计算机科学广泛应用于运筹学信息论控制论网络理论课件

不一定是一条初级通路。
例8.6 就下面两图列举长度为5的通路，简 单通路，回路，简单回路，再列举长 度为3的基本通路和回路。
e3 v5
e7 v4
v1
e2
e1 v2
e6 e4
e5 v3
e1 v5 e8 e4
v4
v1
e3
e2 v2
e6 e5
e7 v3
(1)
(2)
解：试对照定义，自己做一做！如：
(1)中 v1e1v2e2v5e3v1e1v2e4v3 为v1到v3的通路；
简单通路： = v0 e1 v1 e2… ek vk为通路且边e1 e2… ek 互不相同，又称之为迹，可简用v0 v1 … vk 来表示。 简单回路 (v0 = vk)又称为闭迹。
初级通路或基本通路： = v0 e1 v1 e2… ek vk为通路 且顶点v0 v1… vk 互不相同。 基本回路： v0 = vk。 初级通路一定是简单通路，但简单通路
v1e1v2e4v3e5v4e7v5e3v1 为v1到v1的一条简单 回路；
v1e1v2e4v3e5v4e6v2e2v5 为v1到v5的一条简单 通路。
e3 v5
e7 v4
v1
e2
e1 v2
e6 e4
e5 v3
(1)
(2)中
v1e2v2e5v3e7v4 v1到v4的长度为 了的基本通路；
v1e2v2e3v5e1v1 是v1到v1的长度 为了的基本回路。
v1
e1 v5 e8 e4
e3
e2 v2
e6 e5
v4
e7 v3
(2)
二、通路与回路的性质：
(1) 在一个n阶图中，如果从顶点vi到vj(vivj)存在通 路，则从vi到vj存在长度小于或等于n–1的通路。
证明：设vi … vk … vj为vi到vj的长度为L的一条通路， 则序列中必有L+1个顶点。 如 果 L>n–1 ， 则 此通路的顶点数L+1>n，从而必有顶点vs，它 在序列中不止出现一次，即有序列vi … vs … vs … vj 。在路中去掉vs到vs的这些边，至少去掉 一条边后仍是vi到vj的一条通路。此通路比原来 通路的长度至少少1。如此重复下去，必可得 到一条从vi到vj的不多于n–1条边的通路。
(2) 在有向图D = < V,E >中，以顶点v(vV)作 为始点的边的数目，称为该顶点的出度， 记作： d+(v)；以顶点v作为终点的边的数 目，称为该顶点的入度，记作：d–(v)。 出度与入度之和，称为顶点v的度：
d(v) = d+(v)+ d–(v)
度是图的性质的重要判断依据。
最大度： (G) = max {d(v) | vV}
其元素为有向边
实际中，画法同无向图，只是要根据E中 元素的次序，由第一元素用方向线段指向第 二元素。
3. 相关概念
有限图：V，E均为有穷集合
零 图：E 平凡图：E 且 |V| = 1
(n, m)图：|V| = n 且 |E| = m 顶与边关联：如果ek = (vi,vj) E，称ek与vi关联，
三、图的连通性
两顶点连通：u,v为无向图G的两个顶点，u到v 存在一条通路。
连 通 图：G 中任何两个顶点是连通的；否 则是分离图。
连通性的性质：无向图中顶点之间的连通关系是 顶点集V上的等价关系。
证明： (1) 自反性：由于规定任何顶点到自身总是连通的； (2) 对称性：无向图中顶点之间的连通是相互的； (3) 传递性：由连通性的定义可知。
(4) 导出子图：定义？举例
五、补图
补图：给定一个图G = < V,E >，以V为顶点集， 以所有能使G成为完全图的添加边组成边 集的图。记作：～G 如:
(1)
(2)
相对补图：设G'G, 如果另一个图G'' = < V'', E'' >， 满足 (1) E'' = E – E' (2) V''中仅包含E''中的边所关联的结点。 则G''是子图G'相对于G的补图。
边连通度：设G为无向连通图，记(G) =
min{| E' | E'是G的边割集}，
(G)为G的边连通度。
连通度的性质：k(G) (G) (G)
五、有向图的连通性：
(1) 如果有向图 D = < V,E >中所有有向边的方 向去掉后所得图为无向连通图，则说D为 弱连通图。
