高中数学 9.2等差数列(四)课件 湘教版必修4
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2．
等差数列(děnɡ chā shù liè)的前n项和的最值的求法 (当1)符a1号＞转0，折d点＜法0 时，由不等式组aann≥＋1≤0，0，可求得 Sn 取最 大值时的 n 值． 当 a1＜0，d＞0 时，由不等式组aann≤＋1≥0，0，可求得 Sn 取最 小值时的 n 值．
第八页，共22页。
第十五页，共22页。
题型二 等差数列(děnɡ chā shù liè)前n项和的最值问题
【例2】 数列an是等差数列，a1＝50，d＝－0.6. (1)从第几项开始(kāishǐ)有an＜0； (2)求此数列前n项和的最大值． 解 (1)∵a1＝50，d＝－0.6， ∴an＝50－0.6(n－1)＝－0.6n＋50.6＜0. ∴n≥500.6.6≈84.3. 由于n∈N*，故当n≥85时，an＜0，即从第85项起以后各项 均小于0. (2)法一 ∵d＝－0.6＜0，a1＝50＞0， 由(1)知a84＞0，a85＜0，
(2)利用二次函数知识求 Sn 的最值 公差不为 0 的等差数列的前 n 项和 Sn 可以表示成 Sn＝an2 ＋bn(a≠0)的形式，我们可将其变形为 Sn＝an＋2ba2－4ba2. 结合二次函数可知 Sn 的最值情况如下：若 a＞0，则当 n＋2ba2最小时，Sn 有最小值； 若 a＜0，则当n＋2ba2最小时，Sn 有最大值．
4．现有(xiàn yǒu)200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛
，要使剩下的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为(
)．
A．9
B．10
C．19
D．29
答案 B
第六页，共22页。
名师(mínɡ shī)点睛
1．等差数列前n项和公式 (1)性质1：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数(chángshù))，an＝pn＋ q(p、q为常数(chángshù))． (2)性质2：①在等差数列中，间隔相等，连续等长的片段和序 列仍成等差数列． 如：a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8，…，公差为4d. a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，…，公差为3d. a1＋a3＋a5，a2＋a4＋a6，a3＋a5＋a7，…公差为3d.
( )．
A．2
B．24
C．3
D．25
解析 a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30
①
a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15
②
①－②得：5d＝15.∴d＝3.选C.
答案 C
第四页，共22页。
2．等
差
数
列
a 的前
n
n
项和为
Sn，若2Sm2m－－11＝10，则
am＝
________． 解析 S2m－1＝（2m－1）（2 a1＋a2m－1）＝（2m－21）·2am
∵a11＋a15＝a12＋a14＝2a13＝0，∴a13＝0.
第二十页，共22页。
∵公差d＜0，a1＞0， ∴a1，a2，…，a11，a12均为正数(zhèngshù)，而a14及以 后各项均为负数． ∴当n＝12或13时，Sn有最大值为S12＝S13＝130.
法二 Sn＝An2＋Bn，由题意对应函数 y＝Ax2＋Bx 的对 称轴为 x＝10＋2 15＝12.5， 故当 n＝12 或 13 时，Sn 有最大值． 则－20＝2BAA＝＋225B，解得AB＝＝－126556.， ∴S13＝S12＝－56×122＋1265×12＝130 为最大值．
第十九页，共22页。
当 an＞0 时，20－(n－1)×53＞0， ∴n＜13，∴n＝12 时，Sn 最大， S12＝12×20＋12×2 11×－53＝130.
∴当n＝12时，Sn有最大值S12＝130. 错因分析(fēnxī) 解中仅解不等式an＞0是不正确的，事实 上应解an≥0，an＋1≤0. [正解] 法一 由 a1＝20，S10＝S15， 解得公差 d＝－53. ∵S10＝S15，∴S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0 ，
解析(jiě xī) 法一 依据题设和前n项和公式有 ①
②
②－①得 ma1＋m（3m2－1）d＝70， ∴S3m＝3ma1＋3m（32m－1）d＝3ma1＋m（3m2－1）d＝ 3×70＝210.
