理论力学--力偶理论

0 0
Mz

0

（3-8）
例 3-2 如图3-6所示，在长方体的两个对角面上分别作用二力偶 (F1，F1′)。已知：
F1 = 200 kN，F2 = 100 kN。试求这两个力偶的合力偶矩矢。
z
解：设力偶(F1，F1′)，(F2，F2′) 的力偶矩矢分 别为M1和M2，
F1 3 m
对于平面力偶系，各力偶作用面相互重合，因此各力偶矩矢的方 位相同。这时，力偶矩矢可用一代数量表示(见图3-3)，即
M Fd
的转动时，力偶矩取正号，反 之则取负号。力偶矩的单位为牛·米（N ·m），或千牛·米（kN ·m）。
3.1.3 力偶的等效 若两个力偶对刚体的作用效应相同，则称这二力偶等效。
Mz 0
60F2 50F3 cos 0
30 cm
F 3
F1
M3
M1 O
F1
M2
F2
F 2
y
F3 6 0 c m
x
40 cm
解得
sin 0.6
cos 0.8
图3-7
F1 75kN
F2 100kN
3 力偶理论
与力一样，力偶是力学中的一个基本量。作用于刚体上的力偶 不能使刚体产生移动效应，只能使刚体产生转动效应。
力偶是一种特殊的力系，没有合力，不能与单个力平衡。
但它具有可移转性、可改变性等重要性质，它对刚体的转动效 应完全取决于力偶矩矢。
3.1 力偶、力偶矩矢
3.1.1 力偶的概念
如图3-1所示，作用于刚体上大小相等、方向 相反的一对平行力，称为力偶（Couple），记作 （F，F′）。
M1
O
F2
d1 2 m y
M1 F1 d1 200
42 22 400 5 kN m d2
M 2 F2 d2 100 2 200 kN m x
F 2
F1
图3-6
4m M2
取Oxyz直角坐标系，将各力偶矩矢平移到O点，如图3-6所示。则合力偶矩矢 在三个直角坐标轴上的投影分别为
B d
F
图3-1
F A F
由二力平衡公理可知，力偶不是平衡力系，它是一种特殊的力系。在力
偶的作用下，刚体会产生转动效应。例如，汽车司机用双手转动方向盘，钳 工用丝锥攻螺纹，电动机转子受到电磁力作用旋转等等，都是力偶作用下刚 体的转动效应。
力偶是力学中的一个基本量。 力偶没有合力。 力偶不能与单个力等效，也不能与单个力平衡。 力偶只能与力偶等效，只能与力偶平衡。
M 2 FB O2 B FB O2 B 500 60 102 300 N
3.3 空间力偶理论
3.3.1 空间力偶系的合成 一般情况下，平面力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩等于原力 偶系中各力偶矩的代数和，即
M M1 M2 Mn M
（3-5）
两力偶的等效条件 ：力偶矩矢相等，即
M1 M 2
(3-2)
3.1.3.1 力偶的可移、可转性 在保持力偶矩矢不变的前提下，力偶可在其作用面内任意移动、转
动，不改变力偶对刚体的转动效应。因此，力偶对刚体的作用与其在作用 面内的位置无关。
在保持力偶矩矢不变的前提下，力偶可以平行地移至另一个平面内， 而不改变力偶对刚体的转动效应。因此，力偶矩矢为自由矢量。
M M1 M2 Mn M
（3-3）
证明：设作用于刚体上的平面力偶系（F1，F1′），（F2，F2′），…， （Fn，Fn′），其力偶臂分别为d1，d2，…，dn，如图3-4所示。 则各力偶的力偶矩分别为
M1 F1d1 M 2 F2d2 ，…， M n Fndn
3.2 平面力偶系的合成与平衡 3.2.1 平面力偶系的合成
设作用于刚体上同一平面内的n个力偶（F1，F1′），（F2， F2′），…，（Fn，Fn′）对刚体的作用效应与力偶（FR，FR′）对刚体的作 用效应相同，则称力偶（FR，FR′）是力偶（F1，F1′），（F2，F2′），…， （Fn，Fn′）的合力偶。一般情况下，平面力偶系可合成为一个合力偶， 合力偶矩等于原力偶系中各力偶矩的代数和，即
M
862.55
cos(M , k) M z 800 0.9275
M
862.55
例 3-3 作用于如图3-7所示楔块上的三个力偶处于平衡。
已知： F3 F3 15。0试k求N力F1和F2的大小。
解：取楔块为研究对象
z
将各力偶矩矢平移到O点，
列空间力偶系平衡方程
M y 0 60F1 50F3 sin 0
3.1.3.2 力偶的可改变性
在保持力偶矩矢不变的前提下，可以任意改变力偶中力的大小和力 偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的转动效应。可见，力偶中力的大小 和力偶臂的长短都不是决定力偶效应的独立因素。
在保持力偶矩矢不变的前提下，力偶的这些变化都不会改变力偶对 刚体的作用效应。因此，今后我们只关心力偶的力偶矩矢，而不过问该 力偶中力的大小、方向和作用线。故在表示力偶时，只要在力偶作用面 内用一带箭头的弧线表示力偶的转向，旁边标注力偶矩M的值即可，如 图3-3所示。
合力偶矩矢的大小和方向余弦为
M ( M x )2 ( M y )2 ( M z )2 (280)2 1602 (800)2 862.55 kN m
cos(M , i) M x 280 0.3246
M
862.55
cos(M , j) M y 160 0.1855
例 3-1 如图3-5所示机构，各杆自重不计，在两力偶作用下处于平衡。已知：M1 = 100 N ·m，O1A = 40 cm，O2B = 60 cm。试求力偶矩M2的大小。
B
A
30 o
O1
M1
M2
O2
(a)
FB
B
图3-5
FO1 O1
FA FB B
A
FA A
M1
M2 O2 FO2
(b)
解：取O1A杆为研究对象，受力如图3-5(b) 所示，
在实际计算中，通常采用投影形式。
M x M1x M y M1y M z M1z
M nx M ny
M M
x y

