2020年普通高等学校招生全国统一考试I卷数学(文1)含答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试语文试题(全国卷1,参考版解析)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试语文试题（全国卷1）注意事项：1．本试卷分第I卷（阅读题）和第II卷（表达题）两部分。
2．考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
3．作答时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后．将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷阅读题甲必考题一、现代文阅读（9分，毎小题3分）阅读下面的文字，完成1〜3题殷墟甲骨文是商代晚期在龟甲兽骨上的文字，是商王室及其他贵族利用龟甲兽骨占卜吉凶时写刻的卜辞和与占卜有关的记事文字，殷墟甲骨文的发现对中国学术界产生了巨大而深远的影响。
甲骨文的发现证实了商王朝的存着。
历史上，系统讲述商史的是司马迁的《史记殷本纪》，但此书撰写的时代距商代较远，即使公认保留了较多商人语言的《尚书盘庚》篇，其中亦多杂有西周时的词语，显然是被改造过的文章。
因此，胡适曾主张古史作为研究对象，可“缩短二三千年，从诗三百篇做起”。
从甲骨文的发现，将商人亲手书写、契刻的文字展现在学者面前，使商史与传说时代分离而进入历史时代。
特别是1917年王国维写了《殷卜辞中所见先公先王考》及《续考》，证明《史记殷本纪》与《世本》所载殷王世系几乎皆可由卜辞资料印证，是基本可靠的。
论文无可辩驳地证明《殷本纪》所载的商王朝是确实存在的。
甲骨文的发现也使《史记》之类的历史文献中有关中国古史记载的可信性增强。
因为这一发现促使史学家们想到，既然《殷本纪》中的商王世系基本可信，司马迁的《史记》也确如刘向、扬雄所言是一部“实录”，那么司马迁在《史记夏本纪》中所记录的夏王朝与夏王世系恐怕也不是向壁虚构，特别是在20世纪20年代疑古思潮流行时期，甲骨文资料证实了《殷本纪》与《世本》的可靠程度，也使历史学家开始摆脱困惑，对古典文献的可靠性恢复了信心。
甲骨文的发现同时引发了震撼中外学术界的殷墟发掘。
“五四运动”促使中国的历史学界发生了两大变化：一是提倡实事求是的科学态度，古史辩派对一切经不住史证的旧史学的无情批判，使人痛感中国古史上科学的考古资料的极端贫乏；二是历史唯物主义在史学界产生了巨大影响，1925年王国维在清华国学研究院讲授《古史新证》，力倡“二重证据法”，亦使中国历史学研究者开始往重地下出土的新材料。
2020年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷 全国新高考Ⅰ卷 (含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}2．2i 12i -= +A．1 B．−1C．i D．−i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A ．62% B ．56% C ．46%D ．42%6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 A ．()2,6- B ．()6,2- C ．()2,4-D ．()4,6-8．若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[)1,0][1,-+∞D ．1,0]3][[1,-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年江苏省高考数学试卷(含答案详解)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.参考公式：柱体的体积V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B = _____.2.已知i 是虚数单位，则复数(1i)(2i)z =+-的实部是_____.3.已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是_____.4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.5.如图是一个算法流程图，若输出y 的值为2-，则输入x 的值是_____.6.在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22x a ﹣25y =1(a ＞0)的一条渐近线方程为y=2x ，则该双曲线的离心率是____.7.已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x =，则f (-8)的值是____.8.已知2sin ()4πα+=23，则sin 2α的值是____.9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半轻为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是____cm.10.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.11.设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n +b n }的前n 项和221()n n S n n n +=-+-∈N ，则d +q 的值是_______．12.已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．13.在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+- （m 为常数），则CD 的长度是________．14.在平面直角坐标系xOy 中，已知(0)2P ，A ，B 是圆C ：221(362x y +-=上的两个动点，满足PA PB =，则△PAB 面积的最大值是__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3,2,45a c B ===︒．（1）求sin C 的值；（2）在边BC 上取一点D ，使得4cos 5ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值．17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上、桥AB 与MN 平行，OO '为铅垂线(O '在AB 上).经测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离1h (米)与D 到OO '的距离a (米)之间满足关系式21140h a =；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离2h (米)与F 到OO '的距离b (米)之间满足关系式3216800h b b =-+.已知点B 到OO '的距离为40米.（1）求桥AB 的长度；（2）计划在谷底两侧建造平行于OO '的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上(不包括端点).桥墩EF 每米造价k (万元)、桥墩CD 每米造价32k (万元)(k >0).问O E '为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低?18.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求△AF 1F 2的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅ 的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2=3S 1，求点M 的坐标．19.已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式；（2）若2 1 ln ,()()()(0) x x g k x h kx k D f x x x =-+==-=+∞，，，，求k 的取值范围；（3）若()422242() 2() (48 () 4 3 02 f x x x g x x h x t t x t t t =-=-=--+<，，，[] , D m n =⊆⎡⎣，求证：n m -≤．20.已知数列{}*()∈n a n N 的首项a 1=1，前n 项和为S n ．设λ与k 是常数，若对一切正整数n ，均有11111k k kn n n S S a λ++-=成立，则称此数列为“λ–k ”数列．（1）若等差数列{}n a 是“λ–1”数列，求λ的值；（2）若数列{}n a 是2”数列，且a n ＞0，求数列{}n a 的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{}n a 为“λ–3”数列，且a n ≥0?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由，数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，．并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4-2：矩阵与变换]21.平面上点(2,1)A -在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应的变换作用下得到点(3,4)B -．（1）求实数a ，b 的值；（2）求矩阵M 的逆矩阵1M -．B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,6B ρ在圆:4sinC ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）．（1）求1ρ，2ρ的值（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．C ．[选修4-5：不等式选讲]23.设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24.在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD =,BD =2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；（2）若点F 在BC 上，满足BF =14BC ，设二面角F —DE —C 的大小为θ，求sin θ的值．25.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．（1）求p 1·q 1和p 2·q 2；（2）求2p n +q n 与2p n-1+q n-1的递推关系式和X n 的数学期望E (X n )(用n 表示)．绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。
