江西省新余市2016届高三数学二模试卷(理科) Word版含

2016年江西省新余市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设U=R，已知集合A={x|x≥1}，B={x|x＞a}，且（∁U A）∪B=R，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）
2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1=1﹣2i，则的虚部为（）
A．B．﹣C．D．﹣
3．命题p：若a＜b，则ac2＜bc2；命题q：∃x0＞0，使得x0﹣1﹣lnx0=0，则下列命题为真命题的是（）
A．p∧qB．p∨（￢q）C．（￢p）∧qD．（￢p）∧（￢q）
4．已知点F 是抛物线y2=4x的焦点，M、N 是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，则MN中点的横坐标为（）
A．B．2C．D．3
5．运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有5次落在直线y=x上，则判断框中可填写的条件是（）
A．i＞6B．i＞7C．i＞8D．i＞9
6．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣2，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）
[附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，
P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544，
P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）=0.9974]．
A．430B．215C．2718D．1359
7．设不等式组所表示的区域为M，函数y=的图象与x轴所围成的区域为N，向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为（）
A．B．C．D．
8．7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（）
A．120B．240C．360D．480
9．函数g（x）=2cos（x﹣）cos（x+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵
坐标不变）后得到h（x）的图象，设f（x）=x2+h（x），则f′（x）的图象大致为（）
A．B．
C．D．
10．已知A，B，C是球O的球面上三点，AB=2，AC=2，∠ABC=60°，且棱锥O﹣ABC
的体积为，则球O的表面积为（）
A．10πB．24πC．36πD．48π
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．1B．2C．4D．5
12．已知数列{a n}的前项和为S n，对任意n∈N*，S n=（﹣1）n a n++2n﹣6，且（a n+1﹣p）
（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是（）
A．（﹣，）B．（﹣∞，）C．（﹣，6）D．（﹣2，）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分.共20分．
13．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题一共有7层．每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有盏灯．
14．（﹣x）9展开式中除常数项外的其余项的系数之和为．
15．如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的四等分点，若=（m+）+，
则m=．
16．设函数f（x）=，对任意x1、x2∈（0，+∞），不等式
恒成立，则正数k的取值范围是．
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=，D是边AB上一点．
（1）求△ABC面积的最大值；
（2）若CD=2，△ACD的面积为2，∠ACD为锐角，求BC的长．
18．为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分．根据以往统计，
某参赛选手能答对每一个问题的概率均为；现记“该选手在回答完n个问题后的总得分为
S n”．
（1）求S6=20且S i≥0（i=1，2，3）的概率；
（2）记X=|S5|，求X的分布列，并计算数学期望E（X）．
19．如图几何体E﹣ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD=CE=1，
AB=AD=AE=，且EC⊥BD．
（1）求证：平面BED⊥平面AEC；
（2）M是棱AE的中点，求证：DM∥平面EBC；
（3）求二面角D﹣BM﹣C的平面角的余弦值．
20．已知O为坐标原点，的左右焦点分别为F1，F2，右顶点为
A，上顶点为B，若|OB|，|OF2|，|AB|成等比数列，椭圆C上的点到焦点F2的最短距离为．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设T为直线x=﹣3上任意一点，过F1的直线交椭圆C于点P，Q，且，
求的最小值．
21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0且a≠1）
（1）求函数f（x）单调递增区间；
（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．
（1）求证：△APM∽△ABP；
（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知直线C1：（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，
建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ+2cos（θ+），且C1与C2相交于A，