M nz
Mz

（3-6）
合力偶矩矢的大小和方向余弦
M
(
M x )2 (
M y )2 (
Mz
)2
作用于刚体上的一群力偶构成力偶系（System of couples）。
力偶系可分为平面力偶系（Coplanar couple system）和空间力偶系 （Three dimensional couple system）。
3.1.2 力偶矩矢
力偶（F，F′）的两个力的作用线所确定的平面称为力偶作用平面 (见图3-2)。两个力作用线之间的垂直距离d称为力偶臂，力偶对刚体的作 用效应取决于三个因素:
列平衡方程有
M 0
M1 FA O1 A sin 30 0
FA

100 40 102 1
500
N
2
AB杆为二力构件，则有
FB FA FA 500 N
取O2B杆为研究对象，受力如图3-5(b)所示。
列平衡方程有
M 0
FB O2 B M 2 0
M FR d (F11 F21 (Fn1)) d M1 M2 Mn M
3.2.2 平面力偶系的平衡方程
平面力偶系平衡的必要与充分条件是：所有各力偶矩的代数和等 于零，即
M M1 M2 Mn 0
（3-4）
式（3-4）称为平面力偶系的平衡方程。由于只有一个平衡方程，因此 只能求解一个未知量。

cos(M , i) M x

M

cos(M , j) M y

M

cos(M , k) M z
M

（3-7）
3.3.2 空间力偶系的平衡方程
空间力偶系平衡的充分必要条件为：合力偶对应的力偶矩矢量为零 矢量。
M 0
（3-8）
空间力偶系的平衡方程
Mx My
Fn dn
Fn1
F1
d1
d2 F2
A
B
F11 d
F21
A
B
d
FR
M1 F1d1 F11d
图3-4 M 2 F2d2 F21d ，…，
M n Fndn Fn1d
FR F11 F21 (Fn1 ) FR F11 F21 (Fn1 )
M x
M x M1x M 2x 400
5
1 200 3 280 kN m
5
5
M y
4
My

M1y
M2y

0 200 5
160 kN m
M z
M z M1z M 2z 400
5
2 0 800 kN m 5
M
（1）乘积Fd； （2）力偶的转向； （3）力偶作用面的方位。
F d F′
图3-2
这三个因素用一个矢量表示，称为力偶矩矢，记为M。力偶矩矢的 表示法如下：矢的长度按一定的比例表示力偶矩的大小Fd ；矢的方位垂 直于力偶作用面；矢的指向按右手规则确定，即右手四指的指向符合力 偶转向而握拳时，大拇指伸出的方向就是力偶矩矢的转向。