｌｍ；ｍｏｏｏｅｔｒｔｎ；ｌｉｅｐｏｎｂｕｄａｙａｕｅｒｂｅｎｔｎｉａｉｅｏ

第三章一阶微分方程的解的存在性定理

证明: •微分方程的初值问题的解满足积分方程（3.1.6）。
•积分方程（3.1.6）的连续解是微分方程的初值问题的解。
返回 § 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Me前th进od
证明
因为 y(x) 是方程(3.1.1)的解，故有: d(x)f(x,(x)) 两边从x0 到 x 积分得到:
x
x0 f (,y0)dM(xx0)M hb
返回
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Me前th进od
1(x) 在 x0xx0h上有定义,连续
即命题2 当 n=1 时成立。
现在用数学归纳法证明对于任何正整数 n ，命题2都成立。
dx
x (x )(x 0 )x 0f(x ,(x )d ) x x 0 x x 0 h
把(3.1.2)代入上式,即有:
x (x ) y 0x 0f(x , (x )d )x x 0 x x 0 h
因此, y(x)是积分方程在 x0xx0h上的连续解.
返回
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Me前th进od
即命题２在 n=k＋１时也成立。
由数学归纳法得知命题２对于所有 n 均成立。命题２证毕
命题３函数序列 n(x)在 x0xx0h上是一致收敛的。
考虑级数:

0(x )[k(x )k 1 (x )]x 0 x x 0 h k 1
定理1的证明需要证明五个命题：
命题 1 求解微分方程的初值问题等价于

一类二阶常微分方程组边值问题正解的存在性

第２６卷第３期２１年３月００
赤峰学院学报（自然科学版）ＪｕｎｌｆｈｅｇＵｉｒｉＮｔａＳｉｃｄｔｎｏｒａｏｉｎｎｖｓｙ（ａ ห้องสมุดไป่ตู้ ｅｅｉｏ）ＣｆｅｔｕｌｃｎＥｉ
Ｖ０．．１２６Ｎｏ３
且
ａ
（－）Ｏ１ｓｆ一．，ｋｔ）（ｓ，＝（＿）１ｓ，（ｓ（ｓ，１）ｔ）－－－
０≤ ｔｓ－ ≤ ＜ｑ￣
０≤ｔ ≤１且ｓ ≤ｓ ≥
≤ ｇ≤ ｔ１ ≤
Ｊ１一（ｓ。＝０－咖２ｄ＋ —咖】＜。ｂ（￥（ｓｏ８ｓ＋（）ｄ１－ｓ＜）
１５言Ｉ
为了证明此定理，我们首先做如下准备：
２预备知识和引理
非线性常微分方程三点边值问题的研究起源于Ｃｕｔｐ［ａＪ
此后，许多作者借助于Ｌｒｙｓｈｕｅ连续性理论及ｋａ— ｅａ—ｃａｄｒｒｓｎｓｌｉｓｏｅｋｉ不动点理论（１【【【］究了三点边值问题．ｓ ’ 见【】】】）２３４研
（．１）１
ｎ：ｎＫ．
那么Ａ至少有一个不动点在Ｋｆ（＼Ｑ。．３）
引理２２（１［１【０）设０１ｌ．［、、１】７９＜１，＜ｄＥＲ则对于ＶＹ ∈
正解的存在性．中ｅ（，）ｔＯ其Ｏ１，ｏ．＜定义（，ｅｃｏ１×ｃ０１被称为边值问题（．）ｕ）￣，ｖ（）２，）（１的一１
Ｍａ．００ｒ２１

