解析函数

2、微分 dz(t) dx(t) idy(t) (x(t) iy(t))dt z(t)dt 。
2、复变复值函数的导数与微分
定 义 3 ： 设 复 变 函 数 w f (z) 在 区 域 E 内 有 定 义 ，
z0, z0 z E ，如果极限
lim f (z0 z) f (z0 )
结论：所有多项式函数在整个复平面内是解析的，任何 一个有理分式函数 P(z) 在不含分母为零的点的区域内是解析
Q(z)
函数。
2.孤立奇点
定义 5：若函数 f (z) 在 z0 处不解析，但在 z0 的任一邻域内
都有 f (z) 的解析点，则 z0 称为 f (z) 的奇点。
若函数 f (z) 在点 z0 处不解析，而在 z0 的某一去心邻域内
t 0
t
t
即： z(t0 ) x(t0 ) iy(t0 ) ，
（B）实变复值函数可导必连续。连续不一定可导。
定义 2：如果实变复值函数 z(t) 在区间 I 处每 z(t) x(t) iy(t)。 注 1、四则运算由定义 2 推。
2) f (z) 2x3 i3y3 ，这个函数只在直线 2x 3y 0 上可
导，从而在 z 平面上处处不解析。
例 7：设函数 f (z) my3 nx2 y i(x3 lxy2 ) 。
问常数 m, n,l 取何值时， f (z) 在复平面内处处解析? 当 m 1,n l 3 时，此函数在复平面内处处解析。
即 (z2 ) 2z, 类似可得(zn ) nzn1.
注:a.定义中 z 0 方式是任意的。 b.连续函数不一定可导；但是容易证明：可导必连续。 在复变函数中，处处连续又处处不可导的函数几乎随手 可得，如 f (z) z ，而在实变函数中，要造一个这种函数却不 是一件容易的事情。 例 2：讨论函数 f (z) | z |2 和 f (x) | x |2 的可导性。可得 f (z) | z |2 只在 z0 0 处可导，而在其它点处都不可导。f (x) | x |2 处处可导。 可以证明： f (z) 可导与可微是等价的。
定理 3：函数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在其定义区域 E 内解析
u(x, y) 和 v(x, y) 在 E 内任一点 z x iy 处可微，而且满足C R
条件。 注：根据导数公式可以看出：两个解析函数的和、差、
积、商以及函数的复合仍为解析函数，但在作商时，要求分 母不为零。
处处解析，则 z0 称为 f (z) 的孤立奇点。
例
5：求
f
(z)

1 z
的奇点，
当 时， 。 z 0
f (z)
lim
z 0
1
1
zz z
z
lim z 0
z z(z z)

1 z2
故 z 0是 f (z) 的孤立奇点。
例 6：判断下列函数是否解析： 1) f (z) ex (cos y i sin y) ，这个函数就是复变指数函数。
2、可导的充要条件 定 理 3 ： 设 函 数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在 区 域 E 内 一 点
z x iy 有定义，则 f (z) 在点 z x iy 处可导的充分必要条件 是：
1） u(x, y),v(x, y) 在 (x, y) 处可微； 2） u(x, y),v(x, y) 在 (x, y) 处满足 C R 条件。
例 8：证明：若函数 f (z) 在区域 E 内解析，并满足下列条 件之一，则 f (z) 是常数。
1) f (z) 恒取实数；
2) f (z) 在 E 内解析； 3) f (z) 在 E 内为常数(≠0)；
4) f (z) 0 。
注．可微 偏导数存在；偏导数存在且连续 可微。
例 4．讨论函数 f (z) Re z Im z xy 在 z 0 的可导性。 三、解析函数与奇点 1.解析函数
定义 4：如果函数 f (z) 在 z0的某一邻域内处处可导，则称 f (z) 在 z0处解析；
如果 f (z) 在区域 E 内每点解析，则称 f (z) 在 E 内解析， 称 f (z) 是 E 内的解析函数；
第2章 解析函数
解析函数的概念 函数解析的充要条件 初等函数
2.1 解析函数概念、2.2 解析函数的充要条 件
一、 导数与微分
1、实变复值函数的导数与微分
定义 1：设实变复值函数
z(t) x(t) iy(t) 在区间 I 内有定义， t0,t0 t I 。如果极限
lim z(t0 t) z(t0 )
t 0
t
存在，则称实变复值函数 z(t) 在 t0 处可导，这个极限值称为
z(t) 在 t0 处的导数，记作
z(t) dz lim z(t0 t) z(t0 )
dt t0 t t0
t
结论：（A）实变复值函数的可导性与一元实变函数的可 导性本质上是相同的。
z(t) lim x(t0 t) x(t0 ) i y(t0 t) y(t0 )
如果 f (z) 在包含闭区域 E 的某一邻域内解析，则称 f (z)
在闭区域 E 上解析。 注 1.解析函数性质
1）函数在一点解析 各阶导数也在该点解析，2)可以
展成幂级数。
注 2. f (z) 在区域 E 内解析 f (z) 在 E 内可导。
推不出
注 3. f (z) 在点 z 可导 f (z) 在点 z 解析； f (z) 在点 z 可导 f (z) 在点 z 解析。
z x iy 可导的必要条件是：
1) u(x, y),v(x, y) 在 (x, y) 处偏导数存在；
2) u(x, y),v(x, y) 在 (x, y) 处满足 C R 条件：
u x

v y
,
v x


u y
。
证明：
推论：可导函数导数的具体表达式
f (z) u i v v i u u i u v i v x x y y x y y x
t 0
z
存在，则称函数 f (z) 在 z0 处可导，这个极限值称为 f (z) 在 z0 处
的导数，记作 dw ， dz zz0
f
(z0 )
dw dz
z z0
lim z 0
f (z0 z) z
f (z0 )
lim z z0
f (z) f (z0) z z0
定理 1：导数运算法则：
1） f (z) g(z) f (z) g(z)
2） f (z) g(z) f (z)g(z) f (z)g(z)
f (z)
3)

g
(z)


f
(
z)
g
(
z) g2(
f( z)
z)
g
( z )
,
(
g(
z)
语言：对于 0，存在 0 ，当| z | 时，恒有
| (z) |
f
(z0
z) z
f
(z0 )

f
(z0 )


即 f (z0 z) f (z0 ) f (z0 )z (z)z ，其中 (z) 0(z 0) 。 定义 4：如果 f (z) 在区域 E 内处处可导，则称 f (z) 在 E 内可
导。对 z E ，对应于一个确定的导数值，构成一个新函数，
称为 f (z) 的导函数。
例 1：求函数 f (z) z2 的导数。
解:
lim f (z z) f (z) lim (z z)2 z2 lim (2z z) 2z
z 0
z
z 0
z
z 0

0)
4） f g(z) f g(z) g(z)
5）
f
( z )

1
()
(其中

f
(z)
与
z

()
互为反函数，()

0)
二、 柯西—黎曼（ C R ）条件
1、可导的必要条件
定 理 2 ： 函 数 f (z) u(x, y) iv(x, y) 在 区 域 E 内 一 点