江苏省盐城市盐都区龙冈中学高三数学理测试题含解析

江苏省盐城市盐都区龙冈中学高三数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在△ABC中，设命题命题q:△ABC是等边三角形，那么命题p是命题q的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件参考答案：
C
2. （其中、为正数），若∥，则的最小值是
A．B．C．
D．
参考答案：
D
3. 定义在实数集上的函数，如果存在函数，使得对于一切实数都成立，那么称为函数的一个承托函数.给出如下命题：
1对给定的函数，其承托函数可能不存在，也可能有无数个
2定义域和值域都是的函数不存在承托函数；
3为函数的一个承托函数；
4为函数的一个承托函数
其中，正确的命题个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：C
4. 已知，若（其中为虚数单位），
则（）
A． B．
C． D．
参考答案：
C
略
5. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
参考答案：
D
6. 若函数有极值点，且，则关于的方程
的不同实根的个数是（）
A．3 B．4 C．5 D．6
参考答案：
【知识点】函数在某点取得极值的条件；根的存在性及根的个数判断．B9 B11
【答案解析】A 解析：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，不妨设x2＞x1，由3（f（x））2+2af（x）+b=0，则有两个f（x）使等式成立，x1=f（x1），x2＞x1=f（x1），
如下示意图象：如图有三个交点，故选A．
【思路点拨】求导数f′（x），由题意知x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，从而关于f（x）的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0有两个根，作出草图，由图象可得答案．
7. 已知函数f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若?x1∈[﹣1，2]，?x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围是（）
A．B．C．（0，3] D．[3，+∞）
参考答案：
D
【考点】34：函数的值域．
【分析】根据二次函数的图象求出f（x）在[﹣1，2]时的值域为[﹣1，3]，再根据一次g（x）=ax+2（a＞0）为增函数，求出g（x2）∈[2﹣a，2a+2]，由题意得f（x）值域是g（x）值域的子集，从而得到实数a的取值范围．
【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称
∴x1∈[﹣1，2]时，f（x）的最小值为f（1）=﹣1，最大值为f（﹣1）=3，
可得f（x1）值域为[﹣1，3]
又∵g（x）=ax+2（a＞0），x2∈[﹣1，2]，
∴g（x）为单调增函数，g（x2）值域为[g（﹣1），g（2）]
即g（x2）∈[2﹣a，2a+2]
∵?x1∈[﹣1，2]，?x2∈[﹣1，2]，使得f（x1）=g（x2），
∴?a≥3
故选D
8. 已知奇函数是定义在R上的可导函数，其导函数为，当时，有
，则不等式的解集为()
A. (－∞,－2016)
B. (－2016,－2012)
C. (－∞,－2018)
D. (－2016,0)
参考答案：
A
【分析】
构造新函数，根据条件可得是奇函数，且单调增，将所求不等式化为
，即，解得，即【详解】设，
因为为R上奇函数，
所以，
即为上奇函数
对求导，得，
而当时，有
故时，，即单调递增，
所以在R上单调递增
不等式
，
即
所以，解得
故选A项.
【点睛】本题考查构造函数解解不等式，利用导数求函数的单调性，函数的奇偶性，题目较综合，有一定的技巧性，属于中档题.
9. 函数y=sin（ωx+）在x=2处取得最大值，则正数ω的最小值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
【考点】三角函数的最值．
【分析】由条件利用正弦函数的最值，求得正数ω的最小值．
【解答】解：∵函数y=sin（ωx+）在x=2处取得最大值，故2ω+=2kπ+，k∈Z，
故正数ω的最小正值为，
故选：D ．
10. 方程
有解，则的最小值为（ ）
A ．2
B ．
C ．1
D ．
参考答案：
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 2019年8月第二届全国青年运动会在山西举行，若将4名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，每个运动场馆2名志愿者，则其中志愿者甲和乙被分到同一场所的概率为_____。

参考答案：
【分析】
先列举出所有可能的基本事件总数，然后计算志愿者甲和乙被分到同一场所包含的基本事件数，再根据古典概型概率计算公式计算出所求的概率. 【详解】设甲为，乙为，另外两名志愿者为.将4名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，基
本事件有：
共种，其中甲乙一起的有种，故概率为
.
【点睛】本小题主要考查利用列举法求解古典概型概率问题，属于基础题.
12. 函数f （x ）=x 2﹣2x+5的定义域是x∈（﹣1，2]，值域是 ．
参考答案：
[4，8）
考点： 函数的值域．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： 由题意，配方法化简f （x ）=x 2﹣2x+5=（x ﹣1）2+4；从而求值域． 解答： 解：f （x ）=x 2﹣2x+5=（x ﹣1）2+4； ∵x∈（﹣1，2]，
∴（x ﹣1）2
+4∈[4，8）；
故答案为：
[4，8）．
点评： 本题考查了函数的值域的求法，属于基础题．
13. 已知函数，如果，则的取值范围
是 。