B两点；
（1）当tanα=1时，判断直线C1与曲线C2的位置关系，并说明理由；
（2）当α变化时，求弦AB的中点P的普通方程，并说明它是什么曲线．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．
（1）求f（x）≤x+2的解集；
（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．
2016年江西省新余市高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设U=R，已知集合A={x|x≥1}，B={x|x＞a}，且（∁U A）∪B=R，则实数a的取值范围是（）
A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】根据集合的定义与运算性质，进行化简、运算即可．
【解答】解：∵U=R，集合A={x|x≥1}=[1，+∞），
B={x|x＞a}=（a，+∞），
∴∁U A=（﹣∞，1），
又（∁U A）∪B=R，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，1）．
故选：A．
2．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1=1﹣2i，则的虚部为（）
A．B．﹣C．D．﹣
【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．
【分析】利用复数的对称性求出z2，然后利用复数的乘除运算法则化简复数求出虚部即可．【解答】解：复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1=1﹣2i，z2=﹣1﹣2i，
则====．
复数的虚部为：．
故选：D．
3．命题p：若a＜b，则ac2＜bc2；命题q：∃x0＞0，使得x0﹣1﹣lnx0=0，则下列命题为真命题的是（）
A．p∧qB．p∨（￢q）C．（￢p）∧qD．（￢p）∧（￢q）
【考点】复合命题的真假．
【分析】命题p：取c=0时是不成立，因此是假命题；命题q：取x0=1，满足x0﹣1﹣lnx0=0，即可判断出真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．
【解答】解：命题p：若a＜b，则ac2＜bc2，c=0时是不成立，因此是假命题；
命题q：取x0=1，满足x0﹣1﹣lnx0=0，因此是真命题．
则下列命题为真命题的是（￢p）∧q，
故选：C．
4．已知点F 是抛物线y2=4x的焦点，M、N 是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，则MN中点的横坐标为（）
A．B．2C．D．3
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出x1+x2=4，即可求出MN中点的横坐标．
【解答】解：∵F是抛物线y2=4x的焦点
∴F（1，0），准线方程x=﹣1，
设M（x1，y1），N（x2，y2）
∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6，
解得x1+x2=4，
∴线段MN的中点横坐标为2，
故选：B．
5．运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有5次落在直线y=x上，则判断框中可填写的条件是（）
A．i＞6B．i＞7C．i＞8D．i＞9
【考点】程序框图．
【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环输出的点的坐标，当满足条件，退出循环体，从而得到判定框中应填．
【解答】解：模拟执行程序，可得
i=1，y=0
x=1，y=1，i=2，输出点（1，1），此输出的点恰落在直线y=x上，
不满足条件，x=0，y=1，i=3，输出点（0，1）
不满足条件，x=﹣1，y=0，i=4，输出点（﹣1，0）
不满足条件，x=0，y=0，i=5，输出点（0，0），此输出的点恰落在直线y=x上
不满足条件，x=1，y=1，i=6，输出点（1，1），此输出的点恰落在直线y=x上
不满足条件，x=0，y=1，i=7，输出点（0，1）
不满足条件，x=﹣1，y=0，i=8，输出点（﹣1，0）
不满足条件，x=0，y=0，i=9，输出点（0，0），此输出的点恰落在直线y=x上
不满足条件，x=1，y=1，i=10，输出点（1，1），此输出的点恰落在直线y=x上
由题意，此时，应该满足条件，退出循环，
故判断框中可填写的条件是i＞9？．
故选：D．
6．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（﹣2，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）
[附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，
P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544，
P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）=0.9974]．
A．430B．215C．2718D．1359
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【分析】由正态分布曲线的特点，数形结合可得落入阴影部分的概率，乘以10000可得答案．【解答】解：∵X～N（﹣2，1），∴阴影部分的面积S=P（0≤X≤1）
=[P（﹣5≤x≤1）﹣P（﹣4≤x≤0）]=（0.9974﹣0.9544）=0.0215，
∴落入阴影部分的点的个数的估计值为10000×0.0215=215
故选：B．
7．设不等式组所表示的区域为M，函数y=的图象与x轴所围成的区域为N，向M内随机投一个点，则该点落在N内的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】几何概型；简单线性规划．
【分析】画出图形，求出区域M，N的面积，利用几何概型的公式解答．
【解答】解：如图，
