安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2018届高三期中考试数学文(解析版)

溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2018届高三期中考试
联考试卷（文科）数学
满分：150分考试时间：120分钟
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合目要求的。

1.已知为虚数单位，则复数z=( )
A. 1+
B. 1-
C. -1+
D. -1-
【答案】D
【解析】
【详解】由已知
故选D
2.命题“，”的否定是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
试题分析：“，成立”的否定是：“，成立”，故选C．
考点：特称命题的否定．
3.实数的大小关系正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：根据表达式的特点，要借助于函数的单调性来得到其值域的范围，由于
，那么根据三个数与0,1的大小关系，可知,故选C.
考点：本题主要考查了比较大小的运用。

点评：解决该试题的关键是对于指数函数与对数函数的值域的熟练掌握和运用。

同时能借助于中间变量1,0来并进行比较大小。

4.一个几何体的三视图如图，其正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题．
分析：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，再根据其中正视图是腰长为2的等腰三角形，我们易得圆锥的底面直径为2，母线为为2，故圆锥的底面半径为1，高为，代入圆锥体积公式即可得到答案．
解答：解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，
又∵正视图是腰长为2的等腰三角形
∴r=1，h=
∴v==π
故选：A．
点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图判断出几何的形状及相关几何量（底面半径，高等）的大小是解答的关键．
5.已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由得，解得.
考点：等差数列.
6.定义在R上的函数满足时，则( )
A. 1
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
由已知定义在R上的函数满足
，
故，
故选C
7.已知点A的坐标为，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
，即点的纵坐标为
考点：复数几何意义
8.已知函数的图像在点处的切线方程是，若，则= ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：：∵函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程是x-2y+1=0，
∴f（1）=1，f′（1）=，∵，∴，
则
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程
9.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠A＝60°，点M在AB边上，且AM＝AB，则·等于()．
A. －
B.
C. －1
D. 1
【答案】D
【解析】
＝＋＝＋，＝＋，所以·＝(＋)·(＋)＝2＋2＋＝1＋－
·＝－||||cos 60°＝－×1×2×＝1.
10.等比数列中，，，函数，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
11.已知为坐标原点，，点的坐标满足约束条件，则的最大值为
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
试题分析：因为根据题意，由于点A(1,2)，那么设点P(X,Y),则z=x+2y
那么可知满足约束条件
的区域边界点（0，-1）（0，1）（1，0）那么目标函数过点（0，1）时，函数值最大，且为2，故选D.
考点：不等式组，向量的数量积。

点评：试题属于常规试题，只要细心解，一般不会有问题。

12.已知球的半径为，三点在球的球面上，球心到平面的距离为，，, 则球的表面积为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
在中，
，
由正弦定理可得平面截球所得圆的半径（即的外接圆半径），
又∵球心到平面的距离
∴球的半径，
故球O的表面积
故选D
【点睛】本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键．
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.函数的定义域为__________.
【答案】
【解析】
函数的定义域需满足解得
故函数的定义域为
14.我国古代数学名著《张邱建算经》中有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是________________．
【答案】195.
【解析】
试题分析：本题考查等差数列相关知识，设人数为，依题意有，解得，所以共有人.
考点：等差数列.
15.当时，函数的最小值为__________
【答案】4
【解析】
试题分析：当且仅当时等号成立．故答案为；4 考点：三角函数的最值．
16.已知是定义在R上的偶函数，其导函数，若，且
，，则不等式的解集为__________
【答案】
【解析】
根据题意，设，其导数
又由，
则，函数在上为减函数，
又由是定义在R上的偶函数，且，
则有，
则函数的周期为3；
若，则有
即
又由函数为减函数，则有，即不等式的解集为；
故答案为．
【点睛】本题考查函数的导数的应用，考查构造法以及抽象函数的性质的应用，其中构造函数和根据是定义在R上的偶函数，且求出函数的周期是解题的关键．
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.已知函数，在和处取得极值.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的最值.
【答案】（1）（2）函数在上的最大值为13和最小值为．
【解析】
试题分析：（1）由函数的极值与导数的关系，得和是方程的两个实数根，利用根与系数的关系建立关于的方程组，解之即可得到的值；
（2）求导，列表，按利用到时求函数在闭区间上的最值的一般步骤可求函数在上的最值.
试题解析:
（1）∵，∴，
∵在和处取得极值，∴，即，。

