《一元二次方程》疑难分析

一元二次方程在中考的地位
方程是初中阶段解决数学问题的一个重要工具，是每个学生必须掌握的中点内容，在中考的重要地位是显而易见的。

下面就中考中地位进行简单的说明。

一．疑难分析
1．一元二次方程的概念:等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown). 一元二次方程有三个特征:①是整式方程;②只含有一个未知数;③未知数的最高次数是2(且二次项的系数不能为0).
2．一般地,任何一个关于x 的一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式20(0)ax bx c a ++=≠.这种形式叫做一元二次方程的一般形式.其中ax 2是二次项,a 是二次项系数;bx 是一次项,b 是一次项系数;c 是常数项.
3．一元二次方程的解:能够使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解.对于方程256x x -=,当x=8时,256x x -=.所以x=8是方程256x x -=的解. 一元二次方程的解也叫一元二次方程的根(root).
4.处理一元二次方程的问题时,先要把方程化成一般形式,并分清二次项及其系数、一次项及其系数、常数项各是什么；对于22(1)0k x bx c -++=这种形式的方程，必须对21k -进行讨论.
例题选讲
例 1 判断下列方程是否为一元二次方程,若是一元二次方程,请写出二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）(2)(2)1x x +-= （2）22310x y -+=
（3）213()20x x
-+= （4）2(21)(1)(1)x x x x x +++-= （5）222()()1(,,0,0)ax b bx a b a b a b +--=+≠≠常数且
解：（1）原方程整理得250x -=,是一元二次方程,它的系数是1,一次项系数
是0,常数项是-5.
（2）不是一元二次方程,原方程中含有两个未知数．
（3）不是一元二次方程, 一元二次方程是整式,而该方程分母中含有未知数.
（4）原方程化为10
x+=,不是一元二次方程, 未知数的最高次数不是2.
（5）原方程化为2222
-+--=,
a b x abx a
()410
①当22
-=0,即a b
a b
=±时,该方程不是一元二次方程.
②220
-≠,即a b
a b
≠±时, 该方程是一元二次方程,此时二次项系数是22
--.
a
-,一次项系数是4ab,常数项是21
a b
评注：判断一个方程是否为一元二次方程,先把方程化成一般形式,再按照一元二次方程必须具备的几个条件进行判断.如果二次项系数是含字母的代数式,需要对这个代数式进行分类讨论.
例2 关于x的一元二次方程22
a x x a
-++-=有一根为0,求a的值?
(1)10
解：∵22
a-= -++-=有一根为0,∴把x=0代入方程中得210
(1)10
a x x a
∴1
a=-.
a=±.又∵此方程为一元二次方程, ∴10
a≠,∴1
a-≠,∴1
评注：根据方程根的定义,将x=0代入原方程变为关于a的一元二次方程,求得a的值,再根据一元二次方程中,其二次项系数不为0的限制,从而确定a的值.
二.市场经济中的一元二次方程
市场经济中有许多实际问题需要建立一元二次方程模型，然后利用一元二次方程的知识加以解决。

请看例题：
（一）进、出口贸易额问题
例1 （山西省）下表是我国近几年的进口额与出口额数据（近似值）统计表。

（1）图1是描述这两组数据折线图，请你将进口额折线图补充完整；
（2）计算2000年到2002年出口额年平均增长率（其中15.132.1≈）
（3）观察折线图，你还能得到什么信息。

写出两条。

解析：（1）根据表中提供的各年度的进口额，可绘制绘制出进口额折线图，如图1所示。

（2）设2000年至2002年出口额年平均增长率为x ，由表知2002年出口额为3300亿美元，据题意可得 3300)1(25002=+x ，化简得32.1)1(2=+x ，解得)(25.2,15.021舍-≈≈x x ． 所以2000年至2002年出口额年平均增长率为15％。