区域M的面积为2，区域N的面积为，由几何概型知所求概率为P=．
故选B．
8．7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（）
A．120B．240C．360D．480
【考点】计数原理的应用．
【分析】分三步，第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4分人，形成了5个空，任选一个空加一人，有5种，此时形成了6个空，任选一个空加一人，根据分步计数原理可得．
【解答】解：第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，
第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，
第三步，后排4分人，形成了5个空，任选一个空加一人，有5种，此时形成了6个空，任选一个空加一人，有6种，
根据分步计数原理可得3×4×5×6=360，
故选：C．
9．函数g（x）=2cos（x﹣）cos（x+）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵
坐标不变）后得到h（x）的图象，设f（x）=x2+h（x），则f′（x）的图象大致为（）
A．B．
C．D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的化简求值．
【分析】先研究函数的奇偶性知它是奇函数，从而排除两个选项，再由x=﹣时，f′（0）
＞0，排除C，即可得解．
【解答】解：∵g（x）=2cos（x﹣）cos（x+）=cos2x，
∴将函数g（x）的图象上各点的坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）后得到h（x）=cosx 的图象，
∴f（x）=x2+h（x）=x2+cosx，可得：f′（x）=x﹣sinx，
∴可得：f′（﹣x）=（﹣x）﹣sin（﹣x）=﹣（x﹣sinx）=﹣f′（x），
故此函数奇函数，排除B，D．
又当x=﹣时，f′（0）=﹣+1=1﹣＞0，结合选项函数的图象，排除C．
故选：A．
10．已知A，B，C是球O的球面上三点，AB=2，AC=2，∠ABC=60°，且棱锥O﹣ABC
的体积为，则球O的表面积为（）
A．10πB．24πC．36πD．48π
【考点】球的体积和表面积．
【分析】利用解三角形判断△ABC为直角三角形，得出截面圆的圆心，利用d2+r2=R2，求解R，判断球的表面积．
【解答】解：∵AB=2，AC=2，∠ABC=60°
∴==，
=，C＜60°，
sinC=，C=30°，
∴∠A=90°，BC==4
∵A，B，C是球O的球面上三点
∴截面圆的圆心为AC中点，
半径为2
∵棱锥O﹣ABC的体积为，
∴×=，∴d=2，
∴R2=（2）2+22=12，
∴球O的表面积为：4πR2=48π，
故选：D．
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．1B．2C．4D．5
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体是一个正方体切去两个三棱锥、一个三棱柱所得的组合体，并画出直观图，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体体积公式求出几何体的体积，【解答】解：由三视图得该几何体是：
一个正方体切去两个三棱锥、一个三棱柱所得的组合体，
其直观图如图所示：
所以几何体的体积：
V=2×2×2﹣×1×1×2﹣1×2×2﹣×1×2×2=5，
故选：D
12．已知数列{a n }的前项和为S n ，对任意n ∈N *，S n =（﹣1）n a n ++2n ﹣6，且（a n+1﹣p ）
（a n ﹣p ）＜0恒成立，则实数p 的取值范围是（ ） A ．（﹣，
）B ．（﹣∞，
）C ．（﹣，6）D ．（﹣2，
）
【考点】数列与不等式的综合；等差数列的通项公式．
【分析】通过S n =（﹣1）n a n +
+2n ﹣6与S n ﹣1=（﹣1）n ﹣1a n ﹣1+
+2n ﹣8（n ≥2）作
差，进而整理可得数列{a n }的通项公式，分n 为奇偶两种情况解不等式即得结论．
【解答】解：∵S n =（﹣1）n a n +
+2n ﹣6，
∴当n ≥2时，S n ﹣1=（﹣1）n ﹣1a n ﹣1++2n ﹣8，
两式相减得：a n =（﹣1）n a n +
+2n ﹣6﹣[（﹣1）n ﹣1a n ﹣1+
+2n ﹣8]，
整理得：[1﹣（﹣1）n ]a n =（﹣1）n a n ﹣1+2﹣（n ≥2），（*）
又∵S n =（﹣1）n a n +
+2n ﹣6，
∴S 1=（﹣1）a 1++2﹣6，即a 1=﹣， 下面对n 的奇偶性进行讨论：
（1）当n 为偶数时，化简（*）可知：a n ﹣1=﹣2，
∴a n =
﹣2（n 为奇数）；
（2）当n 为奇数时，化简（*）可知：2a n =﹣a n ﹣1+2﹣，
即
﹣4=﹣a n ﹣1+2﹣
，即a n ﹣1=6﹣
，
∴a n =6﹣
（n 为偶数）；
于是a n =
．
∵对任意n∈N*（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，
∴对任意n∈N*（p﹣a n+1）（p﹣a n）＜0恒成立．
}单调递减，数列{a2k}单调递增，
又∵数列{a2k
﹣1
∴当n为奇数时，有：a n＜p＜a n+1，
则a1＜p＜a1+1，即﹣＜p＜；
当n为偶数时，有：a n+1＜p＜a n，
则a2+1＜p＜a2，即﹣＜p＜；
综上所述，﹣＜p＜，
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每题5分.共20分．
13．在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”．这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题一共有7层．每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有3盏灯．
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】设第一层有a盏灯，则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a为首项，