第十四页，共22页。
法二 在等差数列(děnɡ chā shù liè)中，Sm，S2m－ Sm，S3m－S2m成等差数列(děnɡ chā shù liè)． ∴30，70，S3m－100成等差数列(děnɡ chā shù liè)， ∴2×70＝30＋S3m－100. ∴S3m＝210. 答案 210
第十二页，共22页。
方法点评 本题解法较多，解答一是此类题目的基本(jīběn)解 法，但显得较烦琐，解答二、三、四主要运用了等差数列及其前 n项和的性质，由此可见，灵活运用性质能给解题带来很大方便 ．
第十三页，共22页。
1．已知等差数列an的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100， 则数列的前 3m 项和为________．
起，以后各项为负数，∴当n＝7时，Sn最大，且S7＝49.
第十八页，共22页。
误区警示(jǐnɡ shì) 分析问题不严密致误
【例3】 在等差数列an中，已知 a1＝20，前 n 项和为 Sn，且 S10 ＝S15，求当 n 取何值时，Sn 有最大值，并求出它的最大值． [错解] 设公差为 d， ∵S10＝S15， ∴10×20＋10×2 9d ＝15×20＋15×2 14d， 得 120d＝－200，即 d＝－53， ∴an＝20－(n－1)×53，
第十一页，共22页。
法三 ∵S10＝100，S100＝10， ∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100 ＝90（a112＋a100）＝－90， ∴a11＋a100＝－2. ∴a1＋a110＝a11＋a100＝－2， ∴S110＝110（a12＋a110）＝－110. 法四 ∵S10，S20－S10，…，S100－S90，S110－S100，…组成 一首项为 100 的等差数列，设公差为 d，前 n 项和为 Tn. 则 T10＝S100＝10×100＋10×2 9d＝10. ∴d＝－22， ∴T11＝S110＝11×100＋11×2 10(－22)＝－110.
第九页，共22页。
典例剖析(pōuxī)
题型一 等差数列前n项和公式(gōngshì)性质的应用 【例1】在等差数列an中，S10＝100，S100＝10，试求 S110 的值．
解 法一 设等差数列an的首项为 a1，公差为 d. 则1100a01a＋1＋101×2009×2d＝991d0＝0，10，解得ad1＝＝－1151001090，9， ∴S110＝110a1＋110×2 109d ＝110×1100909＋110×2 109×(－5110) ＝－110.
第七页，共22页。
②等差数列(děnɡ chā shù liè)依次k项之和仍是等差数列 (děnɡ chā shù liè)． 即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k，…成等差数列 ((d3ě)n性ɡ质ch3ā：sh等ù差liè数)，列且a公n中差，为若ka2nd＝. m，am＝n，则 am＋n＝0； 若 Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，则 Sm＋n＝－(m＋n)．
2．等差数列an的前 n 项和为 Sn，那么数列 Sm，S2m－Sm，S3m －S2m，…，S(n＋1)m－Snm，…(n∈N*，m 为正整数且为常数) 为________数列．
答案(dáàn) 等差 3．若等差数列an的前 n 项和为 Sn，则 S2n－1＝________×an.
答案(dáàn) (2n－1)
第十页，共22页。
法二 设 Sn＝An2＋Bn， 则110000A0＋0A1＋0B1＝001B0＝0，10， 即1100A0＋0AB＋＝1100B，＝1， 解得 A＝－11010，B＝11101， ∴Sn＝－11010n2＋11101n. 故 S110＝－11010×102＋11101×110＝－110.
3．等差数列中，当项数 n 是奇数时，所有项的和是中间和的 n 倍，即 Sn＝n·an＋1＝n·a 中；当 n 为偶数时，偶数项的和比奇
2
数项的和多n2×d.掌握该规律，将给解题带来很多方便．
第二十二页，共22页。
第十七页，共22页。
2．在等差数列an中 a1＝13，S3＝S11，试求 Sn 的最大值．
解
由
S3 ＝ S11 ， 得
3a1
＋
3×（3－1） 2
d
＝
11a1
＋
11×（211－1）d.又 a1＝13，∴d＝－2，∴an＝13＋(n－
1)(－2)＝15－2n.
令an≥0，得n≤7.5，即数列(shùliè)的前7项为正数，从第8项
第二页，共22页。
自主(zìzhǔ)探究
等差数列an中，若 Sm＝Sp(m≠p)，则 Sm＋p 的值等于多少？ 提示(tíshì) Sm＋p＝0.