（3）可以是出口额呈逐年增长趋势；进口额呈逐年增长趋势；总体上，我国对外贸易出口额大于进口额；我国对外贸易呈顺差等。

评注：这是一道图表信息题，主要考查学生收集、处理数据的能力和对统计图中信息的解读能力。

第（1）、（2）问主要考查基础知识，第（3）问具有一定的开放性，要求学生具有一定的信息整合能力。

（二）商品销售利润问题
例2 （广西梧州）商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答：
（1）当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品？商场获得的日盈
利是多少？
（2）在上述条件不变、商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？（提示：盈利＝售价－进价）
解析：（1）当每件商品售价为170元时，比每件商品售价130元高出40元，即17013040-=（元），则每天可销售商品30件，即704030-=（件），商场可获日盈利为()170120301500-⨯=（元）。

（2）设商场日盈利达到1600元时，每件商品售价为x 元，则每件商品比130元高出()130x -元，每件可盈利()120x -元，每日销售商品为
()70130200x x --=-（件）。

依题意得方程：()()2001201600x x --=。

整理，得 2320256000x x -+=，解得12160x x ==。

所以每件商品售价为160元时，商场日盈利达到1600元．
评注：解商品销售问题时，要明确关系式：商品利润=每件商品利润×销售件数。

例3 （福建龙岩）某水果经销商上月份销售一种新上市的水果，平均售价为10元／千克，月销售量为1000千克．经市场调查，若将该种水果价格调低至x 元／千克，则本月份销售量y （千克）与x （元／千克）之间满足一次函数关系y kx b =+．且当7x =时，2000y =；5x =时，4000y =．
（1）求y 与x 之间的函数关系式；
（2）已知该种水果上月份的成本价为5元／千克，本月份的成本价为4元／千克，要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加20％，同时又要让顾客得到．．．．．实惠．．
，那么该种水果价格每千克应调低至多少元？［利润＝售价－成本价］ 解析：（1）由已知得7200054000k b k b +=⎧⎨+=⎩，． 解得10009000k b =-⎧⎨=⎩
，． 10009000y x ∴=-+
（2）由题意，上月份销售该种水果所获利润为1000×（10－5）元，则本月份
销售该种水果所获利润为1000(105)(120)-+％，可得方程
1000(105)(120)(10009000)(4)x x -+=-+-％．
整理得213420x x -+=，解得1267x x ==，．
依据题中“让顾客得到实惠．．．．．．．”．
，知7x =应舍去． 故该种水果价格每千克应调低至6元．
三.社会热点与一元二次方程应用题
新课标要求学生能够运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，体会数学与社会的联系，通过解决现实生活中的问题，了解数学的应用价值，这一点在2006年各地中考试卷中一元二次方程应用题方面表现得更加抢眼，显示出与时俱进的特征。

（一）油价上涨
例1（德州市中考题）. 近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨，今年5月份的汽油价格比去年5月份每升多1.8元，用150元给汽车加的油量比去年少18 .75升，今年5月份的汽油价格是多少呢？
解：设今年5月份汽油价格为x 元／升，则去年5月份的汽油价格为（x-1.8）元／升，根据题意得：8.1150-x －x
150=18 .75，整理得：x 2-1.8x-14.4 = 0。

解方程得x 1= 4.8，x 2= ﹣3. 经检验x 1，x 2都是方程的根，但x 2= -3不合题意，应舍去，∴x=4.8。

答：今年5月份的汽油价格为4.8元／升。

评注：近几年来，受国际石油市场的影响，国内汽油价格一直上涨，2006年价格更是节节攀升，一时成为街头巷议的热点，本题用数据直接反映出2006年5月份汽油价格的上涨情况。

（二）药价下调
例2.（黄岗市中考题）市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是多少？
解：平均每次降价的百分率为x ，则200（1-x ）2=128，（1-x ）2=0.64， 1-x=±0.8，
x 1=1.8（舍去），
x 2=0.2=20％。

评注：本题以当前群众反映十分强烈的老百姓看病难、看病贵的问题为背景，从政府采取药品降价措施体现出政府的亲民政策，使人们相信 “看病难”问题将会得到较大缓解。

（三）利率调整
例3 (宜昌市中考题)．小资料：财政预计，山峡工程投资需2039亿元，由静态投资901亿元、贷款利息成本a 亿元、物价上涨价差（a+360）亿元三部分组成。