以为公比的等比数列，由此能求出结果．
【解答】解：设第一层有a盏灯，
则由题意知第一层至第七层的灯的盏数构成一个以a为首项，以为公比的等比数列，
∴=381，
解得a=192，
∴顶层有=3盏灯．
故答案为：3．
14．（﹣x）9展开式中除常数项外的其余项的系数之和为5377．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】利用二项展开式中的通项公式，求出展开式的常数项，再令x=1可得展开式中各项系数和，由此求出展开式中除常数项外的其余项的系数和．
【解答】解：（﹣x）9展开式中的通项公式为
T r+1=•（）9﹣r•（﹣1）r•x r=（﹣1）r••29﹣r•，
令=0，求得r=3，
所以展开式中常数项为（﹣1）3••26=﹣5376，
令x=1可得展开式中各项系数之和为（2﹣1）9=1，
所以展开式中除常数项外的其余项的系数之和为1+5376=5377．
故答案为：5377．
15．如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的四等分点，若=（m+）+，
则．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】根据条件及向量数乘的几何意义便可得到，而由向量减法的几何意义及向
量的数乘运算便可得出，而由图形看出B，P，N三点共线，从而有，这样便可得出m的值．
【解答】解：根据条件，；
∴
=
=
=；
∵B，P，N三点共线；
∴；
∴．
故答案为：．
16．设函数f（x）=，对任意x1、x2∈（0，+∞），不等式
恒成立，则正数k的取值范围是k≥1．
【考点】函数恒成立问题．
【分析】当x＞0时，=，利用基本不等式可求f（x）的最小值，
对函数g（x）求导，利用导数研究函数的单调性，进而可求g（x）的最大值，由
恒成立且k＞0，则，可求
【解答】解：∵当x＞0时，==2e
∴x1∈（0，+∞）时，函数f（x1）有最小值2e
∵
∴=
当x＜1时，g′（x）＞0，则函数g（x）在（0，1）上单调递增
当x＞1时，g′（x）＜0，则函数在（1，+∞）上单调递减
∴x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=e
则有x1、x2∈（0，+∞），f（x1）min=2e＞g（x2）max=e
∵恒成立且k＞0，
∴
∴k≥1
故答案为k≥1
三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．如图，在△ABC中，∠B=30°，AC=，D是边AB上一点．
（1）求△ABC面积的最大值；
（2）若CD=2，△ACD的面积为2，∠ACD为锐角，求BC的长．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】（1）由已知及余弦定理，基本不等式可得，利用三角形面积公式即可得解△ABC的面积的最大值．
（2）设∠ACD=θ，利用三角形面积公式可解得，可求，由余弦定
理得即可解得AD的值，利用正弦定理可求sinA，进而利用正弦定理可求BC的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（1）∵，
∴由余弦定理可得：
…
∴，…
∴，
所以△ABC的面积的最大值为…
（2）设∠ACD=θ，在△ACD中，，
∴，解得：，∴…
由余弦定理得：，
∴，…
∵，∴，
∴，此时，
∴．…
18．为弘扬民族古典文化，市电视台举行古诗词知识竞赛，某轮比赛由节目主持人随机从题库中抽取题目让选手抢答，回答正确将给该选手记正10分，否则记负10分．根据以往统计，
某参赛选手能答对每一个问题的概率均为；现记“该选手在回答完n个问题后的总得分为
S n”．
（1）求S6=20且S i≥0（i=1，2，3）的概率；
（2）记X=|S5|，求X的分布列，并计算数学期望E（X）．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）当S6=20时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个．若回答正确第1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确2个．记回答每个问题
正确的概率为p，则，同时回答每个问题错误的概率为，由此能求出S6=20且S i≥0
（i=1，2，3）的概率．
（2）由X=|S5|可知X的取值为10，30，50，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．
【解答】解：（1）当S6=20时，即回答6个问题后，正确4个，错误2个．
若回答正确第1个和第2个问题，则其余4个问题可任意回答正确2个问题；
若第一个问题回答正确，第2个问题回答错误，第三个问题回答正确，则其余三个问题可任意回答正确2个．
记回答每个问题正确的概率为p，则，同时回答每个问题错误的概率为…
故所求概率为：…（2）由X=|S5|可知X的取值为10，30，50
可有，
，
…
X
E（X）==．…
19．如图几何体E﹣ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD=CE=1，
AB=AD=AE=，且EC⊥BD．
（1）求证：平面BED⊥平面AEC；
（2）M是棱AE的中点，求证：DM∥平面EBC；
（3）求二面角D﹣BM﹣C的平面角的余弦值．
【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．
【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可证明平面BED⊥平面AEC；
（2）根据线面平行的判定定理即可证明DM∥平面EBC；
（3）建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角D﹣BM﹣C的平面角的余弦值
【解答】解：（1）∵，△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD=CE=1，
∴取BD的中点O，则AO⊥BD，OC⊥BD，
则BD⊥AC，
∵EC⊥BD，EC∩AC=C，