二阶脉冲微分方程Dirichlet边值问题解的存在性

第60卷第3期吉林大学学报(理学版)V o l .60 N o .32022年5月J o u r n a l o f J i l i nU n i v e r s i t y (S c i e n c eE d i t i o n )M a y2022d o i :10.13413/j .c n k i .jd x b l x b .2021300二阶脉冲微分方程D i r i c h le t边值问题解的存在性何婷(西安电子科技大学数学与统计学院,西安710126)摘要:用L e r a y -S c h a u d e r 不动点定理,研究二阶脉冲微分方程D i r i c h l e t 边值问题-u ᵡ(x )+c (x )u (x )+ðp i =1c i δ(x -x i )u (x )=h (x ,u (x ))+ðqj =1h j δ(x -y j ), x ɪ(0,1),u (0)=u (1)=ìîíïïïï0解的存在性,其中:c ɪC ([0,1],ℝ),h ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),c i ,h j ɪℝ,i =1,2, ,p ,j =1,2, ,q ;p ,q ɪℕ;D i r a c δ-函数为当x ʂ0时,δ(x )=0,δ(0)=+ɕ,ʏ+ɕ-ɕδ(x )d x =1;点0<x 1<x 2< <x p <1和0<y 1<y 2< <y q <1为给定的脉冲点.设存在p (㊃),q (㊃)ɪL 2[0,1],使得h (x ,u )ɤq (x )+p (x )u ,x ɪ[0,1],u ɪℝ.关键词:非线性微分方程;脉冲;L e r a y -S c h a u d e r 不动点定理;D i r i c h l e t 边值问题中图分类号:O 175.8 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2022)03-0475-06E x i s t e n c e o f S o l u t i o n s f o r S e c o n d -O r d e r I m pu l s i v eD i f f e r e n t i a l E q u a t i o n sw i t hD i r i c h l e t B o u n d a r y Va l u eP r ob l e m s H ET i n g(S c h o o l o f M a t h e m a t i c s a n dS t a t i s t i c s ,X i d i a nU n i v e r s i t y ,X i a n 710126,C h i n a )A b s t r a c t :B y u s i n g L e r a y -S c h a u d e r f i x e d p o i n t t h e o r e m ,t h e a u t h o r s t u d i e s e x i s t e n c eo f s o l u t i o n s f o r s e c o n d -o r d e r i m p u l s i v e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hD i r i c h l e t b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s -u ᵡ(x )+c (x )u (x )+ðp i =1c i δ(x -x i )u (x )=h (x ,u (x ))+ðqj =1h j δ(x -y j ), x ɪ(0,1),u (0)=u (1)=0ìîíïïïï,w h e r e c ɪC ([0,1],ℝ),h ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),c i ,h j ɪℝ,i =1,2, ,p ,j =1,2, ,q ;p ,q ɪℕ,t h e D i r a c d e l t a f u n c t i o n δ(x )=0w h e n x ʂ0,δ(0)=+ɕ,ʏ+ɕ-ɕδ(x )d x =1,po i n t s 0<x 1<x 2< <x p<1a n d 0<y 1<y 2< <y q <1a r e g i v e n i m p u l s e p o i n t s .T h e r ee x i s t p (㊃),q (㊃)ɪL 2[0,1]s u c ht h a t h (x ,u )ɤq (x )+p (x )u ,x ɪ[0,1],u ɪℝ.K e y w o r d s :n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ;i m p u l s e ;L e r a y -S c h a u d e rf i x e d p o i n tt h e o r e m ;D i r i c h l e t b o u n d a r y va l u e p r ob l e m 收稿日期:2021-08-08.