(2) u,vV，如果存在u到v的一条通路，则说u 可达v。
平行边：无向图中，关联一对结点的无向边 多于一条，平行边的条数为重数； 有向图中，关联一对顶点的无向边 多于一条，且始、终点相同。
多重图：包含平行边的图。
简单图：既不包含平行边又不包含环的图。
二、度
度：(1) 在无向图G = < V, E >中，与顶点v(vV) 关联的边的数目(每个环计算两次)，记 作：d(v)。
如：
四、子图与母图：
(1) G = < V,E >， G' = < V' , E' > 若V'V， E'E，则G是G'的母图， G'是 G的子图，记作： G' G。
(2) 若G'G 且 V'=V，则G'是G的生成子图。
(3) 设V1V，且V1，以V1为顶点集，以2端
点均在V1中的全体边为边集的G的子图， 称为V1导出的导出子图。
正则图：各顶点的度都相同的图为正则图； 各顶点的度均为k的图为k次正则图。
完全图： (1) 设G = < V,E >是n阶的无向简单图，如果 G中任何一个顶点都与其余n–1个顶点相邻， 则G为无向完全图，记作：Kn。
(2) 设D = < V,E >是n阶的有向简单图，如果D 中任意顶点u，vV(uv)，即有有向边 < u,v >，又有有向边< v,u >，则称D为n阶有 向完全图。
或ek与vj关联。
顶与顶相邻：如果ek = (vi,vj) E，称vi与vj相邻； 若ek为有向边，则称vi邻接到vj, vj邻接于vi 。
边与边相邻：如果ek和ei至少有一个公共顶点关联， 则称ek与ei相邻。
环： ek = < vi,vj > 中，若 vi = vj，则ek称为环。
孤立点：无边关联的顶点。
(4) 设E1E，且E1，以E1为顶点集，以E1中
边关联的顶点的全体为顶点集的G的子图， 称为E1导出的导出子图。
例8.3 列举下图的一些子图、 真子图、生成子图、 导出子图。
解：自己对照定义做一做！
v1
e4
e5
v2 e3
e1
v4
e2 v3
(1) 子图：子图的定义？举例 (2) 真子图：举例
(3) 生成子图：定义？举例
由这个图可派生出下列4个非同构的有向简单图：
课堂练习：画出4个顶点4条边的无向简单图。
8.2 通路、回路、图的连通性
一、通路与回路的概念
通路与回路：给定图G = < V,E >，设 G 中 顶 点 与 边的交替序列 = v0 e1 v1 e2… el vl 满足： vi–1vi是ei的端点，(G为有向图时, 要求vi–1, vi 分别为ei的始点、终点)，i = 1,2,…, l，则 为顶点v0到vl的通路。 中边的数目l称为的长度。 v0 = vl时，称为回路。
由于同构图顶点之间一一对应，边之间一一对应， 关联关系对应相同，所以可以看成同一个图。
例8.4 画出4个顶点3条边的所有可能非 同构的无向简单图。
解：直观上容易看出，下面三个图是4个顶 点3条边的所有非同构的无向简单图。
例8.5 画出3个顶点2条边的所有可能非同构的有 向简单图。
解： 3个顶点2条边的无向简单图只有一个：
i 1
i 1
度数序列：设V = {v1,v2,…,vn}为图G的顶点集， 称(d(v1), d(v2),…, d(vn))为G的度数 序列。
度数序列之和必为偶数(?)。
例8.1 (3,3,2,3)，(5,2,3,1,4)能成为图的度数 序列吗？为什么？
解：由于这两个序列中，奇数个数均为奇 数，由握手定理知，它们不能成为图 的度数序列。
(2) 在n阶图中，如果从vi到vj (vivj)存在通路，则 必存在从vi到vj 的长度小于等于 n–1的基本通路。
(3) 在n阶图中，如果存在从vi到自身的回路，则 从vi 到自身存在长度等于n的回路。
(4) 在n阶图中，如果从vi到自身存在一条简单回 路，则从vi 到自身存在长度等于n的初级回路。
为A与B的无序积，记作：A&B。 习惯上，无序对{a,b}改记成(a, b)
有序组(a,b)均用< a,b >
无向图：无向图G是一个二元组< V,E >，其中
(1) V是一个非空集 ––– 顶点集V(G)，每个元 素为顶点或结点；
