人教版2021年中考数学模拟试题及答案(含三套题)

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密 封 线 内 不 得 答 题
人教版2021年中考数学模拟试题及答案
（满分：150分 时间： 120分钟）
题号 一 二 三 总分 得分
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的.
1．下列四个选项中的数，不是分数的是（ ） A ．80%
B ．
C ．2
D ．
2．已知：a ≠0，下列四个算式中，正确的是（ ） A ．a 2+a 3＝a 5 B ．a 2•a 3＝a 6C ．（a 2）3＝a 8 D ．a 2÷a 3＝a ﹣1 3．下列四个函数解析式中，其函数图象经过原点的是（ ） A ．y ＝x +1 B ．y ＝﹣C ．y ＝x 2+2x D ．y ＝（x ﹣1）2 4．下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（ ） A ．频率
B ．方差
C ．平均数
D ．众数
5．下列四个命题中，真命题是（ ） A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．以一条对角线为对称轴的四边形是菱形 D ．对称轴互相垂直的四边形是矩形
6．如果两圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为3，那么这
两个圆的位置关系不可能是（ ）
A ．两圆内切
B ．两圆内含
C ．两圆外离
D ．两圆相交
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．化简：
＝ ．
8．计算：（x +1）•（x ﹣2）＝ ． 9．如果点P （3，b ）在函数y ＝的图象上，那么b 的值
为 ．
10．如果关于x 的方程x 2﹣6x +m ＝0有两个相等的实数根，那么m 的值为 ． 11．无理方程
＝﹣x 的实数解是 ．
12．从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到数字为“6”的扑克牌的概率是 ．
13．如果点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）在反比例函数y ＝（k ＜0）的图象上，且0＜x 1＜x 2，那么y 1与y 2的大小关系为：y 1 y 2．（填“＜”或“＝”或“＞”）
14．为了估计某个鱼塘里的鱼的数量，养殖工人网住了50条鱼，在每条鱼的尾巴上做个记号后，又将鱼放回鱼塘．等鱼游散后再随机撒网，网住60条鱼，发现其中有2条鱼的尾巴上有记号．设该鱼塘里有x 条鱼，依据题意，可以列出方程： ．
15．已知AD 是△ABC 的中线，设向量＝，向量＝，那
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么向量＝ （用向量、的线性组合表示）． 16．如果一个正三角形的半径长为2，那么这个三角形的边长为 ．
17．已知直角三角形的直角边长为a 、b ，斜边长为c ，将满足a 2+b 2＝c 2的一组正整数称为“勾股数组”，记为（a ，b ，c ），其中a ≤b ＜c ．事实上，早在公元前十一世纪，中国古代数学家商高就发现了“勾三、股四、弦五”，我们将其简记为（3，4，5）．类似的勾股数组还有很多…．例如：（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），（11，60，61），（13，84，85），…．如果a ＝2n +1（n 为正整数），那么b +c ＝ ．（用含n 的代数式表示）
18．在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4（如图），点E 是边AB 的中点，联结DE ．将△DAE 沿直线DE 翻折，点A 的对应点为A '，那么点A '到直线BC 的距离为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．先化简，再求值：
+
﹣
，其中，x ＝．
20．解方程组：．
21．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，cos A ＝．D 是AB 边的中点，过点D 作直线CD 的垂线，与边BC 相交于点E ．
（1）求线段CE 的长； （2）求sin ∠BDE 的值．
22出租，甲家房屋已装修好，每月租金3000有装修，每月租金2000需要花费40000元．
租房方案，写出具体的解题过程）．
23．已知：四边形ABCD 是正方形，点E 是BC F 在边AB 上，联结DE 、EF ．
（1）如图1，如果tan ∠BEF ＝，求证：EF ⊥DE ；
密
线
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（2）如图2，如果tan ∠BEF ＝，求证：∠DEF ＝3∠CDE ．
24．在平面直角坐标系xOy （如图）中，二次函数f （x ）＝ax 2
﹣2ax +a ﹣1（其中a 是常数，且a ≠0）的图象是开口向上的抛物线．
（1）求该抛物线的顶点P 的坐标；
（2）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做“整点”，将抛物线f （x ）＝ax 2﹣2ax +a ﹣1与y 轴的交点记为A ，如果线段OA 上的“整点”的个数小于4，试求a 的取值范围； （3）如果f （﹣1）、f （0）、f （3）、f （4）这四个函数值中有且只有一个值大于0，试写出符合题意的一个函数解析式；结合函数图象，求a 的取值范围．
25．已知：⊙O 的半径长是5，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦．分别过点A 、B 向直线CD 作垂线，垂足分别为E 、F ．
（1）如图1，当点A 、B 位于直线CD 同侧，求证：CF ＝DE ；
（2）如图2，当点A 、B 位于直线CD 两侧，∠BAE ＝30°，且AE ＝2BF ，求弦CD 的长；
（3）设弦CD 的长为l ，线段AE 的长为m ，线段BF 的长为n ，探究l 与m 、n 之间的数量关系，并用含m 、n 的代数式表示l ．
参考答案
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的.