2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题(山东)(附答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=A．{x|2<x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4}D．{x|1<x<4}2．2i 12i -= +A．1B．−1C．i D．−i3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A．120种B．90种C．60种D．30种4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A ．62% B ．56% C ．46%D ．42%6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e)rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天D ．3.5天7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅的取值范围是 A ．()2,6- B ．()6,2- C ．()2,4-D ．()4,6-8．若定义在R 的奇函数f (x )在(0),-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是 A ．[)1,1][3,-+∞ B ．3,1][,[01]-- C ．[)1,0][1,-+∞ D ．1,0]3][[1,-二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020普通高等高等学校统一招生(新课标I)(文数)(含详细答案及解析)(全国1卷高考数学真题)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B =（ ）A. {4,1}-B. {1,5}C. {3,5}D. {1,3}【答案】D 【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<， 所以{}|14A x x =-<<， 又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B =，故选：D.【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.2.若312i i z =++，则||=z （ ） A. 0 B. 1C.2D. 2【答案】C 【解析】【分析】先根据21i =-将z 化简，再根据向量的模的计算公式即可求出． 【详解】因为31+21+21z i i i i i =+=-=+，所以22112z =+=．故选：C ．【点睛】本题主要考查向量的模的计算公式的应用，属于容易题．3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）A.514- B.512- C.514+ D.512+ 【答案】C 【解析】【分析】设,CD a PE b ==，利用212PO CD PE =⋅得到关于,a b 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】如图，设,CD a PE b ==，则22224a PO PE OEb =-=-，由题意212PO ab =，即22142a b ab-=，化简得24()210b b a a -⋅-=，解得154b a +=（负值舍去）.故选：C.【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题. 4.设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为（ ） A. 15B.25 C.12D. 45【答案】A 【解析】【分析】列出从5个点选3个点的所有情况，再列出3点共线的情况，用古典概型的概率计算公式运算即可.【详解】如图，从O A B C D ,,,,5个点中任取3个有{,,},{,,},{,,},{,,}O A B O A C O A D O B C {,,},{,,},{,,},{,,}O B D O C D A B C A B D {,,},{,,}A C D B C D 共10种不同取法，3点共线只有{,,}A O C 与{,,}B O D 共2种情况，由古典概型的概率计算公式知，取到3点共线的概率为21105=.故选：A【点晴】本题主要考查古典概型的概率计算问题，采用列举法，考查学生数学运算能力，是一道容易题. 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ） A. y a bx =+ B. 2y a bx =+C. e x y a b =+D. ln y a b x =+【答案】D 【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型. 【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+.故选：D 【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.6.已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3，设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时22||(31)(2)22CP =-+-=根据弦长公式得最小值为229||2982CP -=-=.故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.7.设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A.10π9 B. 7π6 C. 4π3D. 3π2【答案】C 【解析】【分析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭，将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点，所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω===故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题. 8.设3log 42a =，则4a -=（ ）A.116B.19C.18D.16【答案】B 【解析】【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解【详解】由3log 42a =可得3log 42a =，所以49a =，所以有149a-=，故选：B .【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.9.执行下面的程序框图，则输出的n =（ ）A. 17B. 19C. 21D. 23【答案】C 【解析】【分析】根据程序框图的算法功能可知，要计算满足135100n ++++>的最小正奇数n ，根据等差数列求和公式即可求出．【详解】依据程序框图的算法功能可知，输出的n 是满足135100n ++++>的最小正奇数，因为()()211112135110024n n n n -⎛⎫+⨯+ ⎪⎝⎭++++==+>，解得19n >，所以输出的21n =．故选：C. 【点睛】本题主要考查程序框图的算法功能的理解，以及等差数列前n 项和公式的应用，属于基础题． 10.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（ ） A. 12B. 24C. 30D. 32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q qq ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．11.设12,F F 是双曲线22:13y C x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且||2OP =，则12PF F △的面积为（ ）A.72B. 3C.52D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由12F F P 是以P 为直角直角三角形得到2212||||16PF PF +=，再利用双曲线的定义得到12||||2PF PF -=，联立即可得到12||||PF PF ，代入12F F P S =△121||||2PF PF 中计算即可. 【详解】由已知，不妨设12(2,0),(2,0)F F -，则1,2a c ==，因为121||1||2OP F F ==， 所以点P 在以12F F 为直径的圆上，即12F F P 是以P 为直角顶点的直角三角形， 故2221212||||||PF PF F F +=，即2212||||16PF PF +=，又12||||22PF PF a -==，所以2124||||PF PF =-=2212||||2PF PF +-12||||162PF PF =-12||||PF PF ，解得12||||6PF PF =，所以12F F P S =△121||||32PF PF = 故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.12.已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC 的外接圆，若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A. 64πB. 48πC. 36πD. 32π【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得等边ABC 的外接圆半径，进而求出其边长，得出1OO 的值，根据球的截面性质，求出球的半径，即可得出结论.【详解】设圆1O 半径为r ，球的半径为R ，依题意， 得24,2r r ππ=∴=，ABC 为等边三角形，由正弦定理可得2sin 6023AB r =︒=，123OO AB ∴==，根据球的截面性质1OO ⊥平面ABC ，222211111,4OO O A R OA OO O A OO r ∴⊥==+=+=， ∴球O 的表面积2464S R ππ==.故选：A【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若x ，y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为______________.【答案】1 【解析】【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数7z x y =+即：1177y x z =-+， 其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：22010x y x y +-=⎧⎨--=⎩，可得点A 的坐标为：1,0A ，据此可知目标函数的最大值为：max 1701z =+⨯=. 故答案为：1．【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.14.设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，若a b ⊥，则m =______________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果. 【详解】由a b ⊥可得0a b ⋅=， 又因为(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，所以1(1)(1)(24)0a b m m ⋅=⋅++-⋅-=， 即5m =， 故答案为：5.【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目. 15.曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.【答案】2y x = 【解析】 【分析】设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可.【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =.【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.16.