作者简介:何婷(1997 ),女,汉族,硕士研究生,从事常微分方程边值问题的研究,E -m a i l :h e t i n g 3522896862@163.c o m.基金项目:国家自然科学基金(批准号:12061064).1 引言与主要结果考虑二阶脉冲微分方程D i r i c h l e t 边值问题-u ᵡ(x )+c (x )u (x )+ðp i =1c i δ(x -x i )u (x )=h (x ,u (x ))+ðq j =1h j δ(x -y j ), x ɪ(0,1),u (0)=u (1)=0ìîíïïïï,(1)其中:c ɪC ([0,1],ℝ),h ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),c i ,h j ɪℝ,i =1,2, ,p ,j =1,2, ,q ;p ,q ɪℕ;D i r a c δ-函数为当x ʂ0时,δ(x )=0,δ(0)=+ɕ,ʏ+ɕ-ɕδ(x )d x =1;点0<x 1<x 2< <x p<1和0<y 1<y 2< <y q <1为给定的脉冲点.存在p (㊃),q (㊃)ɪL 2[0,1],使得h (x ,u )ɤq (x )+p (x )u , x ɪ[0,1], u ɪℝ.(2) 问题(1)在物理㊁数学和工程等领域应用广泛[1-5].本文首先在条件(2)下证明问题(1)解的存在性;其次证明问题(1)等价于-u ᵡ(x )+c (x )u (x )=h (x ,u (x )), x ɪI k , k =1,2, ,r +1,u (0)=u (1)=0,Δu ᶄ(z k )=c k u (z k )-h k ,k =1,2, ,r ìîíïïïï.(3)关于脉冲微分方程(3)这类方程目前已有很多研究成果[6-11].其中L i u 等[6]研究了-u ᵡ(t )+g (t )u (t )=f (t ,u (t )), t ɪ[0,T ],u (0)=u (T )=0,Δu ᶄ(t j )=u ᶄ(t +j )-u ᶄ(t -j )=I j (u (t j )), j =1,2, ,ìîíïïïïm (4)在非线性项满足次线性㊁超线性和渐近线性3种情形下解的存在性,其中0=t 0<t 1<t 2< <t m <t m +1=T ,g ɪL ɕ[0,T ],f ɪC ([0,T ]ˑℝ,ℝ),I j ɪC (ℝ,ℝ),j =1,2, ,m .针对次线性情形,文献[6]用临界点理论证明了问题(4)解的存在性,得到如下结果:定理1[6] 假设:1)存在a ,b >0,γɪ[0,1),使得f (t ,u )ɤa +b u γ, (t ,u )ɪ[0,T ]ˑℝ; 2)存在a j ,b j >0,γj ɪ[0,1)(j =1,2, ,m ),使得I j (u )ɤa j +b j uγj, u ɪℝ, j =1,2, ,m ; 3)F (t ,u )=ʏu 0f (t ,s )d s 关于u 是凸函数,F (t ,u )ȡ0,t ɪ[0,T ];4)ʏsI j (t )d t 是凹函数,ʏsI j (t )d t ȡ0,s ɪℝ,j =1,2, ,m .当存在 t ɪ[0,T ]使得g ( t )>0时,问题(3)至少有一个解.本文在f (t ,u )至多线性增长的条件下讨论二阶脉冲微分方程D i r i c h l e t 边值问题(1)解的存在性.本文总假设:(H 1)c ɪC [0,1];(H 2)h ɪC ([0,1]ˑℝ,ℝ),存在p (㊃),q (㊃)ɪL 2[0,1],使得式(2)成立;(H 3)14ʏ10c -(x )d x -ðc i <0c ()i+12(m i n c +(x )+π2)-1/2p L 2(0,1)<1.本文主要结果如下:定理2 假设(H 1)~(H 3)成立,则脉冲问题(1)存在一个解u =u (x ),且满足 u C [0,1]ɤR ʒ=(m i n c +(x )+π2)-1/2 q L 2(0,1)+12ðqj =1h j 2-214ʏ10c -(x )d x -ðc i <0c ()i +12(m i n c +(x )+π2)-1/2 p L 2(0,1éëêêùûúú).674 吉林大学学报(理学版) 第60卷注1 带D i r a c 形脉冲问题的特征可参见文献[12-13],问题(1)这种形式有利于在泛函框架下定义弱解.注2 本文研究结果不仅得到了问题(1)解的存在性,还确定了解的上界.2 弱解的正则性令H ʒ=W 01,2(0,1),问题(1)的弱解u ɪH 满足下列积分等式:ʏ10u ᶄ(x )v ᶄ(x )d x +ʏ10c (x )u (x )v (x )d x +ðp i =1c iu (x i)v (x i)=ʏ10h (x ,u (x ))v (x )d x +ðq j =1h jv (y j), v ɪH .(5)定义{z 1,z 2, ,z r }ʒ={x 1,x 2, ,x p }ɣ{y 1,y 2, ,y q }, 1ɤr ɤp +q ;0=z 0<z 1<z 2< <z r <z r +1=1;I k =(z k -1,z k ), k =1,2, ,r +1; (0,1)\{z 1,z 2, ,z r }=ɣr +1k =1I k ;c k =c i 0,z k =x i 0,0,其他{;h k =h j 0,z k =h j 0,0,其他{.