1．下列四个选项中的数，不是分数的是（）
A．80% B．C．2D．
【分析】有理数包括分数和整数，无理数一定不是分数．解：∵是无理数，无理数一定不是分数，
∴不是分数，
故选：B．
2．已知：a≠0，下列四个算式中，正确的是（）A．a2+a3＝a5B．a2•a3＝a6C．（a2）3＝a8D．a2÷a3＝a﹣1【分析】根据同底数幂的除法、乘法、幂的乘方的运算方法，逐项判断即可．
解：A，a2+a3≠a5，故此选项不正确．
B，a2•a3＝a2+3＝a5，故此选项不正确．
C，（a2）3＝a2×3＝a6，故此选项不正确．
D，a2÷a3＝a2﹣3＝a﹣1，故此选项正确．
故选：D．
3．下列四个函数解析式中，其函数图象经过原点的是（）A．y＝x+1 B．y＝﹣C．y＝x2+2x D．y＝（x﹣1）2
【分析】令x＝0，函数值也等于0，则图象经过原点．解：A、令x＝0，则y＝1，故不符合题意；
B、x＝0无意义，故不符合题意；
C、x＝0，则y＝0，故符合题意；
D、x＝0，则y＝1，故不符合题意．
故选：C．
4．下列各统计量中，表示一组数据波动程度的量是（A．频率B．方差C．平均数D．众数【分析】根据定义即可判断．
程度，故A 不符合题意；
方差是指每个数据与平均数的差的平方的平均数，
波动程度，故B符合题意；
平均数是指一组数据的和除以数据个数，
度，故C不符合题意；
故D不符合题意．
故选：B．
5．下列四个命题中，真命题是（）
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A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B ．对角线互相垂直的四边形是菱形
C ．以一条对角线为对称轴的四边形是菱形
D ．对称轴互相垂直的四边形是矩形
【分析】根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理即可判断． 解：对角线互相平分的四边形是平行四边形是平行四边形判
定定理，是真命题，故A 符合题意；
对角线互相垂直的四边形是菱形是假命题，故B 不符合题意；
以一条对角线为对称轴的四边形可能是“筝”形，以一条对角线为对称轴的四边形是菱形是假命题，故C 不符合题意； 对称轴互相垂直的四边形是矩形是假命题，故D 不符合题意， 故选：A ．
6．如果两圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为3，那么这两个圆的位置关系不可能是（ ）
A ．两圆内切
B ．两圆内含
C ．两圆外离
D ．两圆相交 【分析】画出图形即可判断．
解：两圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为3，则另一圆的圆心在前一圆上，如图：
两圆位置可能是：内切、外切及相交，但不能是外离， 故选：C ．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．化简：
＝
．
【分析】先比较1与的大小，再根据绝对值的定义即可求解． 解：
＝﹣1．
8．计算：（x +1）•（x ﹣2）＝ x 2﹣x ﹣2 ． 【分析】根据多项式乘法法则即可得到答案． 解：（x +1）•（x ﹣2）＝x 2﹣2x +x ﹣2＝x 2﹣x ﹣2， 故答案为：x 2﹣x ﹣2． 9．如果点P （3，b ）在函数y ＝
的图象上，那么b 的值为
．
【分析】将P （3，b ）代入y ＝，解方程即得答案．
解：将P （3，b ）代入y ＝
得：b ＝
＝，
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故答案为：．
10．如果关于x 的方程x 2﹣6x +m ＝0有两个相等的实数根，那么m 的值为 9 ．
【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△＝b 2﹣4ac ＝0，即可求m 值．
解：∵方程x 2﹣6x +m ＝0有两个相等的实数根， ∴△＝b 2﹣4ac ＝（﹣6）2﹣4m ＝0， 解得m ＝9， 故答案为：9． 11．无理方程
＝﹣x 的实数解是 ﹣1 ．
【分析】化为有理方程，再解出有理方程，最后检验即可得答案． 解：将
＝﹣x 两边平方得：2x +3＝x 2，
整理得x 2﹣2x ﹣3＝0， 解得x 1＝3，x 2＝﹣1， 当x 1＝3，左边＝＝3，右边＝﹣3，
∴左边≠右边，
∴x 1＝3不是原方程的解，舍去， 当x 2＝﹣1时，左边＝＝1，右边＝1，
∴左边＝右边，
∴x 2＝﹣1是原方程的解， ∴x ＝﹣1， 故答案为：﹣1．
12．从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽取一张，抽到数字为“6”的扑克牌的概率是
．
【分析】根据生活常识可以知道一副扑克牌中共有54去掉大小王的扑克牌，还剩52张，其中数字为“6张，进而得出答案．
解：因为一副扑克牌中共有54数字为“6”的有4张． 则抽到黑桃的概率为：＝
．
故答案为：
．
