九年级数学中考第二轮复习—实验操作问题北师大版

九年级数学中考第二轮复习—实验操作问题北师大版
【本讲教育信息】
一、教学内容：
专题二：实验操作问题
二、知识要点：
实验操作型问题是让学生在实验操作的基础上解决问题，主要有以下类型：
（1）裁剪、折叠、拼图等动手操作问题，往往与面积、对称、图形变换相联系；
（2）与画图、测量、猜想、证明等有关的探究性问题．
三、考点分析：
近几年实验操作型试题越来越热．这类试题对学生的能力有更高的要求，有利于培养学生的创新能力和实践能力，体现新课程理念．主要考查：全等、相似、平移、对称、旋转、翻折等几何操作变换的若干方法和能力．
【典型例题】
题型一：画图与拼图
例1.如图所示，现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片，分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合，如图（1）、图（2）、图（3）．
分别在图（1）、图（2）、图（3）中，经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线，沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分，并把这两部分重新拼成符合下列要求的几何图形．要求：
（1）在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形．
（2）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙．
（3）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合．
(1)矩形（非正方形）
(2)正方形
(3)有一个角是135°的三角形
分析：首先我们要考虑裁剪后的平行四边形可以拼接成矩形、正方形、三角形，裁剪之前必须想好所拼的部分要能够重合．
解：如图所示：
(1)矩形（非正方形）
(2)正方形
(3)
有一个角是135°的三角形
评析：本题将平行四边形分割后拼接成各种图形，试题也提供了拼接要求，解决这类问题除要有平时的分割和拼接经验外，还需要密切关注题目中的阅读材料．
题型二：折叠与变换
例2. （1）如图1，将一块正方形木板用虚线划分成36个全等的小正方形，然后，按其中的实线将其切成七块形状不完全相同的小木片，制成一副七巧板．用这副七巧板拼成图2的图案，则图2中阴影部分的面积是整个图案面积的（ ）
图1图2
A ．122
B ．14
C ．17
D ．18
解析：题目中的图2是对思维的干扰，如果直接提问“图1中小正方形的面积是大正方形面积的几分之几”，问题就变得简单明了．在图1中可以体会到，小正方形的面积等于两
个斜边为3的等腰直角三角形的面积之和，计算得小正方形的面积等于9
2
，因此小正方形的
面积是大正方形面积的1
8
．选D ．
（2）如图，已知正方形纸片ABCD ，M ，N 分别是AD 、BC 的中点，把BC 边向上翻折，使点C 恰好落在MN 上的P 点处，BQ 为折痕，则∠PBQ ＝__________度．
A
B
C
D M N
P
Q
解析：根据题意，可知△BCQ ≌△BPQ ，∴BC ＝BP ，∠CBQ ＝∠PBQ ．在△BNP 中，BN ＝12BC ＝1
2
BP ，∴∠BPN ＝30°，则∠PBN ＝60°，又∠CBQ ＝∠PBQ ，∴∠PBQ ＝30°．
例 3. 生活中，有人喜欢把传送的便条折成形状，折叠过程是这样的（阴影部分表
示纸条的反面）：
如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26cm ，宽为xcm ，分别回答下列问题： （1）为了保证能折成图④的形状（即纸条两端均超出点P ），试求x 的取值范围．
（2）如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P 的长度相等，即最终图形是轴对称图形，试求在开始折叠时起点M 与点A 的距离（用x 表示）．
分析：根据折纸的要求，折叠部分分为5部分，所以5x 不应为负数，还要小于26．对于（2）中要满足的条件应该是总长度减去5x 的一半再加上x ．
解：（1）由折纸过程知0＜5x ＜26，∴0＜x ＜26
5
．
（2）∵图④为对称图形，
∴AM ＝26－5x 2＋x ＝13－3
2
x ，
即点M 与点A 的距离是（13－3
2
x ）cm ．
评析：本题利用纸片进行折叠变换和对称变换，进而判断折叠后宽度满足的条件以及要满足轴对称图形时AM 的长度．折叠问题是中考中较为普遍的考查方式，主要考查动手操作能力．
题型三：图形变换
