北京市顺义区高三数学上学期第一次模拟试卷 文(含解析)

北京市顺义区2015届高考数学一模试卷（文科）
一、选择题.（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则A∩B=( )
A．{﹣2，﹣1} B．{﹣1，2} C．{1，2} D．{﹣2，﹣1，1，2} 2．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是( )
A．y=﹣x2+2 B．y=C．y=2﹣x D．y=lnx
3．在复平面内，复数z=（1+2i）2对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．当n=5时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值等于( )
A．2 B．4 C．7 D．11
5．若4x+4y=1，则x+y的取值范围是( )
A．[0，1] B．[﹣1，0] C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]
6．函数y=sin（x+φ）的图象关于y轴对称的充分必要条件是( )
A．φ=B．φ=πC．φ=kπ+，k∈Z D．φ=2kπ+，k∈Z
7．已知无穷数列{a n}是等差数列，公差为d，前n项和为S n，则( )
A．当首项a1＞0，d＜0时，数列{a n}是递减数列且S n有最大值
B．当首项a1＜0，d＜0时，数列{a n}是递减数列且S n有最小值
C．当首项a1＞0，d＞0时，数列{a n}是递增数列且S n有最大值
D．当首项a1＜0，d＞0时，数列{a n}是递减数列且S n有最大值
8．某桶装水运营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：
销售单价/元 6 7 8 9 10 11
日均销售量/桶480 440 400 360 320 280
设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，且y=ax2+bx+c（a≠0）．该经营部要想获得最大利润，每桶水在进价的基础上应增加( )
A．3元B．4元C．5元D．6.5元
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．双曲线﹣=1的离心率为，则m=__________，其渐近线方程为__________．10．不等式组所表示平面区域的面积为__________．
11．设向量=（， 1），=（2，﹣2），若（λ+）⊥（λ﹣），则实数λ=__________．
12．已知函数f（x）=x3﹣6x2+9x，则f（x）在闭区间[﹣1，5]上的最小值为__________，最大值为__________．
13．已知直线l：y=x，点P（x，y）是圆（x﹣2）2+y2=1上的动点，则点P到直线l的距离的最小值为__________．
14．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），x∈R．又f（x1）=﹣2，f（x2）=0且|x1
﹣x2|的最小值等于π，则ω的值为__________．
三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=a n+3，n∈N*．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；
（Ⅱ）已知{b n}是等比数列，且b1=a2，b4=a6+S8．求数列{b n}的前n项和．
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=3，sinB=cosA=，B为钝角．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求cosC的值．
17．如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2．将△ADE沿DE折起到△A′DE的位置，使A′C⊥CD，如图（2）．
（Ⅰ）求证：DE∥平面A′BC；
（Ⅱ）求证：A′C⊥BE；
（Ⅲ）线段A′D上是否存在点F，使平面CFE⊥平面A′DE．若存在，求出DF的长；若不存在，请说明理由．
18．某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了50名市民，他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表：
月收入（单位：百元）[15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75）频数 5 c 10 5 5
频率0.1 a b 0.2 0.1 0.1
赞成人数 4 8 12 5 3 1
（Ⅰ）若所抽调的50名市民中，收入在[35，45）的有15名，求a，b，c的值，并完成频率分布直方图；
（Ⅱ）若从收入（单位：百元）在[55，65）的被调查者中随机选取两人进行追踪调查，求选中的2人至少有1人不赞成“楼市限购令”的概率．