令D (I )(I ⊂ℝ)表示在I 上带有紧支撑的无穷次可微函数全体,k ɪ{1,2, ,r +1},选择v ɪD (I k ),且延伸v (x )=0,x ɪ(0,1)\I k ,则v ɪH .对式(5)分部积分,有ʏI ku ᶄ(x )-ʏxz k -ηc (τ)u (τ)d τ+ʏx z k -ηh (τ,u (τ))d []τv ᶄ(x )d x =0.(6)因为对任意的v ɪD (I k ),式(6)都成立,所以存在常数a ɪℝ,使得u ᶄ(x )-ʏxz k -ηc (τ)u (τ)d τ+ʏxz k -ηh (τ,u (τ))d τ=a , x ɪI k,(7)从而u ɪC 1(I k ).又由式(7)得u ᵡ(x )-c (x )u (x )+h (x ,u (x ))=0, x ɪI k ,(8)从而u ɪC 2(I k ).因此问题(1)在区间ɣr +1k =1I k 逐点成立.令0<η<m i n {z k -z k -1,z k +1-z k },选择v ɪD (z k -η,z k +η),且延伸v (x )=0,x ɪ(0,1)\(z k -η,z k +η),则v ɪH .对式(5)分部积分,有ʏz k +ηz k -ηu ᶄ(x )-ʏx z k -ηc (τ)u (τ)d τ-ʏxz k -ηc i u (τ)δ(τ-z k)d τ[+ʏxz k -ηh (τ,u (τ))d τ+ʏxz k -ηh j δ(τ-z k)d ]τv ᶄ(x )d x =0.(9)因为对于任意的v ɪD (z k -η,z k +η),式(9)都成立,所以存在常数a ɪℝ,使得u ᶄ(x )-ʏx z k -ηc (τ)u (τ)d τ-ʏxz k -ηc i u (τ)δ(τ-z k )d τ+ʏx z k -ηh (τ,u (τ))d τ+ʏxz k -ηh jδ(τ-z k)d τ=a , x ɪ(z k-η,z k+η).(10)由式(10)得Δu ᶄ(z k )ʒ=c k u (z k )-h k .(11)由于HC [0,1],所以u ɪC [0,1].而u ᶄ分段连续,点z 1,z 2, ,z r 为第一类间断点.问题(1)等价于问题774 第3期何婷:二阶脉冲微分方程D i r i c h l e t 边值问题解的存在性-u ᵡ(x )+c (x )u (x )=h (x ,u (x )), x ɪI k ,k =1,2, ,r +1,u (0)=u (1)=0{,(12)带脉冲条件Δu ᶄ(z k )=c k u (z k )-h k , k =1,2, ,r .(13) 满足式(12),(13)的函数u 即为脉冲问题(1)的古典解,通过上述证明可知每个弱解都是古典解.另一方面,每个古典解显然都是弱解.3 引理对于任意连续函数r (x )ȡ0(x ɪ[0,1])及实数r i ȡ0(i =1,2, ,p ),在空间H 中定义如下内积:(u ,v )=ʏ10u ᶄ(x )v ᶄ(x )d x +ʏ1r (x )u (x )v (x )d x +ðpi =1r i u (x i )v (x i ), u ,v ɪH ,则范数 u =(u ,u )1/2.设f (x )(x ɪ[0,1])和f i (i =1,2, ,p )为连续函数,定义算子F :H ңH 为(F (u ),v )=ʏ1f (x )u (x )v (x )d x +ðpi =1f i u (x i )v (x i ), u ,v ɪH .(14)定义算子S :H ңH 为(S (u ),v )=ʏ1h (x ,u (x ))v (x )d x +ðqj =1h j v (y j ), u ,v ɪH .(15)由于HC [0,1],因此F 为线性紧算子,S 为非线性紧算子.引理1 若u ɪH ,则u C [0,1]ɤ12u , u L 2(0,1)ɤ(m i n r (x )+π2)-1/2u . 证明:对任意u ɪH ,由文献[14]有 u C [0,1]ɤ12 u ᶄ L 2(0,1), u L 2(0,1)ɤ1πu ᶄ L 2(0,1),则 u2C [0,1]ɤ14ʏ10(u ᶄ(x ))2d x ɤ14ʏ10(u ᶄ(x ))2d x +ʏ10r (x )(u (x ))2d x +ðpi =1r i (u (x i))()2ɤ14u 2, u 2L 2(0,1)=m i n r (x )+π2m i n r (x )+π2ʏ10(u (x ))2d x ɤ1m i n r (x )+π2ʏ10(u ᶄ(x ))2d x +ʏ10r (x )(u (x ))2d x +ðpi =1r i (u (x i))()2ɤ1m i n r (x )+π2 u 2.证毕.引理2 对于由式(14)定义的算子F :H ңH ,有F (u ) ɤ14ʏ10f (x )d x +ðpi =1f ()i u .证明:由于u ɪH ,F :H ңH ,所以F (u )ɪH ,F (u ) =s u p v ɤ1(F (u ),v )=s u pv ɤ1ʏ10f (x )u (x )v (x )d x +ðp i =1f iu (x i)v (x i)ɤs u p v ɤ1u C [0,1] v C [0,1]ʏ10f (x )d x +ðpi =1f ()iɤ14ʏ10f (x )d x +ðp i =1f ()iu .874 吉林大学学报(理学版) 第60卷证毕.