数列{}n a 满足2(1)31nn n a a n ++-=-，前16项和为540，则1a = ______________.【答案】7 【解析】 【分析】对n 为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用1a 表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立1a 方程，求解即可得出结论.【详解】2(1)31nn n a a n ++-=-，当n 为奇数时，231n n a a n +=+-；当n 为偶数时，231n n a a n ++=-. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，16123416S a a a a a =+++++13515241416()()a a a a a a a a =+++++++111111(2)(10)(24)(44)(70)a a a a a a =++++++++++ 11(102)(140)(5172941)a a ++++++++ 118392928484540a a =++=+=， 17a ∴=故答案为：7.【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，以及数列的并项求和，考查分类讨论思想和数学计算能力，属于较难题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A ，B ，C ，D 四个等级.加工业务约定：对于A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务? 【答案】（1）甲分厂加工出来的A 级品的概率为0.4，乙分厂加工出来的A 级品的概率为0.28；（2）选甲分厂，理由见解析.【解析】 【分析】（1）根据两个频数分布表即可求出；（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工100件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择． 【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为A 级品的概率为400.4100=，乙厂加工出来的一件产品为A 级品的概率为280.28100=； （2）甲分厂加工100件产品的总利润为()()()()4090252050252020252050251500⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元， 所以甲分厂加工100件产品的平均利润为15元每件；乙分厂加工100件产品的总利润为()()()()2890201750203420202150201000⨯-+⨯-+⨯--⨯+=元，所以乙分厂加工100件产品的平均利润为10元每件．故厂家选择甲分厂承接加工任务．【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题． 18.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°. （1）若a =3c ，b =27，求ABC 的面积； （2）若sin A +3sin C =2，求C . 【答案】（1）3；（2）15︒. 【解析】 【分析】（1）已知角B 和b 边，结合,a c 关系，由余弦定理建立c 的方程，求解得出,a c ，利用面积公式，即可得出结论； （2）将30A C =︒-代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关C 角的三角函数值，结合C 的范围，即可求解.【详解】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,23,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 32S ac B ==； （2）30A C +=︒，sin 3sin sin(30)3sin A C C C ∴+=︒-+132cos sin sin(30)2C C C =+=+︒=， 030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒， 3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.【点睛】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 19.如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，∠APC =90°．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO 23π，求三棱锥P −ABC 的体积. 【答案】（1）证明见解析；（26. 【解析】 【分析】（1）根据已知可得PA PB PC ==，进而有PAC ≌PBC ，可得90APC BPC ∠=∠=，即PB PC ⊥，从而证得PC ⊥平面PAB ，即可证得结论；（2）将已知条件转化为母线l 和底面半径r 的关系，进而求出底面半径，由正弦定理，求出正三角形ABC 边长，在等腰直角三角形APC 中求出AP ，在Rt APO 中，求出PO ，即可求出结论.【详解】（1）连接,,OA OB OC ，D 为圆锥顶点，O 为底面圆心，OD ∴⊥平面ABC ，P 在DO 上，,OA OB OC PA PB PC ==∴==，ABC 是圆内接正三角形，AC BC ∴=，PAC ≌PBC ，90APC BPC ∴∠=∠=︒，即,PB PC PA PC ⊥⊥，,PA PB P PC =∴⊥平面,PAB PC ⊂平面PAC ，∴平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设圆锥的母线为l ，底面半径为r ，圆锥的侧面积为3,3rl rl ππ==2222OD l r =-=，解得1,3r l ==2sin 603AC r ==，在等腰直角三角形APC 中，2622AP AC ==， 在Rt PAO 中，2262142PO AP OA =-=-=， ∴三棱锥P ABC -的体积为112363332P ABC ABC V PO S -=⋅=⨯=△.【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明平面与平面垂直，求锥体的体积，注意空间垂直间的相互转化，考查逻辑推理、直观想象、数学计算能力，属于中档题.20.已知函数()(2)xf x e a x =-+. （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞；（2）1(,)e+∞.【解析】 【分析】（1）将1a =代入函数解析式，对函数求导，分别令导数大于零和小于零，求得函数的单调增区间和减区间；（2）若()f x 有两个零点，即(2)0xe a x -+=有两个解，将其转化为2x e a x =+有两个解，令()(2)2x eh x x x =≠-+，求导研究函数图象的走向，从而求得结果.【详解】（1）当1a =时，()(2)xf x e x =-+，'()1x f x e =-，令'()0f x <，解得0x <，令'()0f x >，解得0x >， 所以()f x 的减区间为(,0)-∞，增区间为(0,)+∞； （2）若()f x 有两个零点，即(2)0xe a x -+=有两个解，从方程可知，2x =-不成立，即2xe a x =+有两个解，令()(2)2x e h x x x =≠-+，则有'22(2)(1)()(2)(2)x x x e x e e x h x x x +-+==++，令'()0h x >，解得1x >-，令'()0h x <，解得2x <-或21x -<<-，所以函数()h x 在(,2)-∞-和(2,1)--上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增， 且当2x <-时，()0h x <，而2x +→-时，()h x →+∞，当x →+∞时，()h x →+∞，所以当2xe a x =+有两个解时，有1(1)a h e >-=，所以满足条件的a 的取值范围是：1(,)e+∞.【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线xy e =和直线(2)y a x =+有两个交点，利用过点(2,0)-的曲线xy e =的切线斜率，结合图形求得结果.21.已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.【答案】（1）2219x y +=；（2）证明详见解析.【解析】 【分析】（1）由已知可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G ，即可求得21AG GB a ⋅=-，结合已知即可求得：29a =，问题得解.（2）设()06,P y ，可得直线AP方程为：()039y y x =+，联立直线AP 的方程与椭圆方程即可求得点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭，同理可得点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，当203y ≠时，可表示出直线CD 的方程，整理直线CD 的方程可得：()02043233y y x y ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭即可知直线过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭，命题得证. 【详解】（1）依据题意作出如下图象：由椭圆方程222:1(1)x E y a a +=>可得：(),0A a -， (),0B a ，()0,1G∴(),1AG a =，(),1GB a =- ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：2219x y +=（2）证明：设()06,P y ，则直线AP 的方程为：()()00363y y x -=+--，即：()039y y x =+ 联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2201939x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，整理得：()2222000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或20203279y x y -+=+将20203279y x y -+=+代入直线()039y y x =+可得：02069y y y =+所以点C 的坐标为20022003276,99y y y y ⎛⎫-+⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭当203y ≠时，∴直线CD 的方程为：0022********2000022006291233327331191y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛⎫⎛⎫--⎝⎭-=-⎪ ⎪-+-++⎝⎭⎝⎭-++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫--+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝⎭⎝⎭ 整理得：()()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛⎫=+=- ⎪---⎝⎭所以直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭． 当203y =时，直线CD ：32x =，直线过点3,02⎛⎫⎪⎝⎭． 故直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题.（二）选考题：共10分。