13．如果点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）在反比例函数y ＝（k ＜0）的图象上，且0＜x 1＜x 2，那么y 1与y 2的大小关系为：y 1 ＜ y 2．（填“＜”或“＝”或“＞”）
【分析】反比例函数y ＝（k ＜0），根据在同一个象限内，y 随x 的增大而增大即可得答案．
解：∵点A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2）在反比例函数y ＝（k ＜0）的图象上，且0＜x 1＜x 2，
且在同一个象限内，y 随x 的增大而增大，
密
线
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∴y 1＜y 2，
故答案为：＜．
14．为了估计某个鱼塘里的鱼的数量，养殖工人网住了50条鱼，在每条鱼的尾巴上做个记号后，又将鱼放回鱼塘．等鱼
游散后再随机撒网，网住60条鱼，发现其中有2条鱼的尾巴上有记号．设该鱼塘里有x 条鱼，依据题意，可以列出方
程： x ＝60 ．
【分析】直接利用所标记号所占比例×总数＝60，进而得出方程．
解：设该鱼塘里有x 条鱼，依据题意，可以列出方程： x ＝60． 故答案为：
x ＝60．
15．已知AD 是△ABC 的中线，设向量＝，向量＝，那么向量＝ 2﹣ （用向量、的线性组合表示）． 【分析】利用三角形法则求出，可得结论． 解：如图，
∵＝+， ∴＝﹣+， ∵AD 是中线，
∴BC ＝2BD ， ∴＝2﹣2，
∴＝+＝+2﹣2＝2﹣， 故答案为：2﹣，
16．如果一个正三角形的半径长为2，那么这个三角形的边长为 2 ．
【分析】画出图形，构造直角三角形可以求解． 解：如图：
正三角形ABC ，半径OA ＝OB ＝OC ＝2，延长AO 交BC 于H ，
∵∠BOC ＝360°÷3＝120°，O 为正三角形中心， ∴∠BHO ＝90°，∠BOH ＝60°，BC ＝2BH ， ∴BH ＝OB •sin60°＝， ∴BC ＝2． 故答案为：2．
17．已知直角三角形的直角边长为a 、b ，斜边长为c ，将满足
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a 2+
b 2＝
c 2的一组正整数称为“勾股数组”，记为（a ，b ，c ），其中a ≤b ＜c ．事实上，早在公元前十一世纪，中国古代数学家商高就发现了“勾三、股四、弦五”，我们将其简记为（3，4，5）．类似的勾股数组还有很多…．例如：（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），（11，60，61），（13，84，85），…．如果a ＝2n +1（n 为正整数），那么b +c ＝ 4n 2+4n +1 ．（用含n 的代数式表示）
【分析】“勾股数组”（a ，b ，c ），当a 为奇数时，c ＝b +1，列方程即可得到答案．
解：观察“勾股数组”（a ，b ，c ），当a 为奇数时，c ＝b +1， 又a ＝2n +1（n 为正整数），
由勾股定理可得：c 2﹣b 2＝（2n +1）2，即（b +1）2﹣b 2＝（2n +1）2
，
解得b ＝2n 2+2n ， ∴c ＝2n 2+2n +1， ∴b +c ＝4n 2+4n +1， 故答案为：4n 2+4n +1．
18．在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4（如图），点E 是边AB 的中点，联结DE ．将△DAE 沿直线DE 翻折，点A 的对应点为A '，那么点A '到直线BC 的距离为
．
【分析】过A ′作FG ∥BC 交AB 于F ，交CD 于G ，过A ′作A ′H ⊥BC 于H ，先证明△EFA ′∽△A ′GD 得它们对应边的比为，再设EF ＝3m ，FA ′＝3n ，则A ′G ＝4m ，DG ＝4n ，根据FA ′+A ′G ＝BC ＝4，AE +EF ＝DG ，列方程即可得到答案．
解：过A ′作FG ∥BC 交AB 于F ，交CD 于G ，过A ′作H ⊥BC 于H ，如图：
∵矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，E 是边AB 的中点 ∴∠A ＝90°，AD ＝BC ＝4，CD ＝AB ＝6，AE
＝3，
∵△DAE 沿直线DE 翻折，点A 的对应点为A '，
∴∠DA ′E ＝∠A ＝90°，A ′D ＝AD ＝4，A ′E ＝AE ＝又FG ∥BC ，
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∴∠A ′DG ＝90°﹣∠DA ′G ＝∠EA ′F ，
而∠EFA ′＝∠A ′GD ＝90°， ∴△EFA ′∽△A ′GD ， ∴
＝，
设EF ＝3m ，FA ′＝3n ，则A ′G ＝4m ，DG ＝4n ， ∵FA ′+A ′G ＝BC ＝4，AE +EF ＝DG ，
∴，解得n ＝
，
∴DG ＝4n ＝
，
∴CG ＝CD ﹣DG ＝，