引理3 对于由式(15)定义的算子S :H ңH ,有S (u ) ɤ12(m i n r (x )+π2)-1/2 p L 2(0,1) u +(m i n r (x )+π2)-1/2q L 2(0,1)+12ðqj =1h j . 证明:由于u ɪH ,S :H ңH ,所以S (u )ɪH ,再结合条件(H 2),利用H öl d e r 不等式和M i n k o w s k i 不等式,有S (u ) =s u p v ɤ1(S (u ),v )=s u pv ɤ1ʏ10h (x ,u (x ))v (x )d x +ðqj =1h j v (y j)ɤs u p v ɤ1ʏ10(h (x ,u (x )))2d ()x 1/2ʏ10(v (x ))2d ()x 1/2+ v C [0,1]ðqj =1h jɤs u p v ɤ1v L 2(0,1)ʏ10(q (x )+p (x )u (x ))2d ()x 1/2+ v C [0,1]ðqj =1hj ɤ(m i n r (x )+π2)-1/2ʏ10(q (x ))2d ()x 1/2+ʏ10(p (x )u (x ))2d ()x 1/2+12ðqj =1h j ɤ(m i n r (x )+π2)-1/2 q L 2(0,1)+12 p L 2(0,1) u æèçöø÷ +12ðqj =1h j.证毕.引理4(L e r a y-S c a u d e r 不动点定理)[15] 设E 是B a n a c h 空间,算子T :E ңE 全连续,若集合{ x x ɪE ,x =θT x ,0<θ<1}有界,则T 在闭球A ⊂E 中必存在不动点,其中A ={x x ɪE , x ɤR }, R =s u p{ x x =θT x ,0<θ<1}.4 主要结果的证明下面证明定理2.令c +和c -分别表示c (x )的正部和负部,对应c ʃ=m a x {ʃc (x ),0},即c (x )=c +(x )-c -(x ).则问题(1)可以改写为-u ᵡ(x )+c +(x )u (x )+ðc i >0c i δ(x -x i )u (x )=c -(x )u (x )-ðc i<0c i δ(x -x i )u (x )+h (x ,u (x ))+ðq j =1h j δ(x -y j ), x ɪ(0,1),u (0)=u (1)=0ìîíïïïïïï.(16)取r (x )=c +(x ),r i =c i ,c i >0,0,c i <0{;f (x )=c -(x ),fi =0,c i >0,-c i ,c i <0{.则根据式(14),(15)算子的定义,问题(16)的弱解等价于算子方程u =F c -(u )+S (u )(17)的不动点,其中F c -,S :H ңH 为全连续算子.引入u =θ(F c -(u )+S (u )), θɪ(0,1).(18)设u 为式(18)的解,则根据引理2和引理3,有 u = θ(F c -(u )+S (u )) ɤ F c -(u ) + S (u ) <14ʏ10c -(x )d x -ðc i <0c ()iu +(m i n c +(x )+π2)-1/2ˑq L 2(0,1)+12 p L 2(0,1) u æèçöø÷ +12ðqj =1h j,从而974 第3期何婷:二阶脉冲微分方程D i r i c h l e t 边值问题解的存在性u C [0,1]<(m i n c +(x )+π2)-1/2q L 2(0,1)+12ðqj =1h j 2-12ʏ10c -(x )d x -ðc i <0c ()i+(m i n c +(x )+π2)-1/2p L2(0,1éëêùûú).令R ʒ=(m i n c +(x )+π2)-1/2 q L 2(0,1)+12ðqj =1h j 2-12ʏ10c -(x )d x -ðc i <0c ()i+(m i n c +(x )+π2)-1/2p L 2(0,1éëêùûú),则 u C [0,1]<R .根据引理4,当θ=1时,存在一个u ɪC [0,1]满足式(17),即脉冲问题(1)存在一个解u ɪC [0,1]满足 u C [0,1]ɤR .定理2证毕.参考文献[1] R A C H ㊃UN K O V ÁI ,T V R D Y 'M.E x i s t e n c eR e s u l t s f o r I m p u l s i v e S e c o n d -O r d e r P e r i o d i cP r o b l e m s [J ].N o n l i n e a r A n a l :T h e o r y ,M e t h o d sA p pl ,2004,59(1/2):133-146.[2] S U N Y ,Z HU D M.E x i s t e n c eT h e o r e m s f o r a S e c o n dO r d e rT h r e e -P o i n t B o u n d a r y V a l u eP r o b l e m w i t h I m p u l s e s [J ].A p p lM a t hJC h i n e s eU n 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,2008:22-23.)(责任编辑:赵立芹)084 吉林大学学报(理学版) 第60卷。

