2021高三统考北师大版数学一轮：第2章第5讲 指数与指数函数

课时作业
1．计算1.5－1
3
×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－760＋80.25×42－
⎝ ⎛⎭
⎪⎫232
3 ＝( ) A ．0 B ．1 C ． 2 D ．2
答案 D
解析 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313 ＋234 ×214 －⎝ ⎛
⎭
⎪⎫2313 ＝2.故选D ．
2．函数f (x )＝
2
2x －1
的值域是( ) A ．(－2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，－2)
答案 B
解析 设y ＝f (x )＝22x －1
，令u ＝2x
－1，则u >－1，y ＝
2u ，则y <－2或y >0.故选B ．
3．给出下列结论： ①当a <0
时，(a 2)
32
＝a 3；
②n
a n ＝|a |(n >1，n ∈N *，n 为偶数)； ③函数
f (x )＝(x －2)1
2
－(3x －7)
的定义域是⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥2且x ≠73； ④若5a ＝0.3,0.7b ＝0.8，则ab >0. 其中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④
答案 B 解析
(a 2)
3
2 >0，a 3<0，故①错误；∵0<5a <1,0<0.7b <1，∴a <0，b >0，∴ab <0.
故④错误．
4．(2019·北京市通州区高三模拟)已知c <0，则下列不等式中成立的是( )
A ．c >2c
B ．c >⎝ ⎛⎭⎪⎫12c
C ．2c
>⎝ ⎛⎭
⎪⎫12c
D ．2c
<⎝ ⎛⎭
⎪⎫12c
答案 D
解析 ∵c <0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12c >1,0<2c <1，∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12c >2c ，故选D ．
5．(2020·四川泸州期末)已知函数f (x )＝e x －⎝ ⎛⎭⎪⎫
1e x ，则下列判断正确的是( )
A ．函数f (x )是奇函数，且在R 上是增函数
B ．函数f (x )是偶函数，且在R 上是增函数
C ．函数f (x )是奇函数，且在R 上是减函数
D ．函数f (x )是偶函数，且在R 上是减函数 答案 A
解析 f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝1
e x －e x ＝－
f (x )，∴f (x )是奇函数，又y ＝e x 和y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 都是R 上的增函数，∴f (x )＝e x －⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1e x 是R 上的增函数．故选A ．
6．已知f (x )＝a x 和g (x )＝b x 是指数函数，则“f (2)>g (2)”是“a >b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 由f (x )＝a x 与g (x )＝b x 是指数函数可知a >0，b >0.充分性：若“f (2)>g (2)”成立，即a 2>b 2，由于a ，b 都是正数，则a >b ，充分性成立；必要性：若a >b ，则f (2)＝a 2>b 2＝g (2)，必要性成立．
综上所述，“f (2)>g (2)”是“a >b ”的充分必要条件．故选C ． 7．下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5x B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
131－x
C ．y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
－1 D ．y ＝3|x |
答案 B
解析 ∵1－x ∈R ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
13x 的值域是正实数集，
∴y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫131－x
的值域是正实数集．
8．若函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数和偶函数，且满足f (x )－g (x )＝2x ，则有( )
A ．f (2)<f (3)<f (0)
B ．f (0)<f (3)<f (2)
C ．f (2)<f (0)<f (3)
D ．f (0)<f (2)<f (3)
答案 D
解析 ∵函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数和偶函数，∴f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )．由f (x )－g (x )＝2x ，得f (－x )－g (－x )＝2－x ，∴－f (x )－g (x )＝2－x ，即f (x )
＋g (x )＝－2－x ，与f (x )－g (x )＝2x 联立，得f (x )＝2x －2－x 2，∴f (0)＝0，f (2)＝22
－2
－22
＝15
8，f (3)＝23－2－32＝6316，∴f (0)<f (2)<f (3)，故选D ．
9．(2019·西安调研)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝1
9，则f (x )的单调递减区间是( )
A ．(－∞，2]
B ．[2，＋∞)
C ．[－2，＋∞)
D ．(－∞，－2]
答案 B
解析 由f (1)＝19，得a 2
＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.