2020年全国统一高考数学试卷(文科)
【详解】因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ，
根据抛物线的对称性可以确定 ，所以 ，
代入抛物线方程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ，
故选：B.
8.点(0，﹣1)到直线 距离的最大值为（）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【详解】由 可知直线过定点 ，设 ，
当直线 与 垂直时，点 到直线 距离最大，
【答案】D
【解析】
【详解】因为 ，所以 .
故选：D
3.设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（）
A. 0.01B. 0.1C. 1D. 10
【答案】C
【详解】因为数据 的方差是数据 的方差的 倍，
所以所求数据方差为
故选：C
4.Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型： ，其中K为最大确诊病例数．当I( )=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约为（）.
【答案】A
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：A.
11.在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB=（）
A. B. 2 C. 4 D. 8
【答案】C
【详解】设
故选：C
12.已知函数f(x)=sinx+ ，则（）
A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图像关于y轴对称
因为 ，所以 ，易知截距 越大，则 越大，
平移直线 ，当 经过A点时截距最大，此时z最大，
由 ，得 ， ，
所以 .
故答案为：7.
14.设双曲线C： (a>0，b>0)的一条渐近线为y= x，则C的离心率为_________．
2020年普通高等学校招生全国统一考试语文(全国卷I,解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试语文（全国卷I，解析版）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
第I卷1至4页，第II卷5至8页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选题其他答案标号，在试卷上作答无效。
3．第I卷共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
一、（12分，每小题3分）1．下列词语中加点的字，读音完全正确的一组是A．菁．华（qīng）宁．可（nìng）冠．心病（guān）翘．首回望（qiáo）B．吐蕃．（fān）庇．护（bì）歼．击机（jiān）呱．呱坠地（gū）C．请帖．（tiě）梵．文（fán）发横．财（hèng）按捺．不住（nà）D．链．接（liàn）创．口（chuāng）倒．春寒（dào）拈．花惹草（niān）【答案】D【考点】考查正确识记现代汉语普通话的字音，能力层级为A级。
【解析】A．菁．华（jīng）；B．吐蕃．（bō）；C．梵．文（fàn）。
【思路分析】该题每一个选项中加点的字都是常见易读错的字，涉及多音字、形声字、形近字。
针对命题特点，只要平时多注意积累，勤查字典，问题就可迎刃而解。
其中多音字可以通过记少推多（如“呱呱坠地”仅在此处读gū）、区别口语和书面语或区别词性、词义（如“冠心病”，“冠”，帽子（名词）/“冠军”，第一）。
2．下列各句中，加点的成语使用不恰当的一项是A．邻里之间的是非大多是由日常生活中的一些琐屑小事引起的，不必寻根究底．．．．，你们还是大事化小、小事化了吧。
2020年全国高考Ⅰ卷 语文、英语、理科数学、理综、文科数学、文综六科试卷及参考答案汇总
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
有一项是符合题目要求的。
2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Al 27 P 31 S 32 Cl 35.5 V 15 Fe 56一、选择题：本题共13小题，每小题6分，共78分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．新冠肺炎疫情警示人们要养成良好的生活习惯，提高公共卫生安全意识。
下列相关叙述错误的是A ．戴口罩可以减少病原微生物通过飞沫在人与人之间的传播B ．病毒能够在餐具上增殖，用食盐溶液浸泡餐具可以阻止病毒增殖C ．高温可破坏病原体蛋白质的空间结构，煮沸处理餐具可杀死病原体D ．生活中接触的物体表面可能存在病原微生物，勤洗手可降低感染风险2．种子贮藏中需要控制呼吸作用以减少有机物的消耗。
若作物种子呼吸作用所利用的物质是淀粉分解产生的葡萄糖，下列关于种子呼吸作用的叙述，错误的是A ．若产生的2CO 与乙醇的分子数相等，则细胞只进行无氧呼吸B ．若细胞只进行有氧呼吸，则吸收2O 的分子数与释放2CO 的相等C ．若细胞只进行无氧呼吸且产物是乳酸，则无2O 吸收也无2CO 释放D ．若细胞同时进行有氧和无氧呼吸，则吸收2O 的分子数比释放2CO 的多3．某研究人员以小鼠为材料进行了与甲状腺相关的实验，下列叙述错误的是A．切除小鼠垂体，会导致甲状腺激素分泌不足，机体产热减少B．给切除垂体的幼年小鼠注射垂体提取液后，其耗氧量会增加C．给成年小鼠注射甲状腺激素后，其神经系统的兴奋性会增强D．给切除垂体的小鼠注射促甲状腺激素释放激素，其代谢可恢复正常4．为达到实验目的、需要选用合适的实验材料进行实验,下列实验目的与实验材料的对应，不合理的是5．已知果蝇的长翅和截翅由一对等位基因控制。
2023年普通高等学校招生统一考试数学及答案(新课标全国Ⅰ卷)
2023年普通高等学校招生全国统一考试（试卷类型：A ）数学本试卷共4页，22小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答 案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不 准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1.已知集合M ={－2,－1,0,1,2,3}，N ={x |x 2－x －6≥0}，则M ∩N =（ ） A.{－2,－1,0,1}B.{0,1,2}C.{－2}D.22.已知z =1i22i-+则z z -=（ ） A.－iB.iC.0D.13.已知向量a =(1,1)，b =(1,－1).若(a +λb )⊥(a +μb )，则（ ） A.λ+μ=1B.λ+μ=－1C.λμ=1D.λμ=－14设函数f (x )=2x (x -a )在区间(0,1)单调递减，则a 的取值范围是（ ） A.(－∞,－2]B.[－2,0)C.(0,2]D.[2,+∞)5.设椭圆C 1：2221x y a+=(a >1)，C 2：2214x y +=的离心率分别为e 1，e 2若e 21，则a =（ ）6.过(0,－2)与圆x 2+y 2－4x －1=0相切的两条直线的夹角为a ，则sin α=（ ）A.17.记S n 为数列{a n }的前n 项和，设甲：{a n }为等差数列；乙：{nS n}为等差数列，则（（ ） A .甲是乙的充分条件但不是必要条件 B .甲是乙的必要条件但不是充分条件 C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8.已知sin(α－β)=13，cos αsin β=16则cos(2α+2β)=（ ） A.79B.19C.－19D.－79二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷I)-含答案
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I）英语注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A. £19.15.B. £9.18.C. £9.15.答案是C。
1. Where are the speakers?A. At a swimming pool.B. In a clothing shop.C. At a school lab.2. What will Tom do next?A. Turn down the music.B. Postpone the show.C. Stop practicing.3. What is the woman busy doing?A. Working on a paper.B. Tidying up the office.C. Organizing a party.4. When will Henry start his vacation?A. This weekend.B. Next week.C. At the end of August.5. What does Donna offer to do for Bill?A. Book a flight for him.B. Drive him to the airport.C. Help him park the car.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
2024新高考I卷数学真题详细解析(含选填)
2024 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标 I 卷）数学参考答案与解析本参考答案与解析共 7 页, 19 小题, 满分 150 分.注意事项:1. 答题前, 先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上, 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并上交。
