2019高中数学 模块综合测评 新人教A版选修2-2

模块综合测评
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的)
1．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2
－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1
D ．－1或1
B [由题意知⎩
⎪⎨⎪⎧
m m ＋
＝0m 2
－1≠0，∴m ＝0.]
2．演绎推理“ 因为对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠ 1)是增函数，而函数y ＝log 1
2x 是对
数函数，所以y ＝log 1
2
x 是增函数” 所得结论错误的原因是( )
【导学号：31062245】
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．大前提和小前提都错误
A [对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，当a >1时是增函数，当0<a <1时是减函数，故大前提错误．]
3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝
n ＋
n ＋
2
(n ∈N *
)时，验证
n ＝1，左边应取的项是 ( )
A ．1
B ．1＋2
C ．1＋2＋3
D ．1＋2＋3＋4
D [当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.]
4．用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可以被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除．”假设的内容是( )
A ．a ，b 都能被5整除
B ．a ，b 都不能被5整除
C ．a 不能被5整除
D ．a ，b 有1个不能被5整除
B [用反证法证明时，要假设所要证明的结论的反面成立，本题中应反设a ，b 都不能被5整除．]
5．设曲线y ＝x ＋1
x －1
在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a ＝( ) A ．－2 B ．－12
C ．12
D ．2
A [y ′＝
－2x －
2
，y ′|x ＝3＝－1
2
，
∵⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12·(－a )＝－1，∴a ＝－2.] 6．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋i ，则z 1z 2
在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第三象限 C ．第二象限
D ．第四象限
D [z 1z 2＝2＋i 1＋i ＝32－i 2，对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫3
2
，－12在第四象限．]
7．函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )
图1
D [观察导函数f ′(x )的图象可知，f ′(x )的函数值从左到右
依次为小于0，大于0，小于0，大于0，
∴对应函数f (x )的增减性从左到右依次为减、增、减、增． 观察选项可知，排除A 、C.
如图所示，f ′(x )有3个零点，从左到右依次设为x 1，x 2，x 3，且x 1，x 3是极小值点，
x 2是极大值点，且x 2>0，故选项D 正确．故选D.]
8．用数学归纳法证明不等式
1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >12
(n >1，n ∈ N *)的过程中，从n ＝k
到n ＝k ＋1时左边需增加的代数式是( ) 【导学号：31062246】
A.1
2k ＋2
B.12k ＋1－12k ＋2
C.12k ＋1＋12k ＋2
D.
12k ＋1
B [从n ＝k 到n ＝k ＋1左边增加了12k ＋1＋12k ＋2减少了1
k ＋1，∴需增加的代数式为
12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝12k ＋1－1
2k ＋2
.] 9．已知结论：“ 在正三角形ABC 中，若D 是BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则
AG GD
＝2”. 若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体A ­BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AO OM
等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
C [面的重心类比几何体的重心，平面类比空间，AG
GD ＝2类比AO OM
＝3，故选C.] 10．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )
A ．乙可以知道四人的成绩
B ．丁可以知道四人的成绩
C ．乙、丁可以知道对方的成绩
D ．乙、丁可以知道自己的成绩
D [由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“1个优秀，1个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．
故选D.]
11．如图2，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中顶点个数为 ( )
图2
A ．(n ＋1)(n ＋2)
B ．(n ＋2)(n ＋3)
C ．n 2
D ．n
B [第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n 个图形共有(n ＋2)(n ＋3)个顶点．]
12．已知可导函数f (x )(x ∈R )满足f ′(x )>f (x )，则当a ＞0时，f (a )和e a
f (0)的大小的关系为( )
【导学号：31062247】
A ．f (a )<e a
f (0) B ．f (a )>e a
f (0) C ．f (a )＝e a
f (0)
D ．f (a )≤e a
f (0)
B [令g (x )＝e －x
f (x )，则
g ′(x )＝e －x
[f ′(x )－f (x )]>0.
所以g (x )在(－∞，＋∞)上为增函数，g (a )>g (0)．e －a
f (a )>e 0
f (0)，即f (a )>e a
f (0)，故选B.]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则|a ＋b i|＝________.
[解析] 由(a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a －1＝0，a ＋1＝
b ，解方程组，得a ＝1，
b ＝2，则a ＋b i ＝1＋2i.
∴|a ＋b i|＝1＋4＝ 5. [答案]
5
14．由抛物线y ＝12x 2
，直线x ＝1，x ＝3和x 轴所围成的图形的面积是
________．
[解析] 如图所示，S ＝
[答案]
13
3
15．观察下列不等式 1＋122<32， 1＋122＋132<53， 1＋122＋132＋142<74， ……
照此规律，第五个不等式为________．
[解析] 左边的式子的通项是1＋122＋132＋…＋
1
n ＋
2
，右边式子的分母依次增加1，
分子依次增加2，还可以发现右边分母与左边最后一项分母的关系，所以第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162＜11
6
. [答案] 1＋122＋132＋142＋152＋162＜116
16．设x 3
＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数．下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________．(写出所有正确条件的编号)
【导学号：31062248】
①a ＝－3，b ＝－3；②a ＝－3，b ＝2；
③a ＝－3，b ＞2；④a ＝0，b ＝2；⑤a ＝1，b ＝2.