19．已知椭圆C：x2+4y2=16．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设椭圆C与y轴下半轴的交点为B，如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点E，F，且B，E，F构成以EF为底边，B为顶点的等腰三角形，判断直线EF与圆x2+y2=的位置关系．
20．已知函数f（x）=a2x2+ax﹣lnx．
（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=a2x2﹣f（x），且函数g（x）在点x=1处的切线为l，直线l′∥l，且l′在y轴上的截距为1，求证：无论a取任何实数，函数g（x）的图象恒在直线l′的下方；（Ⅲ）已知点A（1，g（1）），Q（x0，g（x0）），且当x0＞1时，直线QA的斜率恒小于2，求实数a的取值范围．
北京市顺义区2015届高考数学一模试卷（文科）
一、选择题.（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={﹣2，﹣1，1，2}，则A∩B=( ) A．{﹣2，﹣1} B．{﹣1，2} C．{1，2} D．{﹣2，﹣1，1，2}
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：求出A中方程的解确定出A，找出A与B的交集即可．
解答：解：由A中方程解得：x=1或2，即A={1，2}，
∵B={﹣2，﹣1，1，2}，
∴A∩B={1，2}，
故选：C．
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是( ) A．y=﹣x2+2 B．y=C．y=2﹣x D．y=lnx
考点：函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据基本初等函数的单调性与奇偶性，对选项中的函数判断即可．
解答：解：对于A，y=﹣x2+2，是定义域上的偶函数，∴不满足条件；
对于B，y=，是定义域上的奇函数，且在（0，+∞）上是单调减函数，满足条件；
对于C，y=2﹣x=，在定义域R上是非奇非偶的函数，∴不满足条件；
对于D，y=lnx，在定义域（0，+∞）上是非奇非偶的函数，∴不满足条件．
故选：B．
点评：本题考查了基本初等函数的奇偶性与单调性的判断问题，是基础题目．
3．在复平面内，复数z=（1+2i）2对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考点：复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简，得到复数z对应点的坐标，则答案可求．解答：解：∵z=（1+2i）2=1+4i+（2i）2=﹣3+4i，
∴复数z=（1+2i）2对应的点的坐标为（﹣3，4），
位于第二象限．
故选：B．
点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
4．当n=5时，执行如图所示的程序框图，输出的S的值等于( )
A．2 B．4 C．7 D．11
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
解答：解：当i=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=1，i=2；
当i=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=2，i=3；
当i=3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=4，i=4；
当i=4时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=7，i=5；
当i=5时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=11，i=6；
当i=6时，不满足进行循环的条件，
故输出结果为11，
故选：D
点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
5．若4x+4y=1，则x+y的取值范围是( )
A．[0，1] B．[﹣1，0] C．[﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]
考点：基本不等式．
专题：不等式的解法及应用．
分析：运用基本不等式得出1，化简计算即可得出；x+y≤﹣1，
解答：解；∵4x+4y=1，4x＞0，4y＞0，4x+y=4x•4y．
∴1（x=y时，等号成立），
化简计算即可得出；x+y≤﹣1，
∴x+y的取值范围：（﹣∞，﹣1]．
故选：D
点评：本题考查了运用基本不等式求解变量的范围问题，注意化简运算，属于中档题．
6．函数y=sin（x+φ）的图象关于y轴对称的充分必要条件是( ) A．φ=B．φ=πC．φ=kπ+，k∈Z D．φ=2kπ+，k∈Z
考点：正弦函数的图象．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：根据三角函数的奇偶性的性质进行求解即可．