2. 选择题的作答: 每小题选出答案后, 用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 填空题和解答题的作答: 用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={x∣−5<x3<5},B={−3,−1,0,2,3} ,则A∩B=（）A. {−1,0}B. {2,3}C. {−3,−1,0}D. {−1,0,2}【答案】A.【解析】−5<x3<5⇒−513<x<513 ,而1<513<2 ,因此A∩B={−1,0} . 故答案为 A. 2. 若zz−1=1+i ,则z=（）A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i【答案】C.【解析】两边同时减 1 得: 1z−1=i ,进而z=1+1i=1−i .故答案为C .3. 已知向量a=(0,1),b=(2,x) . 若b⊥(b−4a) ,则x=（）A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】D.【解析】即b⋅(b−4a)=0 . 代入得4+x(x−4)=0 ,即x=2 . 故答案为 D.4. 已知cos(α+β)=m,tanαtanβ=2 ,则cos(α−β)=（）A. −3mB. −m 3C. m3D. 3m【答案】A.【解析】通分 sinαsinβ=2cosαcosβ . 积化和差 12(cos (α−β)−cos (α+β))=2⋅12(cos(α− β)+cos (α+β)) . 即 cos (α−β)=−3cos (α+β)=−3m . 故选 A.5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且他们的高均为 √3 ,则圆锥的体积为（ ） A. 2√3π B. 3√3π C. 6√3π D. 9√3π 【答案】 B.【解析】设二者底面半径为 r ,由侧面积相等有 πr√r 2+3=2πr ⋅√3 ,解得 r =3 . 故 V =13⋅πr 2⋅√3=√33π×9=3√3π.故答案为 B.6. 已知函数为 f (x )={−x 2−2ax −a,x <0e x +ln (x +1),x ≥0 在 R 上单调递增,则 a 的取值范围是（ ）A. (−∞,0]B. [−1,0]C. [−1,1]D. [0,+∞) 【答案】B.【解析】 x ≥0 时, f ′(x )=e x +11+x >0 ,故 f (x ) 在 [0,+∞) 上单调递增. 而 y = −x 2−2zx −a 的对称轴为直线 x =−a ,故由 f (x ) 在 (−∞,0) 上单调递增可知 −a ≥0⇒a ≤0 . 在 x =0 时应有 −x 2−2ax −a ≤e x +ln (x +1) ,解得 a ≥−1 ,故 −1≤a ≤0 . 故答案为 B. 7. 当 x ∈[0,2π] 时,曲线 y =sinx 与 y =2sin (3x −π6) 的交点个数为（ ）A. 3B. 4C. 6D. 8 【答案】C.【解析】五点作图法画图易得应有 6 个交点.故答案为C .8. 已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x−1)+f(x−2) ,且当x<3时f(x)=x ,则下列结论中一定正确的是（）A. f(10)>100B. f(20)>1000C. f(10)<1000D. f(20)<10000【答案】B.【解析】f(1)=1,f(2)=2⇒f(3)>3⇒f(4)>5⇒f(5)>8⇒f(6)>13⇒⋯⇒f(11)> 143⇒f(12)>232⇒f(13)>300⇒f(14)>500⇒f(15)>800⇒f(16)>1000⇒⋯⇒f(20)>1000故答案为 B.二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.9. 为了解推动出口后的亩收入 (单位: 万元) 情况, 从种植区抽取样本, 得到推动出口后亩收入的样本均值为x‾=2.1 ,样本方差s2=0.01 . 已知该种植区以往的亩收入x服从正态分布M(1.8,0.12) ,假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(x‾,s2) ,则（若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2) , P(Z<μ+σ)≈0.8413 )则下列说法正确的是（）A. P(X>2)>0.2B. P(X>2)<0.5C. P(Y>2)>0.5D. P(Y>2)<0.8【答案】BC.【解析】由所给材料知两正态分布均有σ=0.1及正态分布的对称性得:P(X>2)<P(X>1.9)=1−P(X<1.9)=1−0.8413<0.2, A错误; P(X>2)<P(X> 1.8) =0.5, B正确;P(Y>2)>P(Y>2.1)=0.5,C正确;P(Y>2)=P(Y<2.2)=0.8413>0.8,D错误.故答案为BC .10. 设函数f(x)=(x−1)2(x−4) ,则（）A. x=3是f(x)的极小值点B. 当0<x<1时, f(x)<f(x2)C. 当1<x<2时, −4<f(2x−1)<0D. 当−1<x<0时, f(2−x)>f(x)【答案】ACD.【解析】计算知f′(x)=3(x−1)(x−3) . 故x∈(1,3)时f(x)单调减,其余部分单调增. 由此知x=3为f(x)极小值点,A 正确;由上知x∈(0,1)时f(x)单调增,又此时x>x2 ,故f(x)>f(x2),B错误;此时2x−1∈(1,3) ,故f(2x−1)∈(f(3),f(1))=(−4,0),C正确;由f(2−x)=(x−1)2(−x−2) ,故f(2−x)−f(x)=2(1−x)3>0,D正确.故答案为 ACD.11.造型∝可以看作图中的曲线C的一部分. 已知C过坐标原点O ,且C上的点满足横坐标大于 -2 ; 到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为 4,则（）A. a=−2B. 点(2√2,0)在C上C. C在第一象限的点的纵坐标的最大值为 1D. 当点(x0,y0)在C上时, y0≤4x0+2【答案】ABD.【解析】由原点O在曲线C上且|OF|=2知O到直线x=a距离为 2,由a<0知a=−2, A 正确;由x>−2知C上点满足(x+2)√(x−2)2+y2=4 ,代(2√2,0)知B正确;解出y2=16(x+2)2−(x−2)2 ,将左边设为f(x) ,则f′(2)=−0.5<0 . 又有f(2)=1 ,故存x0∈(0,1)使f(x0)>1 . 此时y>1且在第一象限, C错误;又y2=16(x+2)2−(x−2)2<16(x+2)2,故y0<4(x0+2),D 正确.故答案为 ABD.三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.12. 设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2 ,过F2做平行于y轴的直线交C于A,B两点，若|F1A|=13,|AB|=10，则C的离心率为___【答案】32.【解析】根据对称性|F2A|=|AB|2=5 ,则2a=|F1A|−|F2A|=8 ,得到a=4 . 另外根据勾股定理2c=|F1F2|=12 ,得到c=6 ,所以离心率e=ca =32.13. 若曲线y=e x+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a= ▴ .. 【答案】ln2 .【解析】设曲线分别为y1,y2 ,那么y1′=e x+1 ,得到切线方程y−1=2x ,根据y2′=1x+1得到切点横坐标为−12,代入y2得到a=ln2 .14. 甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7 , 乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8 . 两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张, 并比较所选卡片上数字的大小, 数字大的人得 1 分, 数字小的人得 0 分, 然后各自弃置此轮所选的卡片 (弃置的卡片在此后的轮次中不能使用). 则四轮比赛后, 甲的总得分不小于 2 的概率为___【答案】12.【解析】. 由对称性,不妨固定乙出卡片顺序依次为(2,4,6,8) ,为了简便,设甲依次出(a,b,c,d),{a,b,c,d}∈{1,3,5,7} . 首先注意到 8 是最大的,故甲不可能得四分. 若甲得三分,则从c到a均要求得分,比较得必有c=7,b=5,a=3,d=1共一种情况; 若甲得两分,则讨论在何处得分: 若在b,c处,则同样c=7,b=5 ,进而a=1,d=3 ,共一种; 若在a,c处,则必有c= 7,a≠1,b≠5 ,在b=1时有全部两种,在d=1时仅一种,共三种; 若在a,b处,则b∈{5,7},a≠1,c≠7 . 当a=5时,由上述限制, c=1时有两种, d=1时仅一种; 当a=7时, a,c,d全排列六种中仅a=1的两种不行,故有四种,此情形共八种. 故共有1+3+8=12种, 又总数为4!=24 ,故所求为1−1224=12.四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (13 分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,已知sinC=√2cosB,a2+b2−c2=√2ab . (1) 求B ;（2）若△ABC的面积为3+√3 ,求c .【解析】（1）根据余弦定理a2+b2−c2=2abcosC=√2ab ,那么cosC=√22,又因为C∈(0,π) , 得到C=π4 ,此时cosB=12,得到B=π3.(2) 根据正弦定理 b =csinB sinC=√62c ,并且 sinA =sin (B +C )=sinBcosC +cosBsinC =√6+√24,那么 S =12bcsinA =3+√3 ,解得 c =2√2 . 16. (15 分)已知 A (0,3) 和 P (3,32) 为椭圆 C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0) 上两点.(1) 求 C 的离心率;（2）若过 P 的直线 l 交 C 于另一点 B ,且 △ABP 的面积为 9,求 l 的方程. 【解析】（1）直接代入后解方程,得到 a 2=12,b 2=9,c 2=3 ,所以 e 2=14,离心率 e =12.（2）设 B (x 0,y 0) ,则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 0−3,y 0−32),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−32) . 得到 9=S =12|−32(x 0−3)−3(y 0−32)| ,或者 x 0+2y 0=−6 ,与椭圆方程联立,得到B 1(−3,−15),B 2(0,−3) , 对应的直线方程 y =12x 或者 y =32x −3 .17. (15 分)如图,四棱锥 P −ABCD 中, PA ⊥ 底面 ABCD,PA =AC =2,BC =1,AB =√3 . （1）若 AD ⊥AB ,证明: AD// 平面 PBC ;（2）若 AD ⊥DC ,且二面角 A −CP −D 的正弦值为√427,求 AD .【解析】(1) 由 PA ⊥ 面 ABCD 知 PA ⊥AD ,又 AD ⊥PB ,故 AD ⊥ 面 PAB . 故 AD ⊥AB ,又 由勾股定理知 AB ⊥BC ,故 AD//BC ,进而 AD// 面 PBC . （2）法1：由 PA ⊥ 面 ABCD . PA ⊥AC,PC =2√2 ,设 AD =t ,则 PD =√4+t 2 , CD =√4−t 2 ,由勾股定理知 PD ⊥CD . 则 S △PCD =12√16−t 4,S △ACD =12t√4−t 2 ,设 A 到 PCD 距离为 ℎ . 由等体积, S △PCD ⋅ℎ=S △ACD ⋅PA . 代入解出 ℎ=√4+t 2. 考虑 A向 CP 作垂线 AM ,二面角设为 θ 则 ℎ=AMsinθ=2√217. 由此解出 t =√3 .法2：过 D 点作 Dz//PA .分别以 DA,DC,Dz 为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,设 AD =a ,则 DC =√4−a 2∴D (0,0,0), A (a,0,0), C(0,√4−a 2,0), P (a,0,2)∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√4−a 2,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,0,2) 设面 DCP 的一个法向量 n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)∴{√4−a 2⋅y 1=0ax 1+2z 1=0取 x 1=2∴n 1⃗⃗⃗⃗ =(2,0,−a )∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−a,√4−a 2,0)设面 ACP 的一个法向量 n 2⃗⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)∴{2z 2=0−ax 2+√4−a 2y 2=0∴n 2⃗⃗⃗⃗ =(√4−a 2,a,0) ∵ 二面角 A −CP −D 的正弦值为 √427 ∴ √7 .