(2) E是无序积V & V的可重子集(元素可重复出 现)，E ––– 边集E(G)，E中元素称为无向边。
计算机科学广泛应用于运筹学，信息 论，控制论，网络理论，化学生物学，物理 学。原因在于这些学科的许多实际问题和理 论问题可以概括为图论。第八、九章介绍与 计算机科学关系密切的图论内容及其在实际 中的应用。
8.1 无向图及有向图
一、基本图类及相关概念
1. 无向图 无序积：设A，B为二集合，称{{a,b} | aAbB}
如：图
为
(1)
的子图，
(2)
则图
为(1)相对于(2)的补图。
(3)
六、同构图
图同构：对于G = < V,E >，G' = < V' ,E' >，如果 存在 g:VV' 满足：
(1) 任意边e = (vi,vj)E，当且仅当e' = (g(vi),g(vj))E' (2) e与e'的重数相同
则说G G'
证明： (充分性) 如果D中存在回路C，它经过D
中的每个顶点至少一次，则D中的任意两个 顶点都在回路中，所以，D中任意两个顶点 都是可达的，因而D是强连通的。
(2) 有向图D强连通，当且仅当D中存在 一条回路，它至少经过每个顶点一次。
证明：
(必要性) D是强连通的，则D中任何 两个顶点都是可达的。 不妨设D中的顶点 为v1,v2,…,vn，因为vi可达vi+1, i=1,2,…，n–1， 让这些通路首尾相连，所以vi到vi+1存在通路， 且vn到v1也存在通路，则得一回路。显然每 个顶点在回路中至少出现一次。
(3) 弱连通图< V,E >中， 任何一对顶点之间， 至少有一顶点可达另一个顶点，则 < V,E > 是单向连通的；
任何两个顶点之间互相可达，称< V,E >强连通。
有向连通图的性质：
(1) 强连通一定单向连通，单向连通一定 弱连通。反过来都不成立。
(2) 有向图D强连通，当且仅当D中存在 一条回路，它至少经过每个顶点一次。
如果点割集中只有一个顶点，该点为割点。
点连通度：G为无向连通图，记k(G) = min{|V'| V' 是G的点割集}，称k(G)为G的点连通度。 由定义知，点连通度即使G不连通的需 删除顶点的最少数目。
分离图的连通度为0； 存在割点的连通图连通度为1， 完全图Kn的连通度k(G) = n–1。
边割集：设无向图G = < V,E >连通，边集E'E， 在G中删除E'中所有边后所得子图不连 通，而删除E'中的任何子集中的边后， 所得子图仍连通，则E'为G的边割集。 如果边割集中只有一边时，该边为割边 (或桥)
最小度： (G) = min {d(v) | vV}
度与边数的关系：在任何图中，顶点度数的
(握手定理)
总和等于边数之和的两倍。
即 d(v) 2 | E | vV
握手定理的推论：任何图中，度为奇数的顶 点个数一定为偶数。
出度与入度的关系：在有向图中，各顶点的 出度之和等于各顶点的入度之和。
n
n
d (vi ) d (vi ) m
例8.2 已知图G中有10条边，4个3度顶点， 其余顶点的度数均小于等于2，问G 中至少有多少个顶点？为什么？
解：图中边数 m=10，由握手定理知， G中各顶点度数之和为20， 4个3度顶点占去12度，还剩8度， 若其余全是2度顶点, 则需要4个顶点 来占用8度，所以G至少有8个顶点。
三、正则图与完全图
连通分支：无向图G中每个划分块称为G的一 个连通分支，p(G)表示连通分支的 个数。p(G) = 1为连通图。
四、连通图的连通度
点割集：无向图G = < V,E >为连通图，如果V'V， 且在G中删除V'中所有顶点(包括与该顶点 关联的边)后所得子图是不连通的或是平 凡图，而删除V'中任何真子集中的顶点时， 所得子图仍连通，则V'是G的点割集。
实际中，图是画出来的，画法：用小圆圈 表示V中的每一个元素，如果(a,b)E，则在顶 点a与b1
e1 e2
b e3
e4
e6 e5
d
c
v1
e1
e2
e6
v2
v5 e3
e4 e5
v4
v3
2. 有向图
有向图：有向图D是一个二元组< V,E >，其中
(1) V是非空集 ––– 顶点集 V(D) (2) E是笛卡尔积VV的可重子集，