∴A ′H ＝ 故答案为：
．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．先化简，再求值：
+
﹣
，其中，x ＝．
【分析】根据分式的加减法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题． 解：+
﹣
＝+
＝
＝
＝
＝﹣
，
当x ＝时，原式＝﹣＝﹣（﹣1）2＝﹣2+2﹣1＝
﹣3+2． 20．解方程组：
．
【分析】将每个方程因式分解，降次化为两个一次方程，解出重新组合的方程组即可得到答案．
解：x 2﹣5xy ﹣6y 2＝0可化为（x ﹣6y ）（x +y ）＝0， ∴x ﹣6y ＝0或x +y ＝0，
x 2﹣4xy +4y 2＝1可化为（x ﹣2y +1）（x ﹣2y ﹣1）＝0， ∴x ﹣2y +1＝0或x ﹣2y ﹣1＝0， 原方程组相当于以下四个方程组：
①，
②，
③，
④，
解①②③④分别得：
，
，
，
，
∴原方程组的解为：或或或．
21．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，
AC ＝6，cos A ＝．D
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是AB 边的中点，过点D 作直线CD 的垂线，与边BC 相交于点E ．
（1）求线段CE 的长； （2）求sin ∠BDE 的值．
【分析】（1）由勾股定理求出BC ，再根据斜边上的中线求出AD ，∠DCB ＝∠B ，由余弦定理求出CE ；
（2）作EF ⊥AB 交AB 于F ，在直角三角形中由勾股定理列出关于BF 的关系式，从而求出∠BDE 的正弦值． 解：（1）∵∠ACB ＝90°，AC ＝6，cos A ＝， ∴
＝，
∴AB ＝10， ∴BC ＝
＝8，
又∵D 为AB 中点， ∴AD ＝BD ＝CD ＝AB ＝5， ∴∠DCB ＝∠B ， ∴cos ∠DCB ＝，cos ∠B ＝
，
∴
，
∴CE ＝；
（2）作EF ⊥AB 交AB 于F ， 由（1）知CE ＝，
则BE ＝8﹣
＝，DE ＝
＝
，
设BF ＝x ，则DF ＝BD ﹣BF ＝5﹣x ，
在Rt △DEF 中，EF 2＝DE 2﹣DF 2＝，
在Rt △BEF 中，EF 2＝BE 2﹣BF 2＝
，
∴
﹣（5﹣x ）2＝
﹣x 2，
解得x ＝， ∴sin ∠BDE ＝
＝
．
22出租，甲家房屋已装修好，每月租金3000有装修，每月租金2000需要花费40000元．
租房方案，写出具体的解题过程）．
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租金是函数值，列出y 与x 的关系式，再根据两家租金的多
少分类讨论分类讨论即可．
解：设张先生组的时间为自变量x ，租金为函数值y ， ∴租甲家房屋y 与x 的关系为：y ＝3000x ，
租甲家房屋y 与x 的关系为：y ＝40000+2000x ， ①当甲家费用高于乙家费用时3000x ＞40000+2000x ，
解得：x ＞40；
②当甲家费用等于乙家费用时3000x ＝40000+2000x ， 解得：x ＝40；
③当甲家费用低于乙家费用时3000x ＜40000+2000x ， 解得：x ＜40，
综上所诉，①当租期超过40个月时，租乙家合适；②当租期等过40个月时，租家、乙家都可以；③当租期低于40个月，租甲家合适．
23．已知：四边形ABCD 是正方形，点E 是BC 边的中点，点F 在边AB 上，联结DE 、EF ．
（1）如图1，如果tan ∠BEF ＝，求证：EF ⊥DE ； （2）如图2，如果tan ∠BEF ＝，求证：∠DEF ＝3∠CDE ．
【分析】（1）证明△FBE ∽△ECD 可得∠FEB ＝∠EDC ，从而可得∠FED ＝90°，即可得证；
（2）过E 作EH ⊥AD 于H ，连接AE ，证明∠CDE ＝∠DEH ＝∠AEH ＝∠FEA 即可得到∠DEF ＝3∠CDE ． 解：（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°，BC ＝CD ， 设正方形ABCD 边长为m ，则BC ＝CD ＝m ， ∵点E 是BC 边的中点， ∴BE ＝CE ＝m ， ∵tan ∠BEF ＝， ∴＝， 而＝
＝， ∴
，
∴△FBE ∽△ECD ， ∴∠FEB ＝∠EDC ，
∵∠EDC+∠DEC＝90°，
∴∠FEB+∠DEC＝90°，
∴∠FED＝90°，
∴EF⊥DE；
（2）过E作EH⊥AD于H，连接AE，如图：
∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AD于H，
∴AB∥EH∥CD，
∴∠CDE＝∠DEH，
∵E是BC中点，
∴AH＝DH，
∴EH垂直平分AD，
∴∠AEH＝∠DEH，
∴∠CDE＝∠DEH＝∠AEH，
Rt△BEF中，tan∠BEF＝，即＝，
设BF＝3m，则BE＝4m，
∴BC＝2BE＝8m，EF＝5m，
∴AB＝BC＝8m，AF＝AB﹣BF＝5m，