∴cosθ=√7=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||=2√4−a 2√4+a 2⋅2∴a 2=3∴a =√3∴AD =√3 .18. (17 分)已知函数 f (x )=ln x2−x +ax +b (x −1)3 . (1) 若 b =0 ,且 f ′(x )≥0 ,求 a 的最小值; （2）证明：曲线 y =f (x ) 是中心对称图形;（3）若f(x)>−2当且仅当1<x<2 ,求b的取值范围. 【解析】函数定义域(0,2) .(1) 当b=0时, f′(x)=1x +12−x+a=2x(2−x)+a≥0恒成立. 令x=1得a≥−2 . 当a=−2时,f′(x)=2(x−1)2x(2−x)≥0 ,从而a的最小值为 -2 .(2) f(x)+f(2−x)=ln x2−x +ax+b(x−1)3+ln2−xx+a(2−x)+b(1−x)3=2a=2f(1) ,且定义域也关于 1 对称,因此y=f(x)是关于(1,a)的中心对称图形.(3) 先证明a=−2 . 由题意, a=f(1)≤−2 . 假设a<−2 ,由f(2e |b|+11+e|b|+1)>|b|+1−|b|=1 ,应用零点存在定理知存在x1∈(1,2e|b|+11+e|b|+1),f(x1)=0 ,矛盾. 故a=−2 . 此时, f′(x)=(x−1)2 x(2−x)[3bx(2−x)+2] . 当b≥−23,f′(x)≥(x−1)2x(2−x)(2−4x+2x2)≥0 ,且不恒为 0,故f(x)在(0,2)递增. f(x)>−2=f(1)当且仅当1<x<2 ,此时结论成立. 当b<−23,令x0=3b−√9b2−6b3b∈(0,1),f′(x0)=0 ,且f′(x)<0 ,当x∈(x0,1) ,因此f(x)在(x0,1)递减,从而f(x0)>f(1)=−2 ,而x0∉(1,2)此时结论不成立. 综上, b的取值范围是[−23,+∞) .19. (17 分)设m为正整数,数列a1,a2,⋯a4m+2是公差不为 0 的等差数列,若从中删去两项a i和a j(i<j)后剩余的4m项可被平均分为m组,且每组的 4 个数都能构成等差数列,则称数列a1,a2,⋯a4m+2是(i,j)−可分数列.(1) 写出所有的(i,j),1≤i≤j≤6 ,使数列a1,a2,⋯a6是(i,j)−可分数列;(2) 当m≥3时,证明: 数列a1,a2,⋯a4m+2是(2,13)−可分数列;（3）从1,2,⋯4m+2中一次任取两个数i和j(i<j) ,记数列a1,a2,⋯a4m+2是(i,j)−可分数列的概率为P m ,证明P m>18.【解析】记{a n}的公差为d .(1) 从a1,a2,⋯,a6中去掉两项后剩下 4 项,恰构成等差数列,公差必为d ,否则原数列至少有 7 项. 因此剩下的数列只可能为a1,a2,a3,a4,a2,a3,a4,a5,a3,a4,a5,a6三种可能,对应的(i,j)分别为(5,6),(1,6),(1,2) .(2) 考虑分组(a1,a4,a7,a10),(a3,a6,a9,a12),(a5,a8,a11,a14),(a4k−1,a4k,a4k+1,a4k+2)(4≤k≤m) ,(当m=3时只需考虑前三组即可) 即知结论成立.(3) 一方面,任取两个i,j(i<j)共有C4m+22种可能. 另一方面,再考虑一种较为平凡的情况: i−1,j−i−1均可被 4 整除,此时,只要依次将剩下的4m项按原顺序从头到尾排一列,每四个截取一段,得到m组公差为d的数列,则满足题意,故此时确实是(i,j)−可分的. 接着计算此时的方法数. 设i=4k+1(0≤k≤m) ,对于每个k,j有(4m+2)−(4k+1)−14+1=m−k+1 (种), 因此方法数为∑(m−k+1) mk=1=(m+1)(m+2)2.当m=1,2 ,已经有(m+1)(m+2)2/C4m+22>18. 下面考虑m≥3 . 我们证明: 当i−2,j−i+1被 4整除,且j−i+1>4时,数列是(i,j)−可分的. 首先我们将a1,a2,⋯,a i−2 ,及a j+2,a j+3,⋯,a4m+2顺序排成一列,每 4 个排成一段,得到一些公差为d的四元数组,因此我们只需考虑a i−1,a i+1,a i+2,⋯,a j−1,a j+1这j−i+1个数即可. 为书写方便,我们记j−i=4t−1(t>1) ,并记b n=a n+i−2 ,即证b1,b3,b4,⋯,b4t,b4t+2可被划分成若干组.引理: 设j−1能被 4 整除. 若b1,b2,⋯,b j+1是(2,j)−可分的,则b1,b2,⋯,b j+9是(2,j+8)−可分的.引理证明: 将b1,b2,⋯,b j+1去掉b2,b j后的j−14组四元组再并上(b j,b j+2,b j+4,bj+6) ,(b j+3,b j+5,b j+7,b j+9)即证.回原题. 由(2),b1,⋯,b14是(2,13)−可分数列,且(b1,b3,b5,b7)和(b4,b6,b8,b10)知b1,⋯,b10是(2,9)−可分数列,因而结合引理知b1,b3,b4,⋯,b4t,b4t+2可被划分成若干组,由此结论成立.计算此时的方法数. 设i=4k+2(0≤k≤m−1) ,则此时j有(4m+2)−(4k+2)4−1=m−k−1种,因此方法数为∑(m−k−1) m−1k=0=m(m−1)2.因此我们有p m≥m(m−1)+(m+1)(m+2)2C m+12>18.。
2024年高考数学试卷(新课标Ⅰ卷)(解析)
2024年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I 卷）数学本试卷共10页，19小题，满分150分. 注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 已知集合{}355,{3,1,0,2,3}A x xB =−<<=−−∣，则A B =（ ）A. {1,0}−B. {2,3}C. {3,1,0}−−D. {1,0,2}−【答案】A 【解析】【分析】化简集合A ，由交集的概念即可得解.【详解】因为{{}|,3,1,0,2,3A x x B =<<=−−，且注意到12<<，从而AB ={}1,0−.故选：A. 2. 若1i 1zz =+−，则z =（ ） A. 1i −− B. 1i −+C. 1i −D. 1i +【答案】C 【解析】【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解. 【详解】因为11111i 111z z z z z −+==+=+−−−，所以111i i z =+=−.故选：C.3. 已知向量(0,1),(2,)a b x ==，若(4)b b a ⊥−，则x =（ ） A. 2− B. 1− C. 1 D. 2【答案】D 【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算可求x 的值. 【详解】因为()4b b a ⊥−，所以()40b b a ⋅−=， 所以240b a b −⋅=即2440x x +−=，故2x =， 故选：D.4. 已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ−=（ ） A. 3m − B. 3m −C.3m D. 3m【答案】A 【解析】【分析】根据两角和的余弦可求cos cos ,sin sin αβαβ的关系，结合tan tan αβ的值可求前者，故可求()cos αβ−的值.【详解】因为()cos m αβ+=，所以cos cos sin sin m αβαβ−=， 而tan tan 2αβ=，所以sin sin 2cos cos αβαβ=， 故cos cos 2cos cos m αβαβ−=即cos cos m αβ=−， 从而sin sin 2m αβ=−，故()cos 3m αβ−=−， 故选：A.5. ）A. B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】设圆柱的底面半径为r ，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径r 的方程，求出解后可求圆锥的体积.【详解】设圆柱的底面半径为r而它们的侧面积相等，所以2ππr r=即=，故3r=，故圆锥的体积为1π93⨯=.故选：B.6. 已知函数为22,0()e ln(1),0xx ax a xf xx x⎧−−−<=⎨++≥⎩，在R上单调递增，则a取值的范围是（）A. (,0]−∞ B. [1,0]− C. [1,1]− D. [0,)+∞【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【详解】因为()f x在R上单调递增，且0x≥时，()()e ln1xf x x=++单调递增，则需满足()221e ln1aa−⎧−≥⎪⨯−⎨⎪−≤+⎩，解得10a−≤≤，即a的范围是[1,0]−.故选：B.7. 当[0,2]xπÎ时，曲线siny x=与2sin36y xπ⎛⎫=−⎪⎝⎭的交点个数为（）A. 3B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】画出两函数在[]0,2π上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数siny x=的的最小正周期为2πT=，函数π2sin36y x⎛⎫=−⎪⎝⎭的最小正周期为2π3T=，所以在[]0,2πx∈上函数π2sin36y x⎛⎫=−⎪⎝⎭有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C8. 已知函数为()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >−+−，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ） A. (10)100f > B. (20)1000f > C. (10)1000f < D. (20)10000f <【答案】B 【解析】【分析】代入得到(1)1,(2)2f f ==，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2f f ==， 又因为()(1)(2)f x f x f x >−+−，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+> (14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确. 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用(1)1,(2)2f f ==，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >−+−，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9. 为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 2.1x =，样本方差20.01s =，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布()21.8,0.1N ，假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布()2,N x s，则（ ）（若随机变量Z 服从正态分布()2,N u σ，()0.8413P Z u σ<+≈）A. (2)0.2P X >>B. (2)0.5P X ><C. (2)0.5P Y >>D. (2)0.8P Y ><【答案】BC 【解析】【分析】根据正态分布的3σ原则以及正态分布的对称性即可解出. 