数学人教A版(2019)必修第二册6.4.1平面几何中的向量方法(共17张ppt)
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几何图形到向量 恰当的向量运算 向量到几何关系
接下我们就来学习用向量法解决平面几何中的一些问题.
返回
例析
例1.如图，DE 是ABC 的中位线. 求证：DE // BC , 且DE 1 BC .
思考(1) : 从向量的角度看2，可以通
A
D
E
过证明什么得到DE
//
1 2
BC
？
B
C
证明向量DE ，BC 满足DE 1 BC
DE
//
2 BC，且
|
DE
|
1
|
BC
|
2
DE，BC 不在一条直线上
DE // BC , 且DE 1 BC. 2
思考(3): 通过本题以及前面的经验，你能总结一下用向量 法解决几何问题的主要过程和步骤吗?
用向量法解决几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
另一方面，向量同数一样，都有自己的运算体系，通过运 算解决问题. 向量的数量积运算最终归结为几个实数的乘积， 而向量用一个字母量时，向量的线性运算几何与实数的运算类 似. 借助平面向量基本定理将向量坐标化后，向量的运算更是几 乎纯粹实数化。
因此，平面几何中的很多问题都可以用向量的方法来解决， 其基本思路是：
练习
1.非零向量 AB , AC 满足( AB AC ) BC 0 , 且 AB AC
| AB | | AC |
| AB | | AC |
1 ，则ABC 2
是(
D
).
( A) 不等边三角形
(B) 直角三角形
(C ) 底和腰不等的等腰三角形 ( D) 等边三角形
简析： AB ，AC 是与AB ，AC 同向的单位向量
6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
引入
前面我们学习了平面向量的有关概念及运算，知道了向量具 有几何和代数的双重属性 . 你能再说说向量的这种特点吗？
一方面，向量具有长度和方向，可以用有向线段来表示， 可以与几何上的长度，角度(含平行，垂直等）相关联，进一步 解决，位置，面积，相似等问题，而且向量的线性运算，数量 积运算的法则和规律都有明显的几何意义.
AD)2
2
AB
2AB
AD
2
AD
②
① ②两式相加得
2
2
2
2
AC BD 2( AB AD )
运算
| AC |2 | BD |2 2(| AB |2 | AD |2 ) 即 AC 2 BD2 2( AB2 AD2 )
翻译: 向量回几何
平行四边形对角线定理
平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和（或 两条邻边平方和的2倍)
求证：a2 b2 c2
A
证明：在ABC中，则向量运算法则得
AB CB CA ，
C
2
AB
(CB
CB CA，CB CA 0
2
AB
2
CB
CA2，即
a2
b2
c2
4.用向量法证明：等腰三角形两底角相等.
已知：ABC中，AB AC. 求证：B C.
证明：在ABC中，则向量运算法则得
| AB | | AC |
AB | AB |
A
AC | AC |
AB AC 与A 的平分线平行
| AB | | AC |
B
C
由( AB AC ) BC 0得A 的平分线与BC 垂直 | AB | | AC |
ABC 为等腰三角形
又 AB AC 11 cos A 1 ,
| AB | | AC |
BO C
NA NB NC 0 N 为三角形重心
B
A
N
C
由PA PB PB PC PC PA 得
PA PB PB PC 0
PB (PA PC ) 0，
即PB CA 0
A
PB CA 同理，
B
PC
PC AB ，PA CB P为三角形垂心
3.用向量法证明勾股定理.
已知：在RtABC中，C 90，BC a, AC b, AB c
2
思考(2) : 如何来研究DE ，BC 间的关系 ?
用同一个基底(比如{ AB, AC })将它们表示出来.
证明 : D、E 分别是线段
AB，AC 的中点
AD 1 AB ，AE 1 AC
2
2
而 DE AE AD 1 AC 1 AB
22
1 ( AC AB) 2
BC AC AB
DE 1 BC
如例1中，将所有向量用AB ，AC 来表示.
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹 角等问题;
如例1中，通过向量运算得到结果：DE 1 BC . 2
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
如例1中， 由" DE 1 BC " 得出 " DE // BC , 且DE 1 BC ".
2
2
返回
例2.如图，四边形ABCD 是平行四边 D
C
形，你能发现对角线AC，BD 长度与两
条邻边AB，AD 长度之间的关系吗?
解 : 取{ AB, AD})为基底，则 AC AB AD， BD AB AD
A
B
转化:几何化向量
2
AC
( AB
AD)2
2
AB 2AB
AD
2
AD
①
2
BD
( AB
(D) 外心，重心，内心
三角形的“心” 重心：三条中线的交点；垂心：三条高 的交点； 内心：三条内角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)； 外心：三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)； 中心：等边三角形重心，垂心，内心，外心的重合点
简析： | OA || OB || OC |
A
O 为三角形外心 .
例析
例3.如图，正方形的边长为a , E 是AB边的中点，F 是BC
边靠近B的三等分点，AF 与D E交于点M，求EMF 的余弦.
2
A
3
ABC 为等边三角形
2.已知点O，N，P 在ABC 所在平面内，且满足 | OA || OB |
=| OC |，NA NB NC 0，PA PB PB PC PC PA ，则
点O，N，P 依次是ABC的( C )
( A) 重心，外心，垂心
(B) 重心，外心，内心
(C ) 外心，重心，垂心
B A
AB CB CA ，AC BC BA
|
AB
| |
AC
|,
2
AB
AC 2 ,即
B
C
2
2
2
2
CB 2CB CA CA BC 2BC BA BA
CB CA BC BA ， | CB | | CA | cos C | BC | | BA |cos B
由 | CB | | BC |，| CA | | BA | ，B , C (0, ) 得 B C.