例4. ［尝试］把一个等腰直角△ABC 沿斜边上的中线CD （裁剪线）剪一刀，把分割成的两部分拼成一个四边形EBCD ，如图①．（以下有画图要求的，工具不限，不必写出画法和证明）
（1）猜一猜，四边形EBCD 一定是__________；
（2）试一试：按上述的裁剪方法，请你拼一个与图①中不同的四边形，并在图②中画出示意图．
A
B
C
D
E
①
A
B C
D
②A
B C
③
A
B C
④
A
B
C
⑤
［探究］在等腰直角△ABC 中，请你沿一条中位线（裁剪线）剪一刀，把分割成的两部分拼成一个特殊四边形．
（1）想一想：你能拼得的特殊四边形分别是__________；（写出两种）
（2）画一画：请分别在图③、④中画出你拼得的这两个特殊四边形的示意图．
［拓广］在等腰直角△ABC中，请你沿一条与中线、中位线不同的裁剪线剪一刀，把分割成的两部分拼成一个特殊四边形．
（1）变一变：你确定的裁剪线是__________，（写出一种）拼得的特殊四边形是__________；（2）拼一拼：请在图⑤中画出你拼得的这个特殊四边形的示意图．
解：［尝试］（1）平行四边形；（2）如图①所示：
①②③④
2x
x
⑦
⑥
⑤
［探究］（1）平行四边形、矩形或者等腰梯形（答其中两个即可）；
（2）如图②、③、④、⑤所示．（画其中两个即可）
［拓广］（1）如图⑥，过中点D任意引DE交BC于E，将△DEB绕斜边中点旋转至△ADE’的位置；或者如图⑦，将平行于BC边（直角边）的中位线平移与AC交于点D，使AD∶DC＝2∶1，或者如图⑧，将平行于AB边（斜边）的中位线平移与AC交于点D，使AD∶DC＝2∶1；直角梯形．
（2）如图⑥、⑦、⑧．
评析：此题阅读量较大，对同学们研究问题，分析问题的能力提出了挑战．作为一道动手题目，要学会利用手中的道具（三角板、白纸等）解决问题．除此之外，在平时应注意练习作图法的语言描述，以备不时之需．
题型四：操作与探索
例5.在图1～5中，正方形ABCD的边长为a，等腰直角三角形FAE的斜边AE＝2b，且边AD和AE在同一直线上．
操作示例
当2b＜a时，如图1，在BA上选取点G，使BG＝b，连结FG和CG，裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH．
A
B
（2b＜a）
图1
A
B C
D
F
(E)
（2b＝a）
图2
A
B C
D
F
（a＜2b＜2a）
图3
E
实践探究
（1）正方形FGCH的面积是__________；（用含a，b的式子表示）
（2）类比图1的剪拼方法，请你就图2～图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形
的示意图．
A B
C
D F
（a＝b）图4
E A B
C
D F
（b＞a）图5
E
联想拓展
小明通过探究后发现：当b ≤a 时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G 的位置在BA 方向上随着b 的增大不断上移．当b ＞a 时，如图5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．
分析：本题是一道操作与探索的题目，对于（1）中的正方形的面积问题比较容易求得；（2）中的剪拼方法可参考给出的阅读材料；而联想拓展部分分别要考虑在延长线上的情况．
解：实践探究：（1）a 2＋b 2；（2）剪拼方法如图2～图4．联想拓展：能；剪拼方法如图5（图中BG ＝DH ＝b ）．（注：图5用其它剪拼方法能拼接成面积为a 2＋b 2的正方形均可）
A B
C D
F (E)（2b＝a）
图2
G H A
B
C
D F
（a＜2b＜2a）
图3E G H A
B
C
D F
（a＝b）图4
E A
B
C
D F
（b＞a）图5
E
G H
评析：本题是在给出大量的阅读材料的基础上进行图形的分割与拼接，而且对上述方法进行了联想与拓展，解决这类问题首先要理解、领会阅读材料中给出的具体操作步骤，以及阅读材料中的内涵，进而将这些应用到问题中去．这类问题也是“课题学习”这部分知识的具体体现．
【方法总结】
1. 熟练掌握相关几何图形的特征和性质．
2. 能把实际问题转化为数学问题，熟练应用相似、平移、对称、旋转等几何操作变换．
【预习导学案】
（专题三：阅读理解问题）
一、预习导学
1. 对于任意两个实数对（a ，b ）和（c 、d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时，（a ，b ）＝（c ，d ）．定义运算“¤”：（a ，b ）¤（c ，d ）＝（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）¤（p ，q ）＝（5，0），则p ＝__________，q ＝__________．