【详解】依题可知，22.1,0.01x s ==，所以()2.1,0.1YN ，故()()()2 2.10.1 2.10.10.84130.5P Y P Y P Y >=>−=<+≈>，C 正确，D 错误； 因为()1.8,0.1XN ，所以()()2 1.820.1P X P X >=>+⨯，因为()1.80.10.8413P X <+≈，所以()1.80.110.84130.15870.2P X >+≈−=<， 而()()()2 1.820.1 1.80.10.2P X P X P X >=>+⨯<>+<，B 正确，A 错误， 故选：BC ．10. 设函数2()(1)(4)f x x x =−−，则（ ） A. 3x =是()f x 的极小值点B. 当01x <<时，()2()f x f x<C. 当12x <<时，4(21)0f x −<−<D. 当10x −<<时，(2)()f x f x −>【答案】ACD 【解析】【分析】求出函数()f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数()f x 在()1,3上的值域即可判断C ；直接作差可判断D.【详解】对A ，因为函数()f x 的定义域为R ，而()()()()()()22141313f x x x x x x =−−+−=−−'，易知当()1,3x ∈时，()0f x '<，当(),1x ∞∈−或()3,x ∞∈+时，()0f x '>函数()f x 在(),1∞−上单调递增，在()1,3上单调递减，在()3,∞+上单调递增，故3x =是函数()f x 的极小值点，正确；对B ，当01x <<时，()210x x x x −=−>，所以210x x >>>，而由上可知，函数()f x 在()0,1上单调递增，所以()()2f x f x>，错误；对C ，当12x <<时，1213x <−<，而由上可知，函数()f x 在()1,3上单调递减， 所以()()()1213f f x f >−>，即()4210f x −<−<，正确； 对D ，当10x −<<时，()()()()()()222(2)()12141220f x f x x x x x x x −−=−−−−−−=−−>，所以(2)()f x f x −>，正确； 故选：ACD.11. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C 的一部分.已知C 过坐标原点O .且C 上的点满足横坐标大于2−，到点(2,0)F 的距离与到定直线(0)x a a =<的距离之积为4，则（ ）A. 2a =−B.点在C 上C. C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D. 当点()00,x y 在C 上时，0042y x ≤+ 【答案】ABD 【解析】【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求a ，故可判断A 的正误，结合曲线方程可判断B 的正误，利用特例法可判断C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断D 的正误. 【详解】对于A ：设曲线上的动点(),P x y ，则2x >−4x a −=，04a −=，解得2a=−，故A 正确.对于B24x +=，而2x >−，()24x +=.当0x y ==()2844+=−=，故()在曲线上，故B 正确. 对于C ：由曲线的方程可得()()2221622y x x =−−+，取32x =，则2641494y =−，而64164525624510494494494−−−=−=>⨯，故此时21y >， 故C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C 错误. 对于D ：当点()00,x y 在曲线上时，由C 的分析可得()()()220022001616222y x x x =−−≤++，故0004422y x x −≤≤++，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>的左右焦点分别为12F F 、，过2F 作平行于y 轴的直线交C 于A ，B两点，若1||13,||10F A AB ==，则C 的离心率为___________． 【答案】32【解析】【分析】由题意画出双曲线大致图象，求出2AF ，结合双曲线第一定义求出1AF ，即可得到,,a b c 的值，从而求出离心率.【详解】由题可知2,,A B F 三点横坐标相等，设A 在第一象限，将x c =代入22221x ya b−=得2b y a =±，即22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故2210b AB a ==，225b AF a ==， 又122AF AF a −=，得1222513AF AF a a =+=+=，解得4a =，代入25b a=得220b =，故22236,c a b =+=，即6c =，所以6342c e a ===. 故答案为：3213. 若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则=a __________. 【答案】ln 2 【解析】【分析】先求出曲线e x y x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e x y x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=， 故曲线e x y x =+在()0,1处的切线方程为21y x =+； 由()ln 1y x a =++得11y x '=+， 设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++， 由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =−，则切点为11,ln 22a ⎛⎫−+ ⎪⎝⎭， 切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++− ⎪⎝⎭， 根据两切线重合,所以ln 20a −=，解得ln 2a =. 故答案为：ln 214. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为_________.【答案】12##0.5 【解析】【分析】将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可. 【详解】设甲在四轮游戏中的得分分别为1234,,,X X X X ，四轮的总得分为X .对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率()631448k P X ===⨯，所以()()31,2,3,48k E X k ==. 从而()()()441234113382kk k E X E X X X X E X ===+++===∑∑. 记()()0,1,2,3k p P X k k ===.如果甲得0分，则组合方式是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出2，4，6，8，所以04411A 24p ==； 如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以34411A 24p ==. 而X 的所有可能取值是0，1，2，3，故01231p p p p +++=，()1233232p p p E X ++==. 所以121112p p ++=，1213282p p ++=，两式相减即得211242p +=，故2312p p +=. 所以甲总得分不小于2的概率为2312p p +=. 故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 记ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c，已知sin C B =，222a b c +−=（1）求B ；（2）若ABC的面积为3+，求c ．的【答案】（1）π3B = （2）【解析】【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出cos ,sin C C，最后结合已知sin C B =得cos B值即可；（2）首先求出,,A B C ，然后由正弦定理可将,a b 均用含有c 的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解. 【小问1详解】由余弦定理有2222cos a b c ab C +−=，对比已知222a b c +−=，可得222cos 222a b c C ab ab +−===， 因为()0,πC ∈，所以sin 0C >，从而sin 2C ===，又因为sin C B =，即1cos 2B =， 注意到()0,πB ∈， 所以π3B =. 小问2详解】由（1）可得π3B =，cos 2C =，()0,πC ∈，从而π4C =，ππ5ππ3412A =−−=，而5πππ1sin sin sin 124622224A ⎛⎫⎛⎫==+=⨯+⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由正弦定理有5πππsin sin sin 1234a b c==，从而1,4222a cbc +====， 由三角形面积公式可知，ABC 的面积可表示为的【21113sin 222228ABCSab C c c c +==⋅⋅⋅=， 由已知ABC面积为3+，可得2338c +=+所以c =16. 已知(0,3)A 和33,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上两点.（1）求C 的离心率;（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且ABP 的面积为9，求l 的方程． 【答案】（1）12（2）直线l 的方程为3260x y −−=或20x y −=. 【解析】【分析】（1）代入两点得到关于,a b 的方程，解出即可；（2）方法一：以AP 为底，求出三角形的高，即点B 到直线AP 的距离，再利用平行线距离公式得到平移后的直线方程，联立椭圆方程得到B 点坐标，则得到直线l 的方程；方法二：同法一得到点B 到直线AP 的距离，再设()00,B x y ，根据点到直线距离和点在椭圆上得到方程组，解出即可；法三：同法一得到点B 到直线AP 的距离，利用椭圆的参数方程即可求解；法四：首先验证直线AB 斜率不存在的情况，再设直线3y kx =+，联立椭圆方程，得到点B 坐标，再利用点到直线距离公式即可；法五：首先考虑直线PB 斜率不存在的情况，再设3:(3)2PB y k x −=−，利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到答案；法六：设线法与法五一致，利用水平宽乘铅锤高乘12表达面积即可. 【小问1详解】由题意得2239941b a b=⎧⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得22912b a ⎧=⎨=⎩，所以12e ===.【小问2详解】的法一：3312032APk −==−−，则直线AP 的方程为132y x =−+，即260x y +−=，2AP ==，由（1）知22:1129x y C +=， 设点B 到直线AP 的距离为d，则52d ==， 则将直线AP 沿着与AP 垂直的方向平移5单位即可， 此时该平行线与椭圆的交点即为点B ，设该平行线的方程为：20x y C ++=，5=，解得6C =或18C =−， 当6C =时，联立221129260x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++=⎩，解得03x y =⎧⎨=−⎩或332x y =−⎧⎪⎨=−⎪⎩，即()0,3B −或33,2⎛⎫−−⎪⎝⎭， 当()0,3B −时，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =−，即3260x y −−=，当33,2B ⎛⎫−−⎪⎝⎭时，此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y −=， 当18C =−时，联立2211292180x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+−=⎩得22271170y y −+=，227421172070∆=−⨯⨯=−<，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l 的方程为3260x y −−=或20x y −=. 