一类二阶微分方程周期解的存在性与唯一性

第１８卷第５期
２１年１０１０月
莆田学院学报
ＪｕｎｌｆｕｎｏｒａｏＰｔａＵｎｖｒｉｉｉｅｓｔｙ
中图分类号：７．Ｏ１５１４
ＶＯ．８１Ｎｏ５１．０ｃ．２１ｔ０１
文章编号：６２４４（０１０－０００１７．１３２１）５０Ｌ是
则方程ＬＮｘ在ＤｍＬｎ１中至少存在一个解。ｘ＝ｏ＂１
Ｘ（）’ｔ＋ｔｔＴｔｔ）） ” （）Ｘ（）（，－（ｘ（））ｘ（，
＝ｔｐ（）（）１
设Ｘ＝｛ ∈Ｃ（Ｒ）￡）（）Ｙ＝Ｒ，：＋＝ｔ），（
Ｋｅｒｓｉｅｅｔｌｅｕｔｎｅｉｄｃｓｌｔｎ；ｃｉｃｅｃｅｒｅｙｗｏｄ：ｄｆｒｉｑａｏ；ｐｒｉｏｕｉｓｏｉｎｅｄｇｅ；Ｗｒｉｇｒｉｅｕｌｉｓｘｓｎｅｎａｉｏｏｎｄｉｎｅｎｑａｔ；ｅｉｅｃ；ｔｉｅｔ
关键词：微分方程；周期解；重合度；ｉｉｅ不等式；Ｗｒｔｇｒｎｎ存在性；唯一性
ＥｘｓｅｃｎｉｕｎｓｆＰｒｏｉｏｕｉｎｏｎｆｉｔｎｅａｄＵｎｑｅｅｓｏｅｉｄｃＳｌｔｓｆｒａＫｉｄｏｏ
ＳｃｎｄｒＤｉｅｅｔｌＥｑａｉｎｗｉｖａｉｇＡｒｕｅｔｅｏｄＯｒｅｆｒｎｉｕｔｏｔＤｅｉｔｇｍｎｓａｈｎ
ＣＨＥＹｉｇｓｅｇＮｎ・ｈｎ，ＣＨＥＤｏｇｘａＮｎ — ｉｏ