2. 阅读材料：设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1、x 2，则两根与方程系
数之间有如下关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c
a
．根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2＋6x
＋3＝0的两实数根，则x 2x 1＋x 1
x 2
的值为__________．
3. 若P为△ABC所在平面上一点，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则点P叫做△ABC 的费马点．
（1）若点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC＝60°，PA＝3，PC＝4，则PB的值为__________．
（2）如图所示，在锐角△ABC外侧作等边△ACB’，连结BB’．求证：BB’过△ABC的费马点P，且BB’＝PA＋PB＋PC．
A
B C
B'
二、反思
1. 阅读理解问题的常见类型有哪些？
2. 解决阅读理解问题常用到哪些思想方法？
【模拟试题】（答题时间：50分钟）
一、选择题
1. 如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB＝1000米，BC＝600米，AC＝800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）
A. AB中点
B. BC中点
C. AC中点
D. ∠C的平分线与AB的交点
A
B
C
2. 如图（1），把一个长为m、宽为n的长方形（m＞n）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（）
A. m－n
2 B. m－n C.
m
2 D.
n
2
m
n
n
n
(1)(2)
二、填空题
**1. 动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为__________．
B A
C D
P
Q
A'
**2. 在R t △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，M 为边BC 上的点，联结AM （如图所示）．如果将△ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是__________．
A
M
B
C
**3. 如图，有一个边长为5的正方形纸片ABCD ，要将其剪拼成边长分别为a 、b 的两个小正方形，使得a 2＋b 2＝52．①a 、b 的值可以是________（写出一组即可）；②请你设计一种具有一般性的裁剪方法，在图中画出裁剪线，并拼接成两个小正方形，同时说明该裁剪方法具有一般性：__________________________________________________．
A
B C
D
三、解答题
1. 如图所示，要在一块形状为直角三角形（∠C 为直角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC 上，且与AB 、BC 都相切．请你用直尺和圆规画出来（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．
A
B
C
2. 如图：在R t △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的中线，将△ADC 沿AC 边所在的直线折叠，使点D 落在点E 处，得四边形ABCE ．求证：EC ∥AB ．
A
B
C
E
D
3. 如图，在对R t △OAB 依次进行位似、轴对称和平移变换后得到△O ′A ′B ′． （1）在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；
（2）设P （x ，y ）为△OAB 边上任一点，依次写出这几次变换后点P 对应点的坐标．
*4. 如图，在R t△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C 作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．
（1）①当∠α＝________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；
②当∠α＝________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；
