子群的陪集教案

h H ，也就是说 b ~ a ，
b a
定义 1： 由上面的等价关系 ~ 所决定的类叫做子群 H 的右陪集，包含元 a 的右陪集用符号 Ha 表示。 由引理 1 右陪集既是等价类，又是子集的乘法 aH ， 有等价类的性质可以推出右陪集的一些性质 （1） Ha Hb ab H （2） b Ha Ha Hb （3） He H
Ha Hb ab1 H ba 1 H a 1H b1H
所以 是一个单射。证毕 定义 3：一个群 G 的一个子群 H 的右陪集（或左陪 集）的个数叫做 H 在 G 里的指数。 4．拉格朗日定理 定理 2 假定 H 是一个有限群 G 的一个子群， 那么 H 的阶 n 和它在 G 里的指数 j 都能整除 G 的阶 N ，并 且 N nj 证明：G 的阶 N 既是有限， H 的阶 n 和指数 j 也都 是有限正整数。 G 的 N 个元被分成 j 个右陪集，而 且由引理，每一个右陪集都有 n 个元，所以 N nj 定理 3 一个有限群 G 的任一个元 a 的阶 n 都整除 G 的阶。 证明： a 生成一个阶是 n 的子群，有以上定理， n 整 除 G 的阶。 约瑟夫· 拉格朗日
1
1


H 13 H 132 13 , 132 H 23 H 123 23 , 123
e H ，所以 a ~ a
（ 2 ） ab H ab

1 1

ba 1 H ， 所 以
a ~ bb ~ a
（3）
ab1 H , bc1 H ab1 bc 1 ac 1 H
所以 a ~ b, b ~ c a ~ c 则~是一个等价关系。利用这个等价关系，可以得到
这样，子群 H 把整个群分成三个不同的右陪集，这 三个右陪集放在一起显然正是 G ，因此它们的确是 G 的一个分类。 2．子群的左陪集 比照右陪集，给出左陪集，以及性质 左陪集是从等价关系
a ~ b ，当而且只当 b1a H 的时候
Hb
例 1：G S3 1 , 12 , 13 , 23 , 123 , 132


H 1 , 12
则 H 1 H 12 1 , 12
a ~ b ，当而且只当 ab 1 H 的时候
给了 a, b ，我们可以唯一决定 ab 1 是不是属于 H ， 并且 可证得（1） aa
1
1
Ha Hb ab1 H ba 1 H a 1H b1H
近世代数教案
得 映射 （2） 所以 是 Sl 的任意元 aH 是 S r 的元 Ha 的象，
1
一个满射。 （3）
约瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange 1736~1813）全名为约瑟夫·路易斯·拉格朗日，法 国著名数学家、物理学家。1736 年 1 月 25 日生于意 大利都灵，1813 年 4 月 10 日卒于巴黎。他在数学、 力学和天文学三个学科领域中都有历史性的贡献， 其 中尤以数学方面的成就最为突出。
2
定义 2： 由上面的等价关系 ~ 所决定的类叫做子群 H 的左陪集，包含元 a 的右陪集用符号 aH 表示。 性质 1-5 3．子群的指数 引理 2 H ， Ha ， bH 之间存在一一映射 证明
G 的分类： a , b , c ,

，这里
a x x ~ a 称为 a 的等价类。
引理 1： a Ha ha h H


1
:h h a
证明： （1）x a ， 那么 x ~ a ， 得x a 得 x ha （2）假定 b ha ，ba
1
h H ，
由于（1） H 的每一个元 h 有一个唯一的象 ha ； （2） Ha 的每一个元 ha 是 H 的 h 的象； （3）假如 h1a h2 a ，那么 h1 h2 注： H 的右陪集作成的集合叫做 S r ， H 的左陪集 作成的集合叫做 Sl 定理 1 S r 和 Sl 之间存在一一映射。 证明：设 : Sr Sl ， Ha a 1H （1）
近世代数教案
§ 9 子群的陪集
本节利用群的一个子群来作一个分类， 然后由这个分 类推出一个重要的定理，我们从等价关系开始。 1．子群的右陪集 给出群 G 和群 G 的一个子群 H ， 规定一个 G 的元中 间的关系~：
（4） Ha H a H （5）任意两个右陪集 Ha Hb 或 Ha