∴BD⊥面AEC，
∵BD⊂面BED，
∴平面BED⊥平面AEC
（2）若M是棱AE的中点，取AB的中点N，则MN是△ABE的中位线，
则MN∥BE，
∵∠BCD=120°，CB=CD=1，
∴∠CBO=30°，
∵∠ABD=60°，
∴∠ABD+∠CBD=60°+30°=90°，
即AB⊥BC，
∵DN⊥AB，
∴DN∥BC，
∵DM∩MN=M，∴面DMN∥面EBC，
∵DM⊂面DMN，
∴DM∥平面EBC．
（3）由（1）知BD⊥面AEC，
∵∠BCD=120°，CB=CD=CE=1，AB=AD=AE=，
∴OC=，AO=，AC=+=2，
则AE2+CE2=3+1=4=AC2，
则AE⊥CE，
∵OC=，CE=1，
∴OE⊥AC，则OE=
建立以O为原点，OA，OB，OE为x，y，z轴的坐标系如图：
则D（0，﹣，0），A（，0，0），E（0，0，），M（，0，），B（0，，0），C（﹣，0，0），
则=（，﹣，），=（0，，0），=（﹣，﹣，0）
设平面DBM的一个法向量为=（x，y，z），
则，则y=0，令z=，则x=﹣1，
即=（﹣1，0，），
设平面BMC的一个法向量为=（x，y，z），
，
则y=，令x=﹣3，则z=5，
=（﹣3，，5），
则cos＜，＞===
=，
即二面角D﹣BM﹣C的平面角的余弦值是．
20．已知O为坐标原点，的左右焦点分别为F1，F2，右顶点为
A，上顶点为B，若|OB|，|OF2|，|AB|成等比数列，椭圆C上的点到焦点F2的最短距离为．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设T为直线x=﹣3上任意一点，过F1的直线交椭圆C于点P，Q，且，
求的最小值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）由|OB|，|OF2|，|AB|成等比数列，可得=|OB|•|AB|，即，
可得=；设M（x0，y0）为椭圆C上一点，则=
=≥，﹣a≤x0≤a，当x0=a时，a﹣c=﹣2；及其a2=b2+c2，解出即可得出椭圆C的标准方程．
（II）由（I）可知：F1（﹣2，0），由，可得⊥，设T（﹣3，m），可得
|TF1|=，直线TF1的斜率==﹣m，当m≠0时，直线PQ的斜率
k PQ=，直线PQ的方程是x=my﹣2．设P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线PQ的方程与椭
圆C的方程联立化为：（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，|PQ|=，利用根与系数的关系代入化简，利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：（1）∵|OB|，|OF2|，|AB|成等比数列，∴=|OB|•|AB|，
∴，∴=，①
设M（x0，y0）为椭圆C上一点，则==+
=≥，﹣a≤x0≤a，
当x0=a时，a﹣c=﹣2，②
及其a2=b2+c2，解得a2=6，b2=2．
∴椭圆C的标准方程为=1．
（II）由（I）可知：F1（﹣2，0），∵，∴⊥，
设T（﹣3，m），∴|TF1|=，直线TF1的斜率==﹣m，
当m≠0时，直线PQ的斜率k PQ=，直线PQ的方程是x=my﹣2，当m=0时也适合．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得，化为：（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，△＞0，
∴y1+y2=，y1y2=，
|PQ|==，
∴====
≥=，
当且仅当=，即m=±1时，等号成立．
∴的最小值为．
21．已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0且a≠1）
（1）求函数f（x）单调递增区间；
（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性；绝对值不等式的解法．
【分析】（1）求导数，利用导数的正负，可求函数f（x）单调区间；
（2）f（x）的最大值减去f（x）的最小值大于或等于e﹣1，由单调性知，f（x）的最大值是f（1）或f（﹣1），最小值f（0）=1，由f（1）﹣f（﹣1）的单调性，判断f（1）与f（﹣1）的大小关系，再由f（x）的最大值减去最小值f（0）大于或等于e﹣1求出a的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R，f'（x）=a x lna+2x﹣lna=2x+（a x﹣1）lna．
令h（x）=f'（x）=2x+（a x﹣1）lna，h'（x）=2+a x ln2a，
当a＞0，a≠1时，h'（x）＞0，所以h（x）在R上是增函数，…
又h（0）=f'（0）=0，所以，f'（x）＞0的解集为（0，+∞），f'（x）＜0的解集为（﹣∞，0），
故函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）…
（2）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1成立，
而当x∈[﹣1，1]时|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，
所以只要f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1…
x f'x f x
所以（）在﹣，]上是减函数，在，]上是增函数，
所以当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最小值f（x）min=f（0）=1，
f（x）的最大值f（x）max为f（﹣1）和f（1）中的最大值．…
因为f（1）﹣f（﹣1）=a﹣﹣2lna，
令g（a）=a﹣﹣2lna（a＞0），
因为g′（a）=＞0，
所以g（a）=a﹣﹣2lna在a∈（0，+∞）上是增函数．
而g（1）=0，故当a＞1时，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1）；
当0＜a＜1时，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）…
