《平方差公式》教学设计

《平方差公式》教学设计
作者：田小桃
来源：《新课程研究·基础教育》2010年第12期
【教材分析】
“平方差公式”是人教版八年级数学（上册）15.2.1的教学内容，是学习了整式的乘法运算后为了简化计算而归纳的一个公式，是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的归纳、总结；是从一般到特殊的认识过程的范例，也是进一步学习完全平方公式、进行相关代数运算与变形的重要知识基础。

它的依据是多项式乘以多项式法则以及合并同类项法则。

“平方差公式”这一内容属于数学再创造活动的结果，教材为学生在数学活动中获得数学思想方法、提高能力提供了良好的契机，它在整式乘法、因式分解、分式运算及其它代数式的变形中起着十分重要的作用，因此，是构建学生有价值的数学知识体系并形成相应数学技能的重要内容，是让学生感悟换元思想，感受数学再创造的好教材。

【教学目标分析】
1.会推导平方差公式，了解公式的几何背景，并能运用公式进行计算。

2.通过平方差公式的运用，培养学生运用公式的能力、分析、综合和概括能力。

3.培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的思维能力，让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦，培养学生善于观察、大胆创新的思维品质。

【教学重点】
掌握公式的结构特征，并学会正确运用公式。

【教学难点】
理解平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式。

【教学问题诊断分析】
1.学生刚学过多项式乘法，已经具备学习和运用平方差公式的知识结构。

2.多项式相乘的形式复杂多变，学生较容易被假象所迷惑；学生学习能力也参差不齐，部分学生对多项式相乘还不够熟练和细心。

3.学生的基础能力存在差异，在猜想过程中分不同层次，请学生大胆地猜测出公式，并对公式有一个直观的认识。

4.为突破难点，可采用小组合作、先体验后归纳的教学方式，使学生从中感悟换元和数形结合的数学思想。

5.大部分学生都能通过探索小结出平方差公式的特点，但在具体的问题中，还是有些同学会“判断失误”，关键在于要抓住平方差公式的本质。

在完成练习后，应该及时小结平方差公式应用的前提。

【教学过程设计】
1.创设情境，提出问题：两个二项式相乘，合并同类项后，积可能会是三项吗？积可能是二项吗？乘式具备什么特征时，积才会是二项式？
计算：(x+1)(x-1)=
(m+2)(m-2)=
(2x+1)(2x-1)=
猜一猜：(a+b)(a-b)=
做一做：将a、b取一些具体的数值检验，看猜想是否成立。

【师生活动】教师提出问题，学生回忆，一位同学作答，其他同学补充。

学生动脑、动笔进行探讨，并发表自己的见解。

教师根据学生回答，引导其进行思考。

【设计说明】激发学生的学习兴趣，使学生能在两个二项式相乘其积可能为四项、三项、两项中找出积为两项的特征，上升到一定的理论认识，加以实践检验，培养学生观察、概括的能力。

通过学生自己的试算、观察、发现、总结、归纳，得出：为什么有的两个二项式相乘，其积为两项？这样得出平方差公式，讲清这类乘法的实质，突破难点。

2.讨论探究，体会公式。

[活动1] 归纳平方差公式：（a+b）(a-b)=a2-b2用文字语言怎么表述？想一想，公式中的a、b可以表示什么？
【师生活动】学生分析平方差公式的特点，并用语言叙述。

师生共同订正，明确平方差公式的特点。

【设计说明】展现成果，由旧获新，收获方法，突出重点，培养学生的观察概括能力及用字母表示数的能力，充分发挥学生的主体些可以用平方差公式？哪些不能用？
（1）(2x+3y)(2x-3y) （2）(2x-3y)(3y-2x)
（3）(-2x+3y)(2x+3y)（4）(2x-3y)(2x-3y)
（5）(-2x-3y)(2x-3y)（6）(2x+3y)(-2x-3y)
【师生活动】学生分小组讨论，每组派代表交流结论。

教师根据学生回答，及时总结，引导学生进一步明确公式的特点。

作用。

[活动2] 下列两个多项式相乘，哪
【设计说明】探索平方差公式的特点，揭示平方差公式的本质，强调平方差公式应用的前提。

加强对公式结构的认识，帮助学生总结问题解决过程中的经验教训，理顺思路，从而进一步完善学生的认知结构。

3.应用定理，解决问题。

[活动3] 运用平方差公式计算：
（1）（3x+2）(3x-2)
（2）（b+2a）(2a-b)
（3）(-x+2y)(-x-2y)
【师生活动】教师引导学生分析题目条件是否符合平方差公式的特征，并让学生说出每小题中a、b分别表示什么。

【设计说明】熟悉公式，加深对公式结构特征的理解，体会公式在计算中的优越性以及运用公式的注意点。

[活动4] 计算：102×98；(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)
【师生活动】先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，允许学生运用多种算法，然后通过比较，优化算法。

【设计说明】通过变式训练，提高学生的认知水平，培养其解决问题的能力。

4.面积验证，渗透思想。

例题：边长为a的正方形纸板缺了一个边长为b的正方形角，经裁剪后拼成一个长方形。

（1）你能分别表示出裁剪前后的纸板面积吗？
（2）你能得到怎样的一个结论？
【师生活动】学生独立思考，然后讨论交流，发表见解。

一学生解答。

【设计说明】让学生用面积相等来证明平方差公式，渗透数形结合思想，培养学生多角度思考问题的习惯，提高其逻辑思维能力。

5.课堂小结，作业布置。

归纳、总结：本节课你有哪些收获？
作业：教科书习题15.2，第1题。

【师生活动】教师引导学生回忆、总结所学的知识、方法和数学思想，教师予以补充。

【设计说明】总结、归纳学习内容，梳理知识，进一步明确平方差公式的特点，使学生学会正确使用平方差公式解决有关问题。

【对教学设计的反思】
在教学设计时，突出对平方差公式的推导和应用。

根据学生的认知特点和所学知识的特征，安排了自主探究、举一反三、语言叙述、推导验证、几何解释、应用巩固等活动让学生经历数学知识的形成与应用过程，以促进学生的有效学习。

本节课主要是学习平方差公式，采用了探究式教学法，让学生在观察发现、归纳验证、应用拓展中收获学习数学的方法，在参与平方差公式的探究推导、归纳证明、解释应用的过程中促使其代数推理能力、语言表达能力、合作意识、数学思想方法等各方面都得到发展。