第三页，共22页。
预习(yùxí)测评
1．已知某等差数列(děnɡ chā shù liè)共有10项，其奇数项之和
为15，偶数项之和为30，则其公差为
9.2 等差数列(děnɡ chā shù liè) (四)
【课标要求】 了解等差数列前n项和公式的函数特征，掌握等差数列 前n项和的性质(xìngzhì)，灵活运用等差数列前n项和公
式及有 关性质(xìngzhì)解题．
第一页，共22页。
自学(zìxué)导引
1．若数列an的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝An2＋Bn(A、B 为常 数)是数列an为等差数列的________条件． 答案(dáàn) 充要
第十六页，共22页。
∴S1＜S2＜S3<…＜S84＞S85＞S86>…
∴(Sn)max＝S84＝50×84＋84×2 83×(－0.6)＝2 108.4. 法二 Sn＝50n＋n（n2－1）×(－0.6)＝－0.3n2＋50.3n＝ －0.3n－50632＋5102302. 当 n 取接近于5063的自然数，即 n＝84 时，Sn 达到最大值 S84＝2 108.4. 方法点评(diǎn pínɡ) 等差数列中，d＞0，数列递增；d＜ 0，数列递减，因而若有连续两项ak，ak＋1异号，则Sk必 为Sn的最大值或最小值．
＝(2m－1)am，am＝2Sm2m－－11＝10.
答案(dáàn) 10
3．在等差数列an中，若 a1＋a2＝1，a3＋a4＝2，则 a7＋a8＝
________．
解析(jiě xī) 因为数列a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8为等差数
列，所以a7＋a8＝4.
答案一页，共22页。
课堂(kètáng)总结
1．前 n 项和与数列的首项及项数有关时，通常采用公式 Sn＝ na1＋n（n2－1）d，易得首项 a1 与公差 d 的关系式．尤其 是该公式当 d≠0 时，体现的是一个二次函数，因而可以通 过寻找对称轴来观察到 Sn 的最值．
2．利用(lìyòng)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差的关系，直接 应用于解题中，使较为复杂的问题得以简化．
等差数列(děnɡ chā shù liè)的前n项和的最值的求法 (当1)符a1号＞转0，折d点＜法0 时，由不等式组aann≥＋1≤0，0，可求得 Sn 取最 大值时的 n 值． 当 a1＜0，d＞0 时，由不等式组aann≤＋1≥0，0，可求得 Sn 取最 小值时的 n 值．
第八页，共22页。
第十五页，共22页。
题型二 等差数列(děnɡ chā shù liè)前n项和的最值问题
【例2】 数列an是等差数列，a1＝50，d＝－0.6. (1)从第几项开始(kāishǐ)有an＜0； (2)求此数列前n项和的最大值． 解 (1)∵a1＝50，d＝－0.6， ∴an＝50－0.6(n－1)＝－0.6n＋50.6＜0. ∴n≥500.6.6≈84.3. 由于n∈N*，故当n≥85时，an＜0，即从第85项起以后各项 均小于0. (2)法一 ∵d＝－0.6＜0，a1＝50＞0， 由(1)知a84＞0，a85＜0，
(2)利用二次函数知识求 Sn 的最值 公差不为 0 的等差数列的前 n 项和 Sn 可以表示成 Sn＝an2 ＋bn(a≠0)的形式，我们可将其变形为 Sn＝an＋2ba2－4ba2. 结合二次函数可知 Sn 的最值情况如下：若 a＞0，则当 n＋2ba2最小时，Sn 有最小值； 若 a＜0，则当n＋2ba2最小时，Sn 有最大值．
4．现有(xiàn yǒu)200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛
，要使剩下的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为(
)．
A．9
B．10
C．19
D．29
答案 B
第六页，共22页。
名师(mínɡ shī)点睛
1．等差数列前n项和公式 (1)性质1：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数(chángshù))，an＝pn＋ q(p、q为常数(chángshù))． (2)性质2：①在等差数列中，间隔相等，连续等长的片段和序 列仍成等差数列． 如：a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8，…，公差为4d. a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，…，公差为3d. a1＋a3＋a5，a2＋a4＋a6，a3＋a5＋a7，…公差为3d.