解答：解：由三角函数的性质可知若y=sin（x+φ）的图象关于y轴，
则φ=kπ+，k∈Z，
故函数y=sin（x+φ）的图象关于y轴对称的充分必要条件是φ=kπ+，k∈Z，
故选：C．
点评：本题主要考查三角函数的奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的应用．
7．已知无穷数列{a n}是等差数列，公差为d，前n项和为S n，则( ) A．当首项a1＞0，d＜0时，数列{a n}是递减数列且S n有最大值
B．当首项a1＜0，d＜0时，数列{a n}是递减数列且S n有最小值
C．当首项a1＞0，d＞0时，数列{a n}是递增数列且S n有最大值
D．当首项a1＜0，d＞0时，数列{a n}是递减数列且S n有最大值
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由d的正负易得数列的单调性，由数列项的正负变化入手逐个选项判断即可．
解答：解：选项A，当首项a1＞0，d＜0时，数列{a n}是递减数列，
数列的前面一些项为正数，从某一项开始为负数，
故S n有最大值，A正确；
选项B，当首项a1＜0，d＜0时，数列{a n}是递减数列，
数列的所有项均为负数，S n没有最小值，B错误；
选项C，当首项a1＞0，d＞0时，数列{a n}是递增数列，
数列的所有项均为正数，S n没有最大值，C错误；
选项D，当首项a1＜0，d＞0时，数列{a n}是递增数列，
数列的前面一些项为负数，从某一项开始为正数，
故S n有最小值，D错误．
故选：A
点评：本题考查等差数列的前n项和的最值，从数列项的正负变化入手是解决问题的关键，属基础题．
8．某桶装水运营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示：
销售单价/元 6 7 8 9 10 11
日均销售量/桶480 440 400 360 320 280
设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元，且y=ax2+bx+c（a≠0）．该经营部要想获得最大利润，每桶水在进价的基础上应增加( )
A．3元B．4元C．5元D．6.5元
考点：函数模型的选择与应用；二次函数的性质．
专题：应用题；函数的性质及应用．
分析：设每桶水在进价的基础上增加x元时，利润为y元，从而先写出x与日均销售量的关系，再写出利润y的表达式，从而利用基本不等式求解即可．
解答：解：设每桶水在进价的基础上增加x元时，利润为y元；
故日均销售量为480﹣40（x+5﹣6）=520﹣40x（桶）；
故y=x（520﹣40x）﹣200
=40x（13﹣x）﹣200
≤40×6.5×6.5﹣200
=1690﹣200=1490（元）；
（当且仅当x=13﹣x，即x=6.5时，等号成立）；
故该经营部要想获得最大利润，每桶水在进价的基础上应增加6.5元，
故选：D．
点评：本题考查了函数及基本不等式在实际问题中的应用，属于中档题．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．双曲线﹣=1的离心率为，则m=1，其渐近线方程为y=x．
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：求出双曲线的a，b，c，运用离心率公式e=计算即可得到m=1，再由焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程，即可得到所求方程．
解答：解：双曲线﹣=1（m＞0）的a=2，b=，
c=，
则e==，
解得m=1，
即有双曲线的方程为﹣y2=1，
则双曲线的渐近线方程为y=±x．
故答案为：1，y=±x．
点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的运用和渐近线方程的求法，属于基础题．
10．不等式组所表示平面区域的面积为．
考点：二元一次不等式（组）与平面区域．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式对应的平面区域，利用平面区域的图形求平面区域面积即可．
解答：解：作出不等式对应的平面区域如图：（阴影部分），
由，解得，即B（﹣1，2）．
A（0，3），
∴阴影部分的面积为=
故答案为：．
点评：本题主要考查二元一次不等式表示平面区域的计算，利用数形结合是解决本题的关键．
11．设向量=（，1），=（2，﹣2），若（λ+）⊥（λ﹣），则实数λ=±．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：计算题；平面向量及应用．
分析：运用向量的模的公式和向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到．
解答：解：向量=（，1），=（2，﹣2），
则||==2，||==2，
若（λ+）⊥（λ﹣），
则（λ+）•（λ﹣）=0，
即为λ2﹣=0，
则有4λ2=8，
解得λ=±．
故答案为：±．