几类脉冲微分方程解的存在性

几类脉冲微分方程解的存在性几类脉冲微分方程解的存在性摘要：脉冲微分方程是一类带有脉冲信号的微分方程，其解的存在性是微分方程理论的重要问题之一。

本文将探讨几类常见的脉冲微分方程并讨论其解的存在性。

一、引言脉冲微分方程是在某些离散时间点发生突变或发生冲击的微分方程。

相比于普通微分方程，脉冲微分方程的求解更加困难，因为离散时间点的突变或冲击会使系统的动力学行为发生剧变。

因此，解脉冲微分方程的存在性成为研究的重要内容之一。

二、周期性脉冲微分方程周期性脉冲微分方程是一类具有周期性脉冲信号的微分方程，其在固定时间间隔内受到脉冲作用。

解周期性脉冲微分方程的存在性问题可以通过周期延拓方法来解决。

该方法通过将周期延拓后的方程转化为周期函数的微分方程，然后应用连续性和紧性定理，判断原始方程的解是否存在。

三、非线性脉冲微分方程非线性脉冲微分方程是指含有非线性项的微分方程，其解的存在性问题更为复杂。

对于非线性脉冲微分方程，通常可以通过构造适当的Lyapunov函数或应用不动点定理来解决。

Lyapunov函数可以用来刻画系统的稳定性，并通过其定义的正定性和严格增加性来推导解的存在性。

不动点定理则可以将微分方程转化为适当的积分方程，通过分析积分方程的不动点来判断方程的解是否存在。

四、时滞脉冲微分方程时滞脉冲微分方程是一类含有时滞项的微分方程，其解的存在性问题更具挑战性。

对于时滞脉冲微分方程，可以通过使用Lyapunov-Krasovskii函数和稳定矩阵方法来解决。

Lyapunov-Krasovskii函数是一类特殊的Lyapunov函数，通过引入时滞项和矩阵变量，可以刻画系统的稳定性，推导解的存在性。

稳定矩阵方法则通过构造适当的矩阵Lyapunov方程，将微分方程转化为矩阵的稳定性问题，从而判断解的存在性。

五、数值仿真数值仿真是解决脉冲微分方程存在性问题的常用方法之一。

通过将脉冲微分方程离散化为差分方程，然后利用数值计算方法求解差分方程，可以得到脉冲微分方程的数值解。

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长沙４００；．南华大学１２０２数理学院，湖南衡阳４１０）２０１
（．湖南信息职业技术学院，湖南１
摘
要：用单调迭代技巧和上、解方法讨论了一类二阶脉冲微分方程的周期边值问题，到了该方程的最大值运下得
（）１（）２
文献［４拓展了上、３— ］下解的定义，获得了如下的二阶泛函微分方程（）２的一些新的结果。
一
Ｙ（）：（，（）Ｙ０ｔ），∈ＪｙＯＹＴ，（）＝Ｔ。 ” ｔｇｔｙｆ，（（））ｔ，（）＝（）ｙＯｙ）Ｙ（）＝（＋（）ｙｔｔ（），∈Ｊｔ ”ｔ１Ｐｔ））＋，ｔ）ｔ，≠ｔ，Ｙ
近年来，运用单调迭代方法研究脉冲微分方程边值问题，得了一些好的结果。文献［～２研究了如取１］下的二阶微分方程（）１在存在上解ｕ和下解（（）（）时的边界值问题 Ⅱｔｔ）