由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B ．
10．(2019·福建厦门第一次质量检查)已知a >b >0，x ＝a ＋b e b ，y ＝b ＋a e a ，z ＝b ＋a e b ，则( )
A ．x <z <y
B ．z <x <y
C ．z <y <x
D ．y <z <x 答案 A
解析 ∵x ＝a ＋b e b ，y ＝b ＋a e a ，z ＝b ＋a e b ， ∴y －z ＝a (e a －e b )，又a >b >0，e>1， ∴e a >e b ，∴y >z ，
∵z －x ＝(b －a )＋(a －b )e b ＝(a －b )(e b －1)， 又a >b >0，e b >1，∴z >x ，综上x <z <y ， 故选A ．
11．(2020·安徽皖江名校开学考)若e a ＋πb ≥e －b ＋π－a ，e 为自然对数的底数，则有( )
A ．a ＋b ≤0
B ．a －b ≥0
C ．a －b ≤0
D ．a ＋b ≥0
答案 D
解析 令f (x )＝e x －π－x ，则f (x )在R 上单调递增，又e a ＋πb ≥e －b ＋π－a ，所以e a －π－a ≥e －b －πb ，即f (a )≥f (－b )，所以a ≥－b ，即a ＋b ≥0，故选D ．
12．(2019·齐鲁名校教科研协作体湖北、山东部分重点中学第一次联考)已知函数y ＝4x －3·2x ＋3，若其值域为[1,7]，则x 可能的取值范围是( )
A ．[2,4]
B ．(－∞，0]
C ．(0,1]∪[2,4]
D ．(－∞，0]∪[1,2]
答案 D
解析 令t ＝2x ，则y ＝t 2－3t ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322＋3
4，对称轴为直线t ＝32.当x ∈[2,4]
时，t ∈[4,16]，此时y ∈[7,211]，不满足题意；当x ∈(－∞，0]时，t ∈(0,1]，此时y ∈[1，3)，不满足题意；当x ∈(0,1]∪[2,4]时，t ∈(1,2]∪[4,16]，此时y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
34，1∪
[7,211]，不满足题意；当x ∈(－∞，0]∪[1,2]时，t ∈(0,1]∪[2,4]，此时y ∈[1,7]，满足题意．故选D ．
13．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x －1
的值域为________.
答案 (0,4]
解析 设t ＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，则t ≥－2.
因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 是关于t 的减函数，所以y ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫
12－2＝4.又y >0，所以0<y ≤4.
14．(2019·福州质检)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎨⎧
4x ，x ≥0，
2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a
－1)，则a 的值为________.
答案 12
解析 当a <1时，41－a ＝21，a ＝1
2，符合题意．当a >1时，代入不成立． 15．(2019·贵阳监测)已知函数f (x )＝a x －1(a >0，且a ≠1)满足f (1)>1，若函数g (x )＝f (x ＋1)－4的图象不过第二象限，则a 的取值范围是________.
答案 (2,5]
解析 ∵f (1)>1，∴a －1>1，即a >2.∵函数g (x )＝f (x ＋1)－4的图象不过第二象限，∴g (0)＝a 1－1－4≤0，∴a ≤5，∴a 的取值范围是(2,5]．
16．已知函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)内单调递增，则a 的取值范围为________.
答案 [6，＋∞)
解析 函数y ＝2－x 2＋ax ＋1是由函数y ＝2t 和t ＝－x 2＋ax ＋1复合而成．因为函数t ＝－x 2＋ax ＋1在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，a 2上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫a 2，＋∞上单调递减，
且函数y ＝2t 在R 上单调递增，所以函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间⎝ ⎛
⎦⎥⎤－∞，a 2上单调
递增，在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫
a 2，＋∞上单调递减．又函数y ＝2－x 2＋ax ＋1在区间(－∞，3)内
单调递增，所以3≤a
2，即a ≥6.
17．(2019·安徽皖东名校联盟高三第二次联考)已知关于x 的函数f (x )＝2x ＋(a －a 2 )·4x ，其中a ∈R .