点评：本题考查向量的数量积的性质，主要考查向量垂直的条件，及向量的模的平方即为向量的平方，属于基础题．
12．已知函数f（x）=x3﹣6x2+9x，则f（x）在闭区间[﹣1，5]上的最小值为﹣16，最大值为20．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值．
专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．
分析：结合三次函数的特征可知，该函数在区间[﹣1，5]上处处可导且连续，因此只需求出该函数的极值点处函数值，以及函数的端点值，大中取大，小中取小即可．
解答：解：由已知得f（x）=x3﹣6x2+9x，
所以f′（x）=3x2﹣12x+9，令f′（x）=0，得x=1或x=3；
因为该函数在[﹣1，5]上处处可导，
且f（﹣1）=﹣16；f（1）=4；f（4）=4；f（5）=20，
所以最小值为﹣16，最大值为20．
故答案为：﹣16；20．
点评：本题考查了可导函数在其连续的闭区间上函数最值的求法，要注意利用性质求解．
13．已知直线l：y=x，点P（x，y）是圆（x﹣2）2+y2=1上的动点，则点P到直线l的距离的最小值为﹣1．
考点：直线与圆的位置关系．
专题：直线与圆．
分析：利用点到直线的距离公式求出圆心（2，0）到直线l的距离d和半径，则d减去半径即为所求．
解答：解：圆心（2，0）到直线l的距离为d==，而圆的半径为1，
故点P到直线l的距离的最小值为，
故答案为：﹣1．
点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．14．已知函数f（x）=2sin（ωx+）（ω＞0），x∈R．又f（x1）=﹣2，f（x2）=0且|x1﹣x2|的最小值等于π，则ω的值为．
考点：正弦函数的图象．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：由|x1﹣x2|的最小值可得函数的周期值，进而求出ω的大小．
解答：解：∵f（x1）=﹣2，f（x2）=0且|x1﹣x2|的最小值等于π，
∴=π，
即函数的周期T=4π，
∵T==4π，
解得ω=，
故答案为：
点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据函数最小值和零点之间的关系求出函数的周期是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．设数列{a n}满足：a1=1，a n+1=a n+3，n∈N*．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；
（Ⅱ）已知{b n}是等比数列，且b1=a2，b4=a6+S8．求数列{b n}的前n项和．
考点：数列的求和；数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（Ⅰ）由已知得到数列{a n}是以a1=1为首项，公差d=3的等差数列，然后由等差数列的通项公式和等差数列的前n项和得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出a2和S8，代入b1=a2，b4=a6+S8求得等比数列{b n}的首项和公比为q，则数列{b n}的前n项和可求．
解答：解：（Ⅰ）∵a n+1=a n+3，n∈N*，
∴a n+1﹣a n=3，n∈N*，
∴数列{a n}是以a1=1为首项，公差d=3的等差数列，
∴a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×3=3n﹣2，
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a n=3n﹣2，
∵，
∴b4=a6+S8=16+92=108．
设等比数列{b n}的公比为q，
则，
∴q=3，
数列{b n}的前n项和．
点评：本题考查了等差关系与等比关系的确定，考查了等差数列和等比数列的前n项和，是中档题．
16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=3，sinB=cosA=，B为
钝角．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求cosC的值．
考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．
专题：解三角形．
分析：（I）利用同角三角函数基本关系式、正弦定理即可得出．
（II）利用同角三角函数基本关系式、诱导公式、两角和差的余弦公式即可得出．
解答：解：（I）在△ABC中，
∵，
∴，
由正弦定理，得．
（II）∵B为钝角，
∴，
由（I）可知，，又，
∴cosC=cos[π﹣（A+B）]=﹣cos（A+B）
点评：本题考查了同角三角函数基本关系式、诱导公式、两角和差的余弦公式、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．如图（1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2．将△ADE沿DE折起到△A′DE的位置，使A′C⊥CD，如图（2）．