所以，当a＞1时，f（1）﹣f（0）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，
而函数y=a﹣lna在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e；
当0＜a＜1时，f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1，即+lna≥e﹣1，函数y=+lna在a∈（0，1）上是减函数，
解得0＜a≤．
综上可知，所求a的取值范围为（0，]∪[e，+∞）．…
[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．
（1）求证：△APM∽△ABP；
（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．
【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．
【分析】（I）由切割线定理，及N是PM的中点，可得PN2=NA•NB，进而=，结合
∠PNA=∠BNP，可得△PNA∽△BNP，则∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA；再由MC=BC，可得∠MAC=∠BAC，再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB，进而得到△APM∽△ABP （II）由∠ACD=∠PBN，可得∠PCD=∠CPM，即PM∥CD；由△APM∽△ABP，PM是圆O的切线，可证得∠MCP=∠DPC，即MC∥PD；再由平行四边形的判定定理得到四边形PMCD是平行四边形．
【解答】证明：（Ⅰ）∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，
∴MN2=PN2=NA•NB，
∴=，
又∵∠PNA=∠BNP，
∴△PNA∽△BNP，
∴∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA，．
∵MC=BC，
∴∠MAC=∠BAC，
∴∠MAP=∠PAB，
∴△APM∽△ABP…
（Ⅱ）∵∠ACD=∠PBN，
∴∠ACD=∠PBN=∠APN，即∠PCD=∠CPM，
∴PM∥CD．
∵△APM∽△ABP，
∴∠PMA=∠BPA
∵PM是圆O的切线，
∴∠PMA=∠MCP，
∴∠PMA=∠BPA=∠MCP，即∠MCP=∠DPC，
∴MC∥PD，
∴四边形PMCD是平行四边形．…
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．已知直线C1：（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，
建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ+2cos（θ+），且C1与C2相交于A，
B两点；
（1）当tanα=1时，判断直线C1与曲线C2的位置关系，并说明理由；
（2）当α变化时，求弦AB的中点P的普通方程，并说明它是什么曲线．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）直线C1化为普通方程、曲线C2化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离与半径半径，即可得出结论；
（2）利用参数的几何意义，求出弦AB的中点P对应的参数，可得P的坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1）当tanα=1时，直线C1：（t为参数）的普通方程为x﹣y+1=0，
曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ+2cos（θ+），即ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，
∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=2x，即（x﹣1）2+y2=1，圆心为（1，0），半径为1．
圆心到直线的距离d==＞1，∴直线C1与曲线C2相离；
（2）直线C1：（t为参数），代入（x﹣1）2+y2=1，可得（1+tcosα﹣1）2+
（2+tsinα）2=1，
即t2+4tsinα+3=0，
设A，B对应的参数为t1，t2，∴t1+t2=﹣4sinα，
∴弦AB的中点P对应的参数为﹣2sinα，
设P（x，y），则x=1﹣2sinαcosα，y=2﹣2sin2α，
∴x﹣1=﹣sin2α，y﹣1=cos2α，
∴（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，表示以（1，1）为圆心，1为半径的圆．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．
（1）求f（x）≤x+2的解集；
（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．
【分析】（1）运用绝对值的含义，对x讨论，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；
（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围．
【解答】解：（1）由f（x）≤x+2得：
或或，
即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈∅，
解得0≤x≤2，
所以f（x）≤x+2的解集为[0，2]；
（2）=|1+|﹣|2﹣|≤|1++2﹣|=3，
当且仅当（1+）（2﹣）≤0时，取等号．
由不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，
可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即或或，
解得x≤﹣或x≥，
故实数x的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．
2016年7月21日。