(1)当a ＝2时，求满足f (x )≥0的实数x 的取值范围；
(2)若当x ∈(－∞，1]时，函数f (x )的图象总在直线y ＝－1的上方，求a 的整数值．
解 (1)当a ＝2时，f (x )＝2x －2·4x ≥0，
即2x ≥22x ＋1，x ≥2x ＋1，x ≤－1.故实数x 的取值范围是(－∞，－1]． (2)f (x )>－1在x ∈(－∞，1]上恒成立，
即a －a 2>－⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在x ∈(－∞，1]上恒成立．
因为函数⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 和⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在x ∈(－∞，1]上均为单调递减函数，所以－⎣⎢⎡⎦⎥
⎤
⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(－∞，1]上为单调递增函数，
最大值为－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝－34.
因此a －a 2>－34，解得－12<a <3
2. 故实数a 的整数值是0,1.
18．函数y ＝F (x )的图象如图所示，该图象由指数函数f (x )＝a x 与幂函数g (x )＝x b “拼接”而成．
(1)求F (x )的解析式； (2)比较a b 与b a 的大小；
(3)若(m ＋4)－b <(3－2m )－b ，求m 的取值范围．
解
(1)依题意，得⎩⎪⎨
⎪⎧ a 14
＝12，
⎝ ⎛⎭⎪⎫14b ＝12
，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝116，
b ＝1
2，
所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭⎪⎫116x
，x ≤14，
x 1
2 ，x >14
.
(2)因为a b
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11612 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，b a
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12116 ，
指数函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x 在R 上单调递减，
所以⎝ ⎛⎭⎪⎫122<⎝ ⎛⎭
⎪⎫121
16
，即a b <b a .
(3)由(m ＋4)－1
2
<(3－2m ) －1
2
，得
⎩⎪⎨⎪
⎧
m ＋4>0，3－2m >0，m ＋4>3－2m ，
解得－13<m <32，
所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－13，32.
19．(2019·南宁模拟)已知f (x )＝2x －a
2x ＋1(a ∈R )的图象关于坐标原点对称．
(1)求a 的值；
(2)若存在x ∈[0,1]，使不等式f (x )＋2x
－b
2x ＋1
<0成立，求实数b 的取值范围．
解 (1)由题意知f (x )是R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，得a ＝1.
(2)设h (x )＝2x －12x ＋1＋2x －b
2x ＋1＝(2x )2＋2x ＋1
－1－b 2x ＋1
，
由题设知存在x ∈[0,1]使h (x )<0成立，
即存在x ∈[0,1]使不等式(2x )2＋2x ＋1－1－b <0成立，即存在x ∈[0,1]使b >(2x )2＋2x ＋1－1成立，
令t ＝2x ，则存在t ∈[1,2]使b >t 2＋2t －1成立， 只需b >(t 2＋2t －1)min .
令g (t )＝t 2＋2t －1，g (t )图象的对称轴为直线t ＝－1， 则g (t )在[1,2]上单调递增，
所以当t ∈[1,2]时，g (t )min ＝g (1)＝2，所以b >2. 所以实数b 的取值范围为(2，＋∞)．
20．定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界，已知函
数f (x )＝14x ＋a
2x ＋1.
(1)当a ＝－1时，求函数f (x )在(－∞，0)上的值域，并判断函数f (x )在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由；
(2)若函数f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)设y ＝f (x )＝14x ＋a
2x ＋1.
当a ＝－1时，y ＝f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x －⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x ＋1(x <0)，
令t ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x ，x <0，
则t >1，y ＝t 2－t ＋1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫t －122＋3
4，
∴y >1，即函数f (x )在(－∞，0)上的值域为(1，＋∞)， ∴不存在常数M >0，使得|f (x )|≤M 成立． ∴函数f (x )在(－∞，0)上不是有界函数． (2)由题意，知|f (x )|≤3对x ∈[0，＋∞)恒成立， 即－3≤f (x )≤3对x ∈[0，＋∞)恒成立， 令t ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x ，x ≥0，则t ∈(0,1]．
∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫
t ＋4t ≤a ≤2t －t 对t ∈(0,1]恒成立，
∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t max ≤a ≤⎝ ⎛⎭
⎪⎫2t －t min . 设h (t )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫
t ＋4t ，p (t )＝2t －t ，t ∈(0,1]，
∵h (t )在(0,1]上递增，p (t )在(0,1]上递减，
∴h (t )在(0,1]上的最大值为h (1)＝－5，p (t )在(0,1]上的最小值为p (1)＝1. ∴实数a 的取值范围为[－5,1]．
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