但事实上，因国家利率调整，使贷款利息减少了15.4％；因物价上涨幅度比预测要低，使物价上涨价差减少了18.7％。

2004年山峡电站发电量为392亿度，预计2006年的发电量为573亿度，这两年的发电量年平均增长率相同。

若年发电量按此幅度增长，到2008年全部机组投入发电时，当年的发电量刚好达到山峡电站设计的最高年发电量，从2009年起，拟将山峡电站和葛洲坝电站的发电收益全部用于返还山峡工程投资成本。

葛洲坝年发电量为270亿度，国家规定电站出售价为0.25元／度。

(1)因利息调整和物价上涨幅度因素使山峡工程总投资减少多少亿元？
(2)请你通过计算预测：大约到哪一年可以收回山峡工程的投资成本？ 解：(1)由题意可知：901+a+（a+360）=2039，解得a=389。

所以三峡工程总投资减少的资金为：15.4％a+18.7％（a+360）=0.154×389+0.187×（389+360）=199.969≈200（亿元）.
(2)设2004年到2006年这两年的发电量平均增长率为x ，则依题意可知: 392（1+x ）2=573. 解得x 1≈21％，x 2≈-22.1（应舍去）。

所以2008年的发电量(即三峡电站的最高年发电量)为：
573(1+21％) 2≈839(亿度)。

2009年起,三峡电站和葛洲坝电站的年发电总收益为(839+270)×0.25=277.25 (亿元)
收回三峡电站工程的投资成本大约需要的年数为:25
.2772002039 ≈6.6(年) 所以到2015年可以收回三峡工程电站工程的投资成本.
评注；本题以三峡工程投资为背景，从数据中反映出国家的利率调整、抑制物价上涨政策对国家重点工程投资的影响，体现了国情和国策，具有一定的现实意义。

四.列一元二次方程解几何图形问题
代数、几何的综合题一直是中考的热点，用代数方法解几何问题，是初中数学的一种重要思想.在解几何题时，如果能根据几何问题中的数量关系，恰当地建立一元二次方程模型，并借助一元二次方程的相关知识来求解，定能收到事半功倍的效果.下面举例说明.
（一）利用勾股定理建立一元二次方程模型
例1.（深圳中考题）在△ABC中，AB边上的中线CD=3，AB=6，BC+AC=8，则△ABC的面积为______________________.
分析：对于本题，先画出图形，判断出△ABC为直角三角形后，再利用勾股定理建立一元二次方程模型求边长.
解：如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，
∵ CD=3，AB=6，
∴AD=BD=3，
∴CD=AD=BD.
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD.
∵∠A＋∠B＋∠ACD＋∠BCD=180°.
∴∠A＋∠B=90°.
∴△ABC为直角三角形，
∴AC2＋BC2=AB2=36.
又∵BC+AC=8，
∴设BC 的长为x ，则8AC x =-.
∴22(8)36x x -+=，整理，得28140x x -+=.
解得4x =
∴4BC =
，4AC =
或4BC =
，4AC =. ∴12ABC S BC ∆=
·1(472
AC ==. 说明：本题主要考查直角三角形中线的有关性质、一元二次方程的相关知识以及综合分析、解答问题的能力.
（二）利用面积公式建立一元二次方程模型
例2. （辽宁十一市中考题）如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为2540m ，求道路的宽．（部分参考数据：2321024=，2522704=，2482304=）
分析：本题是一道典型的列一元二次
方程解决的实际应用问题.下面从两个角
度给出如下的解法.
解法（1）：由题意转化为右图，设道
路宽为x 米.
根据题意，
可列出方程为()()2032540x x --=.
整理得2521000x x -+=.
解得150x =（舍去），22x =.
答：道路宽为2米.
解法（2）：由题意转化为右图，设道路宽为x 米，根据题意列方程得： ()220322032540x x ⨯-++=.
整理得：2521000x x -+=.
解得：12x =，250x =（舍去）
.
答：道路宽应是2米.
说明：把不规则的图形转化为规则的图形是解决这类问题的关键所在，同时整体代换的思想方法在解题中起着化难为易的作用，同学们应该既能理解它，又会应用它.。