参考答案：
14. 设
为正实数，若
，则
的最小值是 ▲ .
参考答案：
15. 已知定义在R 上的函数
则
= .
参考答案：
16. 设区域
，若任取点
，则关于x 的方程
有实根的概率为____________．
参考答案：
17. 已知函数y=sin （ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤
）的部分图象如示，则φ
的值为
．
参考答案：
【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【专题】计算题．
【分析】先利用函数图象，计算函数的周期，再利用周期计算公式计算ω的值，最后将点（，
0）代入，结合φ的范围，求φ值即可 【解答】解：由图可知T=2（）=π，∴ω=
=2
∴y=sin（2x+φ） 代入（，0），得sin （+φ）=0
∴
+φ=π+2kπ，k∈Z
∵0＜φ≤
∴φ=
故答案为
【点评】本题主要考查了y=Asin （ωx+φ）型函数的图象和性质，利用函数图象确定参数值的方法，
属基础题
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）已知函数
，为自然对数的底，
（1）求
的最值；
（2）若关于方程有两个不同解，求
的范围.
参考答案：
解：（1）
，定义域为，，令，解得，当时，
；当
时，，所以；
（2）由（1）可知
在
时，取得最大值
，
，要让方程有两个不同解，结合图像
可知：，解得。

略
19. 已知函数（为常数， 2.71828……是自然对数的底数），曲线在点
处的切线与轴平行. （1）求的值；
（2）求的单调区间；
（3）设
，其中
为
的导函数，证明：对任意
，
.
参考答案：
解：(1)由得由于曲线在处的切线与x
轴平行，所以，因此…………………………………………3分
（2）由(1)得，令当时，；当时，又，所以时，；时，
. 因此的单调递增区间为（0,1），单调递减区间为………………6分(3)证明因为，所以因此对任意
等价于由（2）知
所以
因此当时，单调递增；当时单调递增.
所以的最大值为故设
因为，所以时，单调递增，
故时，即所以
因此对任意……………………………………………………………12分
略
20. （本小题满分12分）如图，某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开
辟出三块形状大小相同的小矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道，已知兰块绿化区的总面积为800平方米，求该矩形区域ABCD占地面积的最小值。

参考答案：21. （14分）已知数列{a n}中，a1=3，a n+1=2a n﹣1（n≥1）
（Ⅰ）设b n=a n﹣1（n=1，2，3…），求证：数列{b n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a n}的通项公式
（Ⅲ）设，求证：数列{c n}的前n项和．
参考答案：
【考点】数列递推式；等比关系的确定；数列与不等式的综合．
【专题】综合题；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）将a n+1=2a n﹣1转化a n+1﹣1=2（a n﹣1），即可证得结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ），即可求数列{a n}的通项公式
（Ⅲ）利用裂项法求和，即可得到结论．
【解答】（Ⅰ）证明：∵a n+1=2a n﹣1（n≥1）
∴两边同时减去1，得a n+1﹣1=2（a n﹣1）
又a1﹣1=2，b n=a n﹣1
∴{b n}是以a1﹣1=2为首项，q=2为公比的等比数列，
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a n﹣1=2n，∴a n=2n+1（n∈N*）
（Ⅲ）证明：=﹣
∴S n=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=﹣＜
即
【点评】本题考查等比数列定义，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．22. 如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD BC于点D,过点B作圆O的切线，
与CA的延长线交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F,延长AF
与CB的延长线相交于点P.
（Ⅰ）求证：BF=EF;
（Ⅱ）求证：PA是圆O的切线.
参考答案：
（Ⅰ）略；（Ⅱ）略.
解析：（Ⅰ）因为是圆的直径，是圆的切线，所以，又因为，所以，可知，，
所以，所以，因为是的中点，所以，
所以是的中点，. …………………………………………（5分）
（Ⅱ）如图，连接，因为是圆的直径，所以．
在中，由（Ⅰ）知是斜边的中点，
所以，所以.
又因为，所以．
因为是圆的切线，所以.
因为，所以是圆的切线.…………………………………………………………（10分）
【思路点拨】（Ⅰ）易得，从而得，，
所以，所以，因为是的中点，所以，
所以是的中点，.（Ⅱ）即证,即证
在中，由（Ⅰ）知是斜边的中点，所以，
所以.又因为，所以．因为是圆的切线，所以.因为
所以是圆的切线.
略。