∴EF＝AF，
∴∠FAE＝∠FEA，
而∠FAE＝∠AEH，
∴∠FEA＝∠AEH，
∴∠CDE＝∠DEH＝∠AEH＝∠FEA，
∴∠DEF＝3∠CDE．
24．在平面直角坐标系xOy（如图）中，二次函数f（x）＝﹣2ax+a﹣1（其中a是常数，且a≠0
的抛物线．
（1）求该抛物线的顶点P的坐标；
（2
物线f（x）＝ax2﹣2ax+a﹣1与y轴的交点记为A，
OA 上的“整点”的个数小于4，试求a的取值范围；（3）如果f（﹣1）、f（0）、f（3）、f（4
中有且只有一个值大于0
式；结合函数图象，求a的取值范围．
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【分析】（1）把抛物线代入顶点式为f （x ）＝a （x ﹣1）2﹣1，即可求顶点坐标；
（2）抛物线与y 轴的交点，横坐标为O ，即A 坐标为（0，a ﹣1），根据已知条件a ﹣1＜4，即可求a 的取值范围为0＜a ＜5；
（3）根据已知f （﹣1）、f （0）、f （3）、f （4）有且只有一个大于0，即其余的小于或等于0，由对称轴为x ＝1开口向上，可以得出f （4）＞f （3）＝f （﹣1）＞f （0），根据f （4）＞0，f （3）≤0可以求a 的范围，＜a ≤，即可以写出符合条件的函数解析式．
解：（1）抛物线的方程为f （x ）＝ax 2﹣2ax +a ﹣1＝a （x ﹣1）
2
﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）； （2）A 为抛物线与y 轴的交点， ∴A 点坐标为（0，a ﹣1），
线段OA 上的整点个数小于4，
则可知a ﹣1＜4，a ＜5，
故a 的取值范围为0＜a ＜5；
（3）已知f （﹣1）、f （0）、f （3）、f （4）有且只有一个大于0，（即其余的小于或等于0）
由题可知该函数对称轴为x ＝1，开口方向向上，
故有f （4）＞f （3）＝f （﹣1）＞f （0）， ∴f （4）＞0，
∴得16a ﹣8a +a ﹣1＞0， 得a ＞， f （3）≤0，
得9a ﹣6a +a ﹣1≤0， 得a ≤， 取a ＝，
f （x ）＝x 2﹣x ﹣， ∴a 的取值范围为＜a ≤．
不
得
答
题25．已知：⊙O的半径长是5，AB是⊙O的直径，CD是⊙O
的弦．分别过点A、B向直线CD作垂线，垂足分别为E、
F．
（1）如图1，当点A、B位于直线CD同侧，求证：CF＝
DE；
（2）如图2，当点A、B位于直线CD两侧，∠BAE＝30°，
且AE＝2BF，求弦CD的长；
（3）设弦CD的长为l，线段AE的长为m，线段BF的长为
n，探究l与m、n之间的数量关系，并用含m、n的代数式
表示l．
【分析】（1）如图1中，连接OD，过点O作OH⊥EF
H．证明HF＝HE，HD＝HC，即可解决问题．
（2）连接OD，过点O作OH⊥CD于H，设AB交CD于J
用相似三角形的性质求出BJ，OJ，OH
可得结论．
（3）分两种情形：如图1，当点A、B位于直线CD
如图2中，如图2，当点A、B位于直线CD
勾股定理分别求解即可．
【解答】（1）证明：如图1中，连接OD，过点O作
EF于H．
∵BF⊥EF，AE⊥EF，OH⊥EF，
∴BF∥OH∥AE，
∵OA＝OB，
∴HF＝HE，
∵OH⊥CD，
密 线
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密 封 线 内 不 得 答 题
∴CH ＝DH ，
∴CF ＝DE ．
（2）连接OD ，过点O 作OH ⊥CD 于H ，设AB 交CD 于J ．
∵BF ⊥CD ，AE ⊥CD ， ∴∠BFJ ＝∠AEJ ＝90°， ∵∠BJF ＝∠AJE ， ∴△BFJ ∽△AEJ ， ∴
＝
＝，
∴BJ ＝AB ＝
，
∴OJ ＝OB ﹣BJ ＝5﹣＝，
∵OH ∥AE ，
∴∠JOH ＝∠BAE ＝30°， ∴OH ＝OJ •cos30°＝×＝
，
∵OH ⊥CD ， ∴DH ＝CH ＝
＝
＝
，
∴CD ＝2DH ＝．
（3）如图1，当点A 、B 位于直线CD 同侧时，∵OH ＝（BF +AE ）＝（m +n ），
在Rt △ODH 中，OD 2＝OH 2+DH 2， ∴52＝（m +n ）2+l 2，
∴（m +n ）2+l 2＝100， ∴l ＝
如图2中，当点A 、B 位于直线CD 两侧时，OH ＝|m ﹣n |， 在Rt △ODH 中，OD 2＝OH 2+DH 2， ∴52＝（m ﹣n ）2+l 2， ∴（m ﹣n ）2+l 2＝100， ∴l ＝
综上所述，l ＝
或l ＝
．
内 得 人教版2021年中考数学模拟试题及答案
（满分：150分 时间： 120分钟）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列计算正确的是（ ）
A ．1﹣
1＝﹣1 B ．10＝0 C ．（﹣1）﹣
1＝1 D ．（﹣1）0＝1 2．如果关于x 的方程x 2﹣6x +m ＝0有实数根，那么m 的取值范围是（ ） A ．m ＞9
B ．m ≥9
C ．m ＜9