( )．
A．2
B．24
C．3
D．25
解析 a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30
①
a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15
②
①－②得：5d＝15.∴d＝3.选C.
答案 C
第四页，共22页。
2．等
差
数
列
a 的前
n
n
项和为
Sn，若2Sm2m－－11＝10，则
am＝
________． 解析 S2m－1＝（2m－1）（2 a1＋a2m－1）＝（2m－21）·2am
∵a11＋a15＝a12＋a14＝2a13＝0，∴a13＝0.
第二十页，共22页。
∵公差d＜0，a1＞0， ∴a1，a2，…，a11，a12均为正数(zhèngshù)，而a14及以 后各项均为负数． ∴当n＝12或13时，Sn有最大值为S12＝S13＝130.
法二 Sn＝An2＋Bn，由题意对应函数 y＝Ax2＋Bx 的对 称轴为 x＝10＋2 15＝12.5， 故当 n＝12 或 13 时，Sn 有最大值． 则－20＝2BAA＝＋225B，解得AB＝＝－126556.， ∴S13＝S12＝－56×122＋1265×12＝130 为最大值．
第十九页，共22页。
当 an＞0 时，20－(n－1)×53＞0， ∴n＜13，∴n＝12 时，Sn 最大， S12＝12×20＋12×2 11×－53＝130.
∴当n＝12时，Sn有最大值S12＝130. 错因分析(fēnxī) 解中仅解不等式an＞0是不正确的，事实 上应解an≥0，an＋1≤0. [正解] 法一 由 a1＝20，S10＝S15， 解得公差 d＝－53. ∵S10＝S15，∴S15－S10＝a11＋a12＋a13＋a14＋a15＝0 ，
解析(jiě xī) 法一 依据题设和前n项和公式有 ①
②
②－①得 ma1＋m（3m2－1）d＝70， ∴S3m＝3ma1＋3m（32m－1）d＝3ma1＋m（3m2－1）d＝ 3×70＝210.
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法二 在等差数列(děnɡ chā shù liè)中，Sm，S2m－ Sm，S3m－S2m成等差数列(děnɡ chā shù liè)． ∴30，70，S3m－100成等差数列(děnɡ chā shù liè)， ∴2×70＝30＋S3m－100. ∴S3m＝210. 答案 210
第十二页，共22页。
方法点评 本题解法较多，解答一是此类题目的基本(jīběn)解 法，但显得较烦琐，解答二、三、四主要运用了等差数列及其前 n项和的性质，由此可见，灵活运用性质能给解题带来很大方便 ．
第十三页，共22页。
1．已知等差数列an的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100， 则数列的前 3m 项和为________．
起，以后各项为负数，∴当n＝7时，Sn最大，且S7＝49.
第十八页，共22页。
误区警示(jǐnɡ shì) 分析问题不严密致误
【例3】 在等差数列an中，已知 a1＝20，前 n 项和为 Sn，且 S10 ＝S15，求当 n 取何值时，Sn 有最大值，并求出它的最大值． [错解] 设公差为 d， ∵S10＝S15， ∴10×20＋10×2 9d ＝15×20＋15×2 14d， 得 120d＝－200，即 d＝－53， ∴an＝20－(n－1)×53，
第十一页，共22页。
法三 ∵S10＝100，S100＝10， ∴S100－S10＝a11＋a12＋…＋a100 ＝90（a112＋a100）＝－90， ∴a11＋a100＝－2. ∴a1＋a110＝a11＋a100＝－2， ∴S110＝110（a12＋a110）＝－110. 法四 ∵S10，S20－S10，…，S100－S90，S110－S100，…组成 一首项为 100 的等差数列，设公差为 d，前 n 项和为 Tn. 则 T10＝S100＝10×100＋10×2 9d＝10. ∴d＝－22， ∴T11＝S110＝11×100＋11×2 10(－22)＝－110.
第九页，共22页。
典例剖析(pōuxī)
题型一 等差数列前n项和公式(gōngshì)性质的应用 【例1】在等差数列an中，S10＝100，S100＝10，试求 S110 的值．
解 法一 设等差数列an的首项为 a1，公差为 d. 则1100a01a＋1＋101×2009×2d＝991d0＝0，10，解得ad1＝＝－1151001090，9， ∴S110＝110a1＋110×2 109d ＝110×1100909＋110×2 109×(－5110) ＝－110.