一
Ｙ（）＝ｔ（））ｔ）ｔ，（）＝（，，０ｙ） ”ｔｇ（，ｔ，）， ∈Ｊｙ０Ｙ）））Ｔ。Ｙ，
为定义方程（）３的解，我们引入如下空间：
ＰＪ＝｛：一ＲＩｔｕ ’ｔ是连续的，ｔｔｕ（）Ｃ（）ｕ． ≠￡ｕ（），当，当＝＾ ‘ ｔ是左连续的，Ｍ￡存在，１２ …，，且 ‘ ）＝，，
ｍ，＝１ … ，｛０，，ｒ。
１０，
ｚｔｐｔｚｔ＿，∈ ，≠ｔ，＜）＋（）（）１ｔＪｔ４
ｙ（ ≤ｙｔ）＋（一ｃ）（）ｔｔ，＝１２ … ，，）ｆ１Ｙｔ，＝Ｊ，，ｍ，Ｉ｝
ｙｏｙ）（）＝（，成立，ｅ＞１ｃ，且１ｉ（）４
则在．，（）０其中，ｙｔ＜，上－
ｆ
ｑ（）＝｛
当函数Ｙ∈ＰＪ满足方程（），Ｃ（）３时我们就说函数是方程（）３的解。
１引理
引理１设ｈ∈Ｐ（） Ⅱ ０使Ｃ－，，ｙｔ＾ｔＹｆ， ∈ ，≠ｔ，）＋（）（）ｔＪｔｙ￡ｙｔ）ｔ（）（，＝ｔ，＝１２，，Ｙ０（）， … ｍ，（）Ｔ
和最小值存在定理。
关键词：下解；上周期边值问题；冲微分方程脉中图分类号：１５１０７．２文献标志码：Ａ文章编号：０９— ９７２１１０５０１０３０（００）２— ０３— ４
Ｏ引言
（））），ｙ０＞）ｙ０一，））ｙ，
ｙ０））。
１０，
ｆｙ０一），０＞，Ｔ，专（）ｙＴ）ｙ），）＜证明令（）：，（）＋（）＋ｑ￡，）￡Ｙ（）其中ｑ￡（）＝｛则
Ｙ￡，（分别表示Ｙｔ在ｔ时的左极限和右极限，且Ｍ（ｆ）＝｜［（＋ｈ（）Ｙ￡）（）＝ｔ并，ｆｉｈｕｔａｒ）一ｕｔ），（］Ｍ）＝ｌ一［（ｈｆｉｈｕｔ＋）一ｕｔ）。ａｒ（］
成立，ｅｐ＾ｓｄ）＞ｒｌ则在－上，（）。且ｘ（（）ｓ１口，，Ｙｔ
根据文献［］５中的引理２易证，处略。此弓理２设ｐｔ ∈ｃｔ，。（）ｓ０ｃ０，：１２ … ，使ｌ（）（）ｆｐｓｄ＞，，Ｔｉ，，ｍ，
在本文中，我们将讨论如下的二阶脉冲微分方程：
一
△ （）（（），＝ｔ，＝１２ … ，ｙｔ＝Ｙｔ）ｔ尼，，ｍ，
△，＝Ｈ（（）ｔ＾Ｉ＝１２，，））ｋＹｔ），＝ｔ，ｔｊ， … ｍ，２
第２Ｏ卷
第ｌ２期
长
春
大
学
学
报
Ｖｏ．０Ｎｏ２１２．１Ｄｅｃ．２０１０
２１００年１２月
Ｊ０ＵＲＮＡＬＯＦＣＨＡＮＧＣＨＵＮＵＶＥＩＹＮＩＲＳＴ
一
类二阶脉冲微分方程解的存在性
朱焕桃，关开中
ｒ、３
ｙ０（）＝ｙＴ，ｔ）７。（）ｙｏ＝ｙ ’ ）
其中Ｊ＝［，］０＝ｏＩ２０Ｔ，ｔ＜ｔ＜ｔ＜… ＜＜ｔ＋＝Ｔ△ （Ｙ）一（） △ ，）＝（）一，（２）ｔｌ，ｔ）＝（Ｙ，（，，ｔ，，
收稿日期：００１－２１．２００基金项目：湖南省教育厅资助科研项目［００５］１Ｃ２８作者简介：朱焕桃（９０）男，１７一，湖南双峰人，副教授，硕士，主要从事微分方程等方面研究。
长
春大ຫໍສະໝຸດ 学学报第２０卷
Ｙ（）＋（（）），ｔｐｔｙｔｑ（）０ｔ，ｔ， ”ｔＰｔ＋１，）＋（）（）＋ｔ－，Ｅ． ≠ ＜，Ｙ￡ ≤ｃ（）ｔｔ，（）ｔ，＝Ｙ＝１２ … ，，，ｍ，