D ．m ≤9
3．一次函数y ＝3x ﹣2的图象不经过的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．对于等边三角形，下列说法正确的为（ ） A ．既是中心对称图形，又是轴对称图形 B ．是轴对称图形，但不是中心对称图形 C ．是中心对称图形，但不是轴对称图形 D ．既不是中心对称图形，又不是轴对称图形
5．某厂对一个班组生产的零件进行调查，该班组在8天中每天所出的次品数如下（单位：个）：3，3，0，2，2，3，0，3．那么该班组在8天中出的次品数的中位数与方差分别是
（ ）
A ．2.5与1.5
B ．2与1.5
C ．2.5与
D ．2与
6．对于命题：①那么这两个圆内含；②圆的外部，那么这两个圆外离． 下列判断正确的是（ ）
A.①是真命题，②是假命题 B .①是假命题，②C ．①、②都是真命题
D ．①、②都是假命题
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．化简：|
|＝ ．
8．计算：x ÷（x 2﹣x ）＝ ． 9．函数f （x ）＝
的定义域为 ．
10随x 的增大而 ． 11．方程组
的解为 ．
12．从1，2，3有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被3是 ．
13．为了了解学生用于阅读课外书籍的时间的情况，某校在名九年级学生中随机对40
密
线
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密 封 线 内 不 得 答 题
时间进行统计．根据调查结果画出频率分布直方图，如图所
示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），由此可以估计该校九年级学生阅读课外书籍用的时间在6小时及以上的人数约为 ．
14．如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，∠ACD ＝∠B ，AD ＝2，AC ＝，设＝，＝，那么＝ ．（用向量、的式子表示）
15．如果⊙O 1与⊙O 2相交，⊙O 1的半径是5，O 1O 2＝3，那么⊙O 2的半径r 的取值范围是 ．
16．如图，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，矩形DEFG 的顶点E 、F 、G 分别在边AB 、BC 、CD 上，如果DE ＝5，tan C ＝，那么AE 的长为 ．
17．已知矩形纸片ABCD 的边AB ＝10，BC ＝12（如图），将它折叠后，点D 落在边AB 的中点处，那么折痕的长为 ．
18．在一个三角形中，如果有一个内角是另一内角的n 倍（n 为整数），那么我们称这个三角形为n 倍角三角形，如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为 ． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值：﹣﹣，其中x ＝
+1．
20．（10分）已知点A （2，m +3）在双曲线y ＝上． （1）求此双曲线的表达式与点A 的坐标；
（2）如果点B （a ，5﹣a ）在此双曲线上，图象经过点A 、B 的一次函数的函数值y 随x 的增大而增大，求此一次函数的
不
得
答
题解析式．
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AE⊥BC，
垂足为E．DC⊥BC，DC＝BC＝2，∠ADB＝90°，BD与
AE、AC分别相交于点F、G．
求：（1）AF的长；
（2）AG的长．
22．（10分）小丽的叔叔先用900元从甲批发部购进一种商品，
后发现同样的商品乙批发部比甲批发部每件便宜3元，又用
1200元钱从乙批发部购进了同样的商品，且比从甲批发部
购进数量多了40件．问：乙批发部的这种商品每件几元？
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B
＝90°，E是AC的中点，DE的延长线交边BC于点F．
（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；
（2）如果2AE2＝AD•BC，求证：四边形AFCD是菱形．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（
0）（如图），经过点A的抛物线y＝x2+bx+5与y
点B，顶点为点C．
（1）求此抛物线表达式与顶点C的坐标；
（2）求∠ABC的正弦值；
（3）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D
△DCA与△ABC相似，求平移后的新抛物线的表达式．
25．（14分）如图，已知半圆O的直径AB＝4，点P
OA上，半圆P与半圆O相切于点A，点C在半圆P
CO⊥AB，AC的延长线与半圆O相交于点D，OD与BC
交于点E．
（1）求证：AD•AP＝OD•AC；