（Ⅰ）求证：DE∥平面A′BC；
（Ⅱ）求证：A′C⊥BE；
（Ⅲ）线段A′D上是否存在点F，使平面CFE⊥平面A′DE．若存在，求出DF的长；若不存在，请说明理由．
考点：平面与平面垂直的性质；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．专题：综合题．
分析：（Ⅰ）利用D，E分别为AC，AB上的点，且DE∥BC，结合线面平行的判定证明DE∥平面A′BC；
（Ⅱ）证明A'C⊥平面BCDE，再证明：A′C⊥BE；
（Ⅲ）线段A'D上存在点F，DF=1，使平面CFE⊥平面A′DE．
解答：（I）证明：因为D，E分别为AC，AB上的点，且DE∥BC，
又因为DE⊄平面A′BC，
所以DE∥平面A′BC…
（II）证明：因为∠C=90°，DE∥BC，
所以DE⊥CD，DE⊥AD，
由题意可知，DE⊥A′D，…
又A′D∩CD=D，
所以DE⊥平面A′CD，…
所以BC⊥平面A′CD，…
所以BC⊥A′C，…
又A′C⊥CD，且CD∩BC=C，
所以A′C⊥平面BCDE，…
又BE⊂平面BCDE，
所以A′C⊥BE…
（III）解：线段A′D上存在点F，使平面CFE⊥平面A′DE．
理由如下：
因为A′C⊥CD，
所以，在Rt△A′CD中，过点C作CF⊥A′D于F，
由（II）可知，DE⊥平面A′CD，又CF⊂平面A′CD
所以DE⊥CF，
又A′D∩DE=D，
所以CF⊥平面A′DE，…
因为CF⊂平面CEF，
所以平面CFE⊥平面A′DE，
故线段A′D上存在点F，使平面CFE⊥平面A′DE…
如图（1），因为DE∥BC，
所以，，即，
所以，AD=4，CD=2．
所以，如图（2），在Rt△A′CD中，A′D=4，CD=2
所以，∠A′DC=60°，
在Rt△CFD中，DF=1…
点评：本题考查线面平行的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，考查探索性问题，有难度．
18．某市调研机构对该市工薪阶层对“楼市限购令”态度进行调查，抽调了50名市民，他们月收入频数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表：
月收入（单位：百元）[15，25） [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75）频数 5 c 10 5 5
频率0.1 a b 0.2 0.1 0.1
赞成人数 4 8 12 5 3 1
（Ⅰ）若所抽调的50名市民中，收入在[35，45）的有15名，求a，b，c的值，并完成频率分布直方图；
（Ⅱ）若从收入（单位：百元）在[55，65）的被调查者中随机选取两人进行追踪调查，求选中的2人至少有1人不赞成“楼市限购令”的概率．
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
专题：概率与统计．
分析：（Ⅰ）由于所抽调的50名市民中，收入在[35，45）的有15名，可得到b的值，再由频率之和为1，即可得到a的值，进而得到c的值，根据频数分布表中的数据，即可得到频率分布直方图；
（Ⅱ）设月收入在55，65的5人编号，列出任取2人共10种结果，含有不赞成的共7种情况，根据古典概型的公式进行求解即可．
解答：解：（I）由频率分布表得0.1+a+b+0.2+0.1+0.1=1，
即a+b=0.5．
因为所抽调的50名市民中，收入（单位：百元）在[35，45）的有15名，
所以，
所以a=0.2，c=0.2×50=10，
所以a=0.2，b=0.3，c=10，
且频率分布直方图如下：
（II）设收入（单位：百元）在[55，65）的被调查者中赞成的分别是A1，A2，A3，不赞成的分别是B1，B2，
事件M：选中的2人中至少有1人不赞成“楼市限购令”，
则从收入（单位：百元）在[55，65）的被调查者中，任选2名的基本事件共有10个：
（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），
（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），
（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）
事件M包含的结果是（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）共7个，
所以，
故所求概率为．
点评：本题考查频率分布直方图，考查古典概率的计算，考查学生的阅读与计算能力，属于中档题
19．已知椭圆C：x2+4y2=16．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）设椭圆C与y轴下半轴的交点为B，如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点E，F，且B，E，F构成以EF为底边，B为顶点的等腰三角形，判断直线EF与圆x2+y2=的位置关系．