（2）当∠α＝90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．
**5. 现代家居设计的“推拉式”钢窗，运用了轨道滑行技术，纱窗装卸时利用了平行四边形的不稳定性，操作步骤如下：
（1）将矩形纱窗转化成平行四边形纱窗后，纱窗上边框嵌入窗框的上轨道槽（如图1）．（2）将平行四边形纱窗的下边框对准窗框的下轨道槽（如图2）．
（3）将平行四边形纱窗还原成矩形纱窗，同时下边框嵌入窗框的下轨道槽（如图3）．
在装卸纱窗的过程中，如图所示∠α的值不得小于81°，否则纱窗受损．现将高96cm的矩形纱窗恰好安装在上、下槽深分别为0.9cm，高96cm（上、下槽底间的距离）的窗框上．试求合理安装纱窗时∠α的最大整数值．（下表提供的数据可供使用）
sin81°＝0.987 sin82°＝0.990 sin83°＝0.993 sin84°＝0.995
cos9°＝0.987 cos8°＝0.990 cos7°＝0.993 cos6°＝0.995
【试题答案】
一、选择题
1. A 【该中点应建在三边垂直平分线的交点处，即△ABC 外接圆的圆心处】
2. A 【设去掉的小正方形的边长为x ，则m －x ＝n ＋x ，∴x ＝
2
n
m 】 二、填空题
1. 2【通过折叠发现，如图（1）时，点A ’离点B 最近；如图（2）时，点A ’离点B 最远．如图（1）所示，△APQ ≌△A ’PQ ，∴A ’Q ＝5，∴A ’C ＝4，∴A ’B ＝1．如图（2）所示，A ’B ＝AB ＝3．∴点A ’在BC 边上可移动的最大距离为3－1＝2】
(1)
(2)
B A
C
D B
A
C
D
A'
A'
P (Q)
(P)
2. 2【设AC 的中点为N ，根据题意AB ＝AN ＝NC ＝3，S △ABM ＝S △ANM ，S △ANM ＝S △MNC ，
∵S △ABC ＝12×3×6＝9，∴S △AMC ＝6．设点M 到AC 的距离为h ，则S △AMC ＝12h ·AC ，即1
2
h
×6＝6，解得h ＝2】
A
M
B
C
N
3. ①3，4（提示：答案不惟一）；②裁剪线及拼接方法如图①所示：图中的点E 可以是以BC 为直径的半圆上的任意一点（点B 、C 除外）．BE 、CE 的长分别为两个小正方形的边长．拼接效果如图②所示：
A
B
C
D ①②
三、解答题
1. 提示：（1）以点B 为圆心，适当的长度为半径画弧交AB 于D ，交BC 于E ，（2）分别
以D 、E 为圆心，大于1
2
DE 为半径画弧，两弧交于点F ，（3）连结BF 并延长交AC 于点O ，
（4）以点O 为圆心，OC 为半径，在△ABC 内作半圆O ．则半圆O 即为所求．
B
2. ∵CD 是AB 边上的中线，且∠ACB ＝90°，∴CD ＝AD ．∴∠CAD ＝∠ACD ．又∵△ACE 是由△ADC 沿AC 边所在的直线折叠而成的，∴∠ECA ＝∠ACD ．∴∠ECA ＝∠CAD ．∴EC ∥AB ．
3.（1）如图所示：
（2）设坐标纸中方格边长为单位1，则P （x ，y ）以O 为位似中心放大为原来的2倍（2x ，2y ），经y 轴翻折（－2x ，2y ），向右平移4个单位（－2x ＋4，2y ），向上平移5个单位（－2x ＋4，2y ＋5）．说明：如果以其它点为位似中心进行变换，或两次平移合并，或未设单位长，或（2）中直接写出各项变换对应点的坐标，只要正确即可． 4.（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α＝90°时，四边形EDBC 是菱形．∵∠α＝∠ACB ＝90°，∴BC ∥ED ．∵CE ∥AB ，∴四边形EDBC 是平行四边形．在R t △ABC 中，∠
ACB ＝90°，∠B ＝60°，BC ＝2，∴∠A ＝30°．∴AB ＝4，AC ＝23．∴AO ＝1
2
AC ＝3．在
R t △AOD 中，∠A ＝30°，∴AD ＝2．∴BD ＝2．∴BD ＝BC ．又∵四边形EDBC 是平行四边形，∴四边形EDBC 是菱形．
O
A
B
C
E D
l
5. 能够合理装上平行四边形纱窗时的最大高度：96－0.9＝95.1（cm ），能够合理装上平行四边形纱窗时的高：96sin ∠α或96·cos （90°－∠α），当∠α＝81°时，纱窗高：96sin ︒81＝96×0.987＝94.752＜95.1，∴此时纱窗能装进去，当∠α＝82°时，纱窗高：96sin 82°＝96×0.990＝95.04＜95.1，∴此时纱窗能装进去．当∠α＝83°时，纱窗高：96sin 83°＝96×0.993＝95.328＞95.1，∴此时纱窗装不进去．因此能合理装上纱窗时∠α的最大值是︒82。