[解析] 令f (x )＝x 3
＋ax ＋b ，求导得f ′(x )＝3x 2
＋a ，当a ≥0时，f ′(x ) ≥0，所以f (x )单调递增，且至少存在一个数使f (x )<0，至少存在一个数使f (x )>0，所以
f (x )＝x 3＋ax ＋b 必有一个零点，即方程x 3＋ax ＋b ＝0仅有一根，故④⑤正确；当a <0时，
若a ＝－3，则f ′(x )＝3x 2
－3＝3(x ＋1)(x －1)，易知，f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在[－1,1]上单调递减，所以f (x )极大＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2，f (x )极小＝
f (1)＝1－3＋b ＝b －2，要使方程仅有一根，则f (x )极大＝b ＋2<0或者f (x )极小＝b －2>0，解
得b <－2或b >2，故①③正确．所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤.
[答案] ①③④⑤
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知a >0，b >0用分析法证明：a ＋b
2
≥
2ab
a ＋b
. [证明] 因为a >0，b >0， 要证
a ＋b
2
≥
2ab
a ＋b
， 只要证，(a ＋b )2
≥4ab ，只要证(a ＋b )2
－4ab ≥0， 即证a 2
－2ab ＋b 2
≥0，
而a 2
－2ab ＋b 2
＝(a －b )2
≥0恒成立， 故
a ＋b
2
≥
2ab
a ＋b
成立． 18．(本小题满分12分)已知z ∈C ，且|z |－i ＝z ＋2＋3i(i 为虚数单位)，求复数
z
2＋i 的虚部．
[解] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，代入方程|z |－i ＝z ＋2＋3i ，
得出x 2＋y 2
－i ＝x －y i ＋2＋3i ＝(x ＋2)＋(3－y )i ，
故有⎩⎨
⎧
x 2＋y 2＝x ＋23－y ＝－1
，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝3y ＝4，
∴z ＝3＋4i ，复数z 2＋i ＝3＋4i
2＋i
＝2＋i ，虚部为1.
19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝－13
x 3＋x 2＋(m 2
－1)x (x ∈R )，其中m ＞0.
【导学号：31062249】
(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)求函数f (x )的单调区间与极值． [解] (1)当m ＝1时，f (x )＝－13
x 3＋x 2
，
f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.
所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1. (2)f ′(x )＝－x 2
＋2x ＋m 2
－1.
令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m 或x ＝1＋m . 因为m ＞0，所以1＋m ＞1－m .
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
函数f (x )在x ＝1－m 处取得极小值f (1－m )， 且f (1－m )＝－23m 3＋m 2－1
3
.
函数f (x )在x ＝1＋m 处取得极大值f (1＋m )， 且f (1＋m )＝23m 3＋m 2
－13
.
20．(本小题满分12分) 某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p 元，销量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2
，则当该商品零售价定为多少元时利润最大，并求出利润的最大值．
[解] 设商场销售该商品所获利润为y 元，则
y ＝(p －20)(8 300－170p －p 2)
＝－p 3
－150p 2
＋11 700p －166 000(p ≥20)， 则y ′＝－3p 2
－300p ＋11 700.
令y ′＝0得p 2
＋100p －3 900＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)． 则p ，y ，y ′变化关系如下表：
故当p 又y ＝－p 3
－150p 2
＋11 700p －166 000在[20，＋∞)上只有一个极值，故也是最值．所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元．
21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；
(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围.
【导学号：31062250】
[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1
x
－a .
若a ≤0，则f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．
若a >0，则当x ∈⎝
⎛⎭
⎪⎫0，1a 时，f ′(x )>0；
当x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a
，＋∞时，f ′(x )<0.
所以f (x )在⎝
⎛⎭
⎪⎫0，1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a ，＋∞上单调递减．
(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a >0时，f (x )在x ＝1
a
处取得最大值，最大值为
f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
1a ＝ln 1
a ＋a ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
1－1a ＝－ln a ＋a －1.
因此f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a
>2a －2等价于ln a ＋a －1<0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0. 于是，当0<a <1时，g (a )<0；当a >1时，g (a )>0. 因此a 的取值范围是(0,1)．
22．(本小题满分12分)在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足S n ＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫a n ＋1a n .
(1)求a 1，a 2，a 3；
(2)由(1)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想.
【导学号：31062251】
[解] (1)由S 1＝a 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋1a 1得a 2
1＝1，
∵a n >0，∴a 1＝1.
由S 2＝a 1＋a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2得a 2
2＋2a 2－1＝0.
∴a 2＝2－1.
由S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3＋1a 3得a 2
3＋22a 3－1＝0.∴a 3＝3－ 2.
(2)猜想a n ＝n －n －1(n ∈N *
)．
证明如下：①n ＝1时，a 1＝1－0命题成立． ②假设n ＝k 时，a k ＝k －k －1成立， 则n ＝k ＋1时，
a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝12⎝
⎛
⎭
⎪⎫
a k ＋1＋1a k ＋1
－12⎝
⎛⎭
⎪⎫
a k ＋1a
k
， 即a k ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－12k －k －1＋1k －k －1＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫a k ＋1＋1a k ＋1－k
∴a 2
k ＋1＋2ka k ＋1－1＝0.∴a k ＋1＝k ＋1－k . 即n ＝k ＋1时，命题成立， 由①②知，n ∈N *，a n ＝n －n －1.。