（2）设半圆P的半径为x，线段CD的长为y，求y与x
密 线
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密 封 线 内 不 得 答 题
间的函数解析式，并写出定义域；
（3）当点E 在半圆P 上时，求半圆P 的半径．
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列计算正确的是（ ）
A ．1﹣1
＝﹣1 B ．10＝0 C ．（﹣1）﹣1
＝1 D ．（﹣1）0＝1 【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A 、1﹣1
＝1，故此选项错误； B 、10＝1，故此选项错误；
C 、（﹣1）﹣1
＝﹣1，故此选项错误； D 、（﹣1）0＝1，故此选项正确． 故选：D ．
2．如果关于x 的方程x 2
﹣6x +m ＝0有实数根，那么m 的取值范围是（ ） A ．m ＞9
B ．m ≥9
C ．m ＜9
D ．m ≤9
【分析】由关于x 的方程x 2
﹣6x +m ＝0有实数根知△＝b 2
﹣
4ac ≥0，求出m 的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x 的方程x 2﹣x +m ＝0有实数根， ∴△≥0，
∴△＝（﹣6）2﹣4m ≥0，
∴m ≤9，
故选：D ．
3．一次函数y ＝3x ﹣2的图象不经过的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系解答即可． 【解答】解：∵一次函数y ＝3x ﹣2中，k ＝3＞0，b ＝﹣2＜0， ∴此函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限． 故选：B ．
4．对于等边三角形，下列说法正确的为（ ） A ．既是中心对称图形，又是轴对称图形 B ．是轴对称图形，但不是中心对称图形 C ．是中心对称图形，但不是轴对称图形 D ．既不是中心对称图形，又不是轴对称图形
【分析】直接利用轴对称图形以及中心对称图形的定义分析得出答案．
【解答】解：等边三角形，是轴对称图形，但不是中心对称图形．
密 封 线 内 不 得 故选：B ．
5．某厂对一个班组生产的零件进行调查，该班组在8天中每天所出的次品数如下（单位：个）：3，3，0，2，2，3，0，3．那么该班组在8天中出的次品数的中位数与方差分别是（ ）
A ．2.5与1.5
B ．2与1.5
C ．2.5与
D ．2与
【分析】将已知数据重新排列，再根据中位数和方差的定义求解即可．
【解答】解:将这组数据重新排列为0、0、2、2、3、3、3、3， 所以这组数据的中位数为
＝2.5，平均数为
＝2，
则其方差为×[2×（0﹣2）2+2×（2﹣2）2+4×（3﹣2）2]＝1.5，
故选：A ．
6．对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离． 下列判断正确的是（ ）
A ．①是真命题，②是假命题
B .①是假命题，②是真命
C ．①、②都是真命题
D ．①、②都是假命题
【分析】根据两圆的位置关系、直线和圆的位置关系判断即可．
【解答】解：①那么这两个圆内含，是真命题；
②如果第一个圆上的点都在第二个圆的外部，外离或内含，原命题是假命题； 故选：A ．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．化简：|
|＝
．
【分析】要先判断出＜0，再根据绝对值的定义即可求解． 【解答】解：∵＜0
∴|
|＝2﹣．
故答案为：2﹣． 8．计算：x ÷（x 2﹣x ）＝
．
性质进行化简即可． 【解答】解：原式＝
＝ ＝
．
故答案为：
．
9．函数f （x ）＝
的定义域为 x ≠ ．
【分析】函数的定义域，需要使函数有意义，即分母不为
密
线
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密 封 线 内 不 得 答 题
列出不等式，即可求出x 的取值范围．
【解答】解：根据题意可得，3﹣2x ≠0，即x ≠．
故答案为：x ≠．
10．如果正比例函数的图象经过第二、四象限，那么函数值y
随x 的增大而 减小 ．
【分析】画出大致图象即可得到答案；
【解答】解：正比例函数的图象经过第二、四象限，大致图象如图：
x 越大，y 越小， 故答案为：减小． 11．方程组
的解为
．
【分析】根据题意先对第一个式子因式分解，求出x +y 的值，即可求解了．
【解答】解：∵x 2+y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）． ∴将x ﹣y ＝1代入． ∴x +y ＝3．
∴． ∴
．
故答案为：
．
12．从1，2，3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被3整除的概率是
．