考点：椭圆的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：（Ⅰ）将椭圆C的方程变成其标准方程即可求出a，c，所以可求其离心率e=；
（Ⅱ）联立直线的方程y=kx+1与椭圆C的方程消去y得到（1+4k2）x2+8kx﹣12=0．若设E （x1，y1），F（x2，y2），根据韦达定理即可求出线段EF中点M（），而B
（0，﹣2），根据已知条件知道BM⊥EF，所以可得到，解出k=，这样
便得到直线EF的方程，根据点到直线的距离公式求圆心（0，0）到直线EF的距离，比较和圆半径的关系即可得出直线EF和圆的位置关系．
解答：解：（I）由题意，椭圆C的标准方程为；
∴a2=16，b2=4，从而c2=a2﹣b2=12；
因此，
故椭圆C的离心率；
（II）由得（1+4k2）x2+8kx﹣12=0；
由题意可知△＞0；
设点E，F的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），EF的中点M的坐标为（x M， y M），
则，；
因为△BEF是以EF为底边，B为顶点的等腰三角形；
所以BM⊥EF，
因此BM的斜率；
又点B的坐标为（0，﹣2）；
所以；
即；
亦即，所以；
故EF的方程为；
又圆的圆心O（0，0）到直线EF的距离为；
所以直线EF与圆相离．
点评：考查椭圆的标准方程，标准方程中的a，b，c的含义，离心率的计算公式e=．韦达
定理，中点坐标公式，相互垂直的两直线的斜率的关系，点到直线的距离公式，以及判断直线和圆的位置关系的方法．
20．已知函数f（x）=a2x2+ax﹣lnx．
（Ⅰ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）=a2x2﹣f（x），且函数g（x）在点x=1处的切线为l，直线l′∥l，且l′在y轴上的截距为1，求证：无论a取任何实数，函数g（x）的图象恒在直线l′的下方；（Ⅲ）已知点A（1，g（1）），Q（x0，g（x0）），且当x0＞1时，直线QA的斜率恒小于2，求实数a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：计算题；证明题；压轴题；导数的综合应用；直线与圆．
分析：（I）先求导并化简，从而由导数的正负列表确定函数的单调性及单调区间即可；（II）化简函数g（x）=a2x2﹣f（x）=lnx﹣ax，再求导，从而得到直线l
的斜率k l=1﹣a，再由l′∥l，且l′在y轴上的截距为1写出直线l′的方程y=（1﹣a）x+1，再令h（x）=g（x）﹣[（1﹣a）x+1]并化简，从而可把无论a取任何实数，函数g（x）的图象恒在直线l′的下方化为h（x）＜0（∀a∈R，∀x＞0）恒成立，再求导求函数的最大值即可证明．
（III）化简A（1，﹣a），Q（x0，lnx0﹣ax0），从而写出直线QA的斜率
，从而可化恒成立问题为lnx0﹣（a+2）（x0﹣1）＜0恒成立，再令r（x）=lnx﹣（a+2）（x﹣1）（x＞1），
求导，再讨论以确定r（x）的最大值情况即可求出实数a的取值
范围．
解答：（I）解：f（x）=a2x2+ax﹣lnx，
，
所以，a＞0时，f（x）与f′（x）的变化情况如下：
x
f′（x）﹣0 +
f（x）↘↗
因此，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．（II）证明：g（x）=a2x2﹣f（x）=lnx﹣ax，，
所以g′（1）=1﹣a，
所以l的斜率k l=1﹣a．
因为l′∥l，且l′在y轴上的截距为1，
所以直线l′的方程为y=（1﹣a）x+1，
令h（x）=g（x）﹣[（1﹣a）x+1]=lnx﹣x﹣1（x＞0），
则无论a取任何实数，函数g（x）的图象恒在直线l′的下方可化为
h（x）＜0（∀a∈R，∀x＞0），
而．
当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，
所以函数h（x）的（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
从而当x=1时，h（x）取得极大值h（1）=﹣2，
即在（0，+∞）上，h（x）取得最大值h（1）=﹣2，
所以h（x）≤﹣2＜0（∀a∈R，∀x＞0），
因此，无论a取任何实数，函数g（x）的图象恒在直线l′的下方．
（III）因为A（1，﹣a），Q（x0，lnx0﹣ax0），
所以，
所以当x0＞1时，，
即lnx0﹣（a+2）（x0﹣1）＜0恒成立，
令r（x）=lnx﹣（a+2）（x﹣1）（x＞1），
则，
因为x＞1，所以．
（i）当a≤﹣2时，a+2≤0，此时r′（x）＞0，
所以r（x）在（1，+∞）上单调递增，有r（x）＞r（1）=0不满足题意；
（ii）当﹣2＜a＜﹣1时，0＜a+2＜1，
所以当时，r′（x）＞0，当时，r′（x）＜0，
所以至少存在，使得r（t）＞r（1）=0不满足题意；
（iii）当a≥﹣1时，a+2≥1，此时r′（x）＜0，
所以r（x）在（1，+∞）上单调递减，r（x）＜r（1）=0，满足题意．
综上可得a≥﹣1，
故所求实数a的取值范围是[﹣1，+∞）．
点评：本题考查了导数的综合应用、函数的性质应用及直线的斜率的求法，同时考查了恒成立问题及分类讨论的思想应用，属于难题．。