接下我们就来学习用向量法解决平面几何中的一些问题.
返回
例析
例1.如图，DE 是ABC 的中位线. 求证：DE // BC , 且DE 1 BC .
思考(1) : 从向量的角度看2，可以通
A
D
E
过证明什么得到DE
//
1 2
BC
？
B
C
证明向量DE ，BC 满足DE 1 BC
DE
//
2 BC，且
|
DE
|
1
|
BC
|
2
DE，BC 不在一条直线上
DE // BC , 且DE 1 BC. 2
思考(3): 通过本题以及前面的经验，你能总结一下用向量 法解决几何问题的主要过程和步骤吗?
用向量法解决几何问题的“三步曲”
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
另一方面，向量同数一样，都有自己的运算体系，通过运 算解决问题. 向量的数量积运算最终归结为几个实数的乘积， 而向量用一个字母量时，向量的线性运算几何与实数的运算类 似. 借助平面向量基本定理将向量坐标化后，向量的运算更是几 乎纯粹实数化。
因此，平面几何中的很多问题都可以用向量的方法来解决， 其基本思路是：
练习
1.非零向量 AB , AC 满足( AB AC ) BC 0 , 且 AB AC
| AB | | AC |
| AB | | AC |
1 ，则ABC 2
是(
D
).
( A) 不等边三角形
(B) 直角三角形
(C ) 底和腰不等的等腰三角形 ( D) 等边三角形
简析： AB ，AC 是与AB ，AC 同向的单位向量
6.4 平面向量的应用
6.4.1 平面几何中的向量方法
引入
前面我们学习了平面向量的有关概念及运算，知道了向量具 有几何和代数的双重属性 . 你能再说说向量的这种特点吗？
一方面，向量具有长度和方向，可以用有向线段来表示， 可以与几何上的长度，角度(含平行，垂直等）相关联，进一步 解决，位置，面积，相似等问题，而且向量的线性运算，数量 积运算的法则和规律都有明显的几何意义.
AD)2
2
AB
2AB
AD
2
AD
②
① ②两式相加得
2
2
2
2
AC BD 2( AB AD )
运算
| AC |2 | BD |2 2(| AB |2 | AD |2 ) 即 AC 2 BD2 2( AB2 AD2 )
翻译: 向量回几何
平行四边形对角线定理
平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和（或 两条邻边平方和的2倍)
求证：a2 b2 c2
A
证明：在ABC中，则向量运算法则得
AB CB CA ，
C
2
AB
(CB
CB CA，CB CA 0
2
AB
2
CB
CA2，即
a2
b2
c2
4.用向量法证明：等腰三角形两底角相等.
已知：ABC中，AB AC. 求证：B C.
证明：在ABC中，则向量运算法则得
| AB | | AC |
AB | AB |
A
AC | AC |
AB AC 与A 的平分线平行
| AB | | AC |
B
C
由( AB AC ) BC 0得A 的平分线与BC 垂直 | AB | | AC |
ABC 为等腰三角形
又 AB AC 11 cos A 1 ,
| AB | | AC |
BO C
NA NB NC 0 N 为三角形重心
B
A
N
C
由PA PB PB PC PC PA 得
PA PB PB PC 0
PB (PA PC ) 0，
即PB CA 0
A
PB CA 同理，
B
PC
PC AB ，PA CB P为三角形垂心
3.用向量法证明勾股定理.
已知：在RtABC中，C 90，BC a, AC b, AB c
2
思考(2) : 如何来研究DE ，BC 间的关系 ?
用同一个基底(比如{ AB, AC })将它们表示出来.
证明 : D、E 分别是线段
AB，AC 的中点
AD 1 AB ，AE 1 AC
2
2
而 DE AE AD 1 AC 1 AB
22
1 ( AC AB) 2
BC AC AB
DE 1 BC
如例1中，将所有向量用AB ，AC 来表示.
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹 角等问题;
如例1中，通过向量运算得到结果：DE 1 BC . 2
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
如例1中， 由" DE 1 BC " 得出 " DE // BC , 且DE 1 BC ".
2
2
返回
例2.如图，四边形ABCD 是平行四边 D
C
形，你能发现对角线AC，BD 长度与两
条邻边AB，AD 长度之间的关系吗?
解 : 取{ AB, AD})为基底，则 AC AB AD， BD AB AD
A
B
转化:几何化向量
2
AC
( AB
AD)2
2
AB 2AB
AD
2
AD
①
2
BD
( AB
(D) 外心，重心，内心
三角形的“心” 重心：三条中线的交点；垂心：三条高 的交点； 内心：三条内角平分线的交点(三角形内切圆的圆心)； 外心：三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)； 中心：等边三角形重心，垂心，内心，外心的重合点
简析： | OA || OB || OC |
A
O 为三角形外心 .
例析
例3.如图，正方形的边长为a , E 是AB边的中点，F 是BC
边靠近B的三等分点，AF 与D E交于点M，求EMF 的余弦.
2
A
3
ABC 为等边三角形
2.已知点O，N，P 在ABC 所在平面内，且满足 | OA || OB |
=| OC |，NA NB NC 0，PA PB PB PC PC PA ，则
点O，N，P 依次是ABC的( C )
( A) 重心，外心，垂心
(B) 重心，外心，内心
(C ) 外心，重心，垂心
B A
AB CB CA ，AC BC BA
|
AB
| |
AC
|,
2
AB
AC 2 ,即
B
C
2
2
2
2
CB 2CB CA CA BC 2BC BA BA
CB CA BC BA ， | CB | | CA | cos C | BC | | BA |cos B
由 | CB | | BC |，| CA | | BA | ，B , C (0, ) 得 B C.