【分析】画树状图，共有6个等可能的结果，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被3整除的结果有2个，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如图：
共有6个等可能的结果，在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被3整除的结果有2个，
∴在组成的所有两位数中任意抽取一个数，这个数恰好能被3整除的概率为＝， 故答案为：．
13．为了了解学生用于阅读课外书籍的时间的情况，某校在300名九年级学生中随机对40名学生每周阅读课外书籍所用的时间进行统计．根据调查结果画出频率分布直方图，如图所
密
封
线示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），由此可以估
计该校九年级学生阅读课外书籍用的时间在6小时及以上
的人数约为120人．
【分析】求出九年级学生阅读课外书籍用的时间在6小时及
以上的人数所占得百分比即可．
【解答】解：300×（25%+15%）＝120（人），
故答案为：120人．
14．如图，在△ABC中，点D在边AB上，∠ACD＝∠B，AD
＝2，AC＝，设＝，＝，那么＝﹣．（用
向量、的式子表示）
【分析】根据＝+，求解即可．
【解答】解：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△ABC，
∴AC2＝AD•AB，
∴（）2＝AD•AB，
∴AB＝3，
∴BD＝1，
∴BD＝AB，
∴＝，
∴＝+，
∴＝﹣．
故答案为：
15．如果⊙O1与⊙O2相交，⊙O1的半径是5，O1O2＝3
⊙O2的半径r的取值范围是2＜r＜8．
圆相交，则R﹣r＜d＜R+r．
【解答】解：∵两圆相交，
∴圆心距的取值范围是|5﹣r|＜3＜5+r，
即2＜r＜8．
故答案为：2＜r＜8．
16．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD
DEFG的顶点E、F、G分别在边AB、BC、CD
密
线
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密 封 线 内 不 得 答 题
DE ＝5，tan C ＝，那么AE 的长为 2 ．
【分析】证明AE ＝CG ，解直角三角形求出CG ，可得结论． 【解答】解：∵四边形DEFG 是矩形，
∴EF ∥CD ，EF ＝DG ，∠FGD ＝∠FGC ＝90°，DE ＝FG ＝5，
∴∠EFB ＝∠C ， ∵AD ∥BC ，AB ＝CD ， ∴四边形ABCD 是等腰梯形， ∴∠B ＝∠C ， ∴∠B ＝∠EFB ， ∴BE ＝EF ＝DG ， ∴AE ＝CG ，
在Rt △FGC 中，tan C ＝＝，
∴CG ＝2， ∴AE ＝CG ＝2， 故答案为：2．
17．已知矩形纸片ABCD 的边AB ＝10，BC ＝12（如图），将
它折叠后，点D 落在边AB 的中点处，那么折痕的长为 ．
【分析】先画出图形，构造相似三角形求出MF ，再利用勾股定理求解．
【解答】解：过点E 作EM ⊥BC 于点M ，
∵把矩形ABCD 折叠，点D 与AB 中点P 重合，点C 落在G 处，
∴EF 垂直平分PD ， ∴∠EDP +∠DEF ＝90°， ∵∠DEF +∠MEF ＝90°， ∴∠EDP ＝∠MEF ，
∵∠EMF ＝90°，∠A ＝90°， ∴△ADP ∽△FEM ，
∴．
在矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝12，P 为AB 点， ∴AD ＝12，AP ＝5，EM ＝10， ∴， ∴
，
密 封 线 内 不答 题
在Rt △EMF 中，
．
18．在一个三角形中，如果有一个内角是另一内角的n 倍（n 为整数），那么我们称这个三角形为n 倍角三角形，如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为 30°或20°或18°或
．
【分析】根据2倍角三角形、3倍角三角形的定义，这道题分两种情况去讨论解决．
【解答】解：①设最小内角度数为n °，2倍角为2n °，3倍角为3n °， ∴n +2n +3n ＝180， ∴n ＝30；
②设最小内角度数为n °，2倍角为2n °，3倍角为6n °， ∴n +2n +6n ＝180， ∴n ＝20．
③设最小内角度数为n °，3倍角为3n °，2倍角为6n °，
∴n +3n +6n ＝180， ∴n ＝18．
④设最小内角度数为2n °，其余两个角为3n °和6n ∴2n +3n +6n ＝180， ∴n ＝， ∴2n ＝
．
故答案为：30°或20°或18°或
．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（10分）先化简，再求值：﹣
﹣
，其中x ＝
+1．
的值代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解：﹣
﹣ ＝
＝ ＝
＝
＝
，
当x ＝+1时，原式＝
＝
＝
＝。