第七页，共22页。
②等差数列(děnɡ chā shù liè)依次k项之和仍是等差数列 (děnɡ chā shù liè)． 即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k，…成等差数列 ((d3ě)n性ɡ质ch3ā：sh等ù差liè数)，列且a公n中差，为若ka2nd＝. m，am＝n，则 am＋n＝0； 若 Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，则 Sm＋n＝－(m＋n)．
2．等差数列an的前 n 项和为 Sn，那么数列 Sm，S2m－Sm，S3m －S2m，…，S(n＋1)m－Snm，…(n∈N*，m 为正整数且为常数) 为________数列．
答案(dáàn) 等差 3．若等差数列an的前 n 项和为 Sn，则 S2n－1＝________×an.
答案(dáàn) (2n－1)
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法二 设 Sn＝An2＋Bn， 则110000A0＋0A1＋0B1＝001B0＝0，10， 即1100A0＋0AB＋＝1100B，＝1， 解得 A＝－11010，B＝11101， ∴Sn＝－11010n2＋11101n. 故 S110＝－11010×102＋11101×110＝－110.
3．等差数列中，当项数 n 是奇数时，所有项的和是中间和的 n 倍，即 Sn＝n·an＋1＝n·a 中；当 n 为偶数时，偶数项的和比奇
2
数项的和多n2×d.掌握该规律，将给解题带来很多方便．
第二十二页，共22页。
第十七页，共22页。
2．在等差数列an中 a1＝13，S3＝S11，试求 Sn 的最大值．
解
由
S3 ＝ S11 ， 得
3a1
＋
3×（3－1） 2
d
＝
11a1
＋
11×（211－1）d.又 a1＝13，∴d＝－2，∴an＝13＋(n－
1)(－2)＝15－2n.
令an≥0，得n≤7.5，即数列(shùliè)的前7项为正数，从第8项
第二页，共22页。
自主(zìzhǔ)探究
等差数列an中，若 Sm＝Sp(m≠p)，则 Sm＋p 的值等于多少？ 提示(tíshì) Sm＋p＝0.
第三页，共22页。
预习(yùxí)测评
1．已知某等差数列(děnɡ chā shù liè)共有10项，其奇数项之和
为15，偶数项之和为30，则其公差为
9.2 等差数列(děnɡ chā shù liè) (四)
【课标要求】 了解等差数列前n项和公式的函数特征，掌握等差数列 前n项和的性质(xìngzhì)，灵活运用等差数列前n项和公
式及有 关性质(xìngzhì)解题．
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自学(zìxué)导引
1．若数列an的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝An2＋Bn(A、B 为常 数)是数列an为等差数列的________条件． 答案(dáàn) 充要
第十六页，共22页。
∴S1＜S2＜S3<…＜S84＞S85＞S86>…
∴(Sn)max＝S84＝50×84＋84×2 83×(－0.6)＝2 108.4. 法二 Sn＝50n＋n（n2－1）×(－0.6)＝－0.3n2＋50.3n＝ －0.3n－50632＋5102302. 当 n 取接近于5063的自然数，即 n＝84 时，Sn 达到最大值 S84＝2 108.4. 方法点评(diǎn pínɡ) 等差数列中，d＞0，数列递增；d＜ 0，数列递减，因而若有连续两项ak，ak＋1异号，则Sk必 为Sn的最大值或最小值．
＝(2m－1)am，am＝2Sm2m－－11＝10.
答案(dáàn) 10
3．在等差数列an中，若 a1＋a2＝1，a3＋a4＝2，则 a7＋a8＝
________．
解析(jiě xī) 因为数列a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8为等差数
列，所以a7＋a8＝4.
答案一页，共22页。
课堂(kètáng)总结
1．前 n 项和与数列的首项及项数有关时，通常采用公式 Sn＝ na1＋n（n2－1）d，易得首项 a1 与公差 d 的关系式．尤其 是该公式当 d≠0 时，体现的是一个二次函数，因而可以通 过寻找对称轴来观察到 Sn 的最值．
2．利用(lìyòng)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差的关系，直接 应用于解题中，使较为复杂的问题得以简化．