解得，．
∴．
（2）∵，∴由，解得或，
当在上变化时，和的变化如下：
极大值极小值
∴由表格可知当时，函数取得最小值，在时，函数取得极大值同时也是最大值，故函数在上的最大值为13和最小值为．
18.已知等差数列的各项均为正数，且成等比数列，
（1）求的通项公式
（2）设，求的前项和
【答案】
【解析】
试题分析：（1）由于成等比数列，所以，由此求出数列的公差，即得其通项公式；（2）把（1）
的结果代入可得，利用裂项法可求得其前项和．
试题解析：（1）设公差为，由题意知.
成等比数列，.
，即，
解得舍去）.
.
（2）,
考点：等差数列额通项公式及数列求和.
19.在中，内角A,B,C,所对应的边为且,且
（1）求角A的大小
（2）若，，，求的面积
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）根据二倍角的正余弦公式及两角差的正弦公式便可得到，而由条件得出，且，从而便可得出，这样便可求出
（2）可根据正弦定理求出，从而可判断出，这样便可得出，而由即可求出
的值，从而由三角形的面积公式
即可求出的面积
试题解析:
（1）因为
所以
即
又因为。

得
即。

所以
（2）因为，
，所以
由于，得，所以
故
所以的面积为
20.
如图，在多面体中，△是等边三角形，△是等腰直角三角形，，平面平面，
平面，点为的中点，连接.
(1) 求证：∥平面；
(2)若，求三棱锥的体积.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】
试题分析：（1）由平面平面可得平面，又平面,得出∥.，从而得出∥平面；
（2）过作，则可证平面．于是．
试题解析:
(1)证明：∵ △是等腰直角三角形，，点为的中点，
∴ .
∵ 平面平面，平面平面，平面，
∴ 平面.
∵ 平面,∴ ∥.
∵ 平面,平面,
∴ ∥平面.
(2)由(1)知∥平面,
∴ 点到平面的距离等于点到平面的距离.
过作，垂足为点，∵ 平面,平面,
∴ .
∵ 平面,平面,，
∴ 平面.
∵ ，△是等边三角形，
∴ ，，.
∴
.∴ 三棱锥的体积为.
21.养正中学新校区内有一块以O为圆心，R（单位：米）为半径的半圆形荒地（如图），校总务处计划对其开发利用，其中弓形BCD区域（阴影部分）用于种植观赏植物，△OBD区域用于种植花卉出售，其余区域用于种植草皮出售。

已知种植观赏植物的成本是每平方米20元，种植花卉的利润是每平方米80元，种植草皮的利润是每平方米30元。

（1）设（单位：弧度），用表示弓形BCD的面积
（2）如果该校总务处邀请你规划这块土地。

如何设计的大小才能使总利润最大？并求出该最大值
【答案】（1）（2）当扇形的圆心角为时，总利润取得最大值为
【解析】
试题分析：（1）由，利用扇形及三角形面积公式即得；
（2）由题意列出函数关系式，利用导数判断函数单调性求得最大值即可．
试题解析:
（1）扇形的面积
（2）设总利润为元，种植草皮利润为元，种植花卉利润为元，种植学校观赏植物成本为元。

则
设则
，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增。

所以当时，取得极小值，也是最小值为
此时总利润最大，则最大总利润为
所以当扇形的圆心角为时，总利润取得最大值为元
22.已知函数.
（1）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围；
（2）求当时，恒成立的的取值范围，并证明
.
【答案】(1)a e（2）见解析
【解析】
试题分析：(1) 函数有两个不同的零点，等价于=在
（，+）上有两实根，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象即可得结果；（2）结合(1)可得<,令,
,各式相加，化简即可得结果.
试题解析：(1) f(x)有两个零点，在（，+）上有两实根，显然a
=,令g(x)=, g/(x)=,令g/(x)=0，x
∴g(x)在（0，）单调递增，在（，+）单调递减，又g()=,x>1时g(x)>0.且g(x)0
∴=有两根须0<<,∴a e
（2）x2-a ln x0恒成立，即x2>2a ln x对x>1恒成立.当a时，显然满足。

当a>时,>,由（1）知，(g(x))MAX=,,∴0＜a＜e
综上x2-a ln x0对x>1恒成立的a的范围为a＜e
令a=2，则x2-2ln x0对x>1恒成立，即lnx<x2,令x=,k=2,3,4,…，n
ln k<k,ln2, ln3, ln4,…，ln n<n,
∴ln2+ ln3+ ln4+…+ ln n<= .
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及函数的零点、不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.。