法二：同法一得到直线AP 的方程为260x y +−=，点B到直线AP 的距离5d =，设()00,B x y，则220051129x y =⎪+=⎪⎩，解得00332x y =−⎧⎪⎨=−⎪⎩或0003x y =⎧⎨=−⎩， 即()0,3B −或33,2⎛⎫−−⎪⎝⎭，以下同法一. 法三：同法一得到直线AP 的方程为260x y +−=，点B 到直线AP的距离5d =，设(),3sin B θθ，其中[)0,2θ∈π5=， 联立22cos sin 1θθ+=，解得cos 21sin 2θθ⎧=−⎪⎪⎨⎪=−⎪⎩或cos 0sin 1θθ=⎧⎨=−⎩，即()0,3B −或33,2⎛⎫−− ⎪⎝⎭，以下同法一；法四：当直线AB 的斜率不存在时，此时()0,3B −，16392PABS=⨯⨯=，符合题意，此时32l k =，直线l 的方程为332y x =−，即3260x y −−=，当线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3y kx =+，联立椭圆方程有2231129y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，则()2243240k x kx ++=，其中AP k k ≠，即12k ≠−，解得0x =或22443kx k −=+，0k ≠，12k ≠−， 令22443k x k −=+，则2212943k y k −+=+，则22224129,4343k k B k k ⎛⎫−−+ ⎪++⎝⎭同法一得到直线AP 的方程为260x y +−=，点B 到直线AP的距离5d =，5=，解得32k =，此时33,2B ⎛⎫−−⎪⎝⎭，则得到此时12lk =，直线l 的方程为12y x =，即20x y −=， 综上直线l 的方程为3260x y −−=或20x y −=. 法五：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =， 此时1933922ABPS=⨯⨯=≠不满足条件. 当l 的斜率存在时，设3:(3)2PB y k x −=−，令()()1122,,,P x y B x y ， 223(3)21129y k x x y ⎧=−+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消y 可得()()22224324123636270k x k k x k k +−−+−−=， ()()()2222Δ24124433636270k kk k k =−−+−−>，且AP k k ≠，即12k ≠−，21222122241243,36362743k k x x k PB k k x x k ⎧−+=⎪⎪+==⎨−−⎪=⎪+⎩，A 到直线PB距离192PABd S===， 12k ∴=或32，均满足题意，1:2l y x ∴=或332y x =−，即3260x y −−=或20x y −=.法六：当l 的斜率不存在时，3:3,3,,3,2l x B PB A ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭到PB 距离3d =， 此时1933922ABPS=⨯⨯=≠不满足条件.当直线l 斜率存在时，设3:(3)2l y k x =−+， 设l 与y 轴的交点为Q ，令0x =，则30,32Q k ⎛⎫−+⎪⎝⎭， 联立223323436y kx k x y ⎧=−+⎪⎨⎪+=⎩，则有()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+−−+−−= ⎪⎝⎭，()2223348336362702k x k k x k k ⎛⎫+−−+−−= ⎪⎝⎭，其中()()22223Δ8343436362702k k k k k ⎛⎫=−−+−−> ⎪⎝⎭，且12k ≠−，则2222363627121293,3434B B k k k k x x k k−−−−==++， 则211312183922234P B k S AQ x x k k +=−=+=+，解的12k =或32k =，经代入判别式验证均满足题意. 则直线l 为12y x =或332y x =−，即3260x y −−=或20x y −=.17. 如图，四棱锥P ABCD −中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1,BC AB ==．（1）若AD PB ⊥，证明：//AD 平面PBC ；（2）若AD DC ⊥，且二面角A CP D −−的正弦值为7，求AD ． 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）先证出AD ⊥平面PAB ，即可得AD AB ⊥，由勾股定理逆定理可得BC AB ⊥，从而 //AD BC ，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，根据三垂线法可知，DFE ∠即为二面角A CP D −−的平面角，即可求得tan DFE ∠=再分别用AD 的长度表示出,DE EF ，即可解方程求出AD ． 【小问1详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，而AD ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥， 又AD PB ⊥，PBPA P =，,PB PA ⊂平面PAB ，所以AD ⊥平面PAB ，而AB ⊂平面PAB ，所以AD AB ⊥.因为222BC AB AC +=，所以BC AB ⊥， 根据平面知识可知//AD BC ， 又AD ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以//AD 平面PBC ． 【小问2详解】 如图所示，过点D 作DEAC ⊥于E ，再过点E 作EF CP ⊥于F ，连接DF ，因为PA ⊥平面ABCD ，所以平面PAC ⊥平面ABCD ，而平面PAC 平面ABCD AC =，所以DE ⊥平面PAC ，又EF CP ⊥，所以⊥CP 平面DEF ， 根据二面角的定义可知，DFE ∠即为二面角A CP D −−的平面角，即sin 7DFE ∠=，即tan DFE ∠=因为AD DC ⊥，设AD x =，则CD =2DE =，又242xCE −==，而EFC 为等腰直角三角形，所以2EF =，故22tan DFE∠==x=，即AD=．18. 已知函数3()ln(1)2xf x ax b xx=++−−（1）若0b=，且()0f x'≥，求a的最小值；（2）证明：曲线()y f x=是中心对称图形；（3）若()2f x>−当且仅当12x<<，求b的取值范围．【答案】（1）2−（2）证明见解析（3）23b≥−【解析】【分析】（1）求出()min2f x a'=+后根据()0f x'≥可求a的最小值；（2）设(),P m n为()y f x=图象上任意一点，可证(),P m n关于()1,a的对称点为()2,2Q m a n−−也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断()12f=−即2a=−，再根据()2f x>−在()1,2上恒成立可求得23b≥−.【小问1详解】b=时，()ln2xf x axx=+−，其中()0,2x∈，则()()()112,0,222f x a xx x x x=+=+∈−−'，因为()22212x xx x−+⎛⎫−≤=⎪⎝⎭，当且仅当1x=时等号成立，故()min 2f x a '=+，而()0f x '≥成立，故20a +≥即2a ≥−， 所以a 的最小值为2−.， 【小问2详解】()()3ln12x f x ax b x x=++−−的定义域为()0,2， 设(),P m n 为()y f x =图象上任意一点，(),P m n 关于()1,a 的对称点为()2,2Q m a n −−，因为(),P m n 在()y f x =图象上，故()3ln 12m n am b m m=++−−， 而()()()()3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m −⎡⎤−=+−+−−=−++−+⎢⎥−⎣⎦， 2n a =−+，所以()2,2Q m a n −−也在()y f x =图象上，由P 的任意性可得()y f x =图象为中心对称图形，且对称中心为()1,a . 【小问3详解】因为()2f x >−当且仅当12x <<，故1x =为()2f x =−的一个解， 所以()12f =−即2a =−，先考虑12x <<时，()2f x >−恒成立.此时()2f x >−即为()()3ln21102x x b x x +−+−>−在()1,2上恒成立， 设()10,1t x =−∈，则31ln 201t t bt t+−+>−在()0,1上恒成立， 设()()31ln 2,0,11t g t t bt t t+=−+∈−， 则()()2222232322311t bt b g t bt t t−++=−+=−'−， 当0b ≥，232332320bt b b b −++≥−++=>， 故()0g t '>恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数， 故()()00g t g >=即()2f x >−在()1,2上恒成立. 当203b −≤<时，2323230bt b b −++≥+≥，故()0g t '≥恒成立，故()g t 在()0,1上为增函数， 故()()00g t g >=即()2f x >−在()1,2上恒成立.当23b <−，则当01t <<<时，()0g t '<故在⎛ ⎝上()g t 为减函数，故()()00g t g <=，不合题意，舍； 综上，()2f x >−在()1,2上恒成立时23b ≥−. 而当23b ≥−时， 而23b ≥−时，由上述过程可得()g t 在()0,1递增，故()0g t >的解为()0,1， 即()2f x >−的解为()1,2. 综上，23b ≥−. 【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.19. 设m 为正整数，数列1242,,...,m a a a +是公差不为0的等差数列，若从中删去两项i a 和()j a i j <后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列1242,,...,m a a a +是(),i j −可分数列．（1）写出所有的(),i j ，16i j ≤<≤，使数列126,,...,a a a 是(),i j −可分数列； （2）当3m ≥时，证明：数列1242,,...,m a a a +是()2,13−可分数列；（3）从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <，记数列1242,,...,m a a a +是(),i j −可分数列的概率为m P ，证明：18m P >． 【答案】（1）()()()1,2,1,6,5,6 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】【分析】（1）直接根据(),i j −可分数列的定义即可；（2）根据(),i j −可分数列的定义即可验证结论；（3）证明使得原数列是(),i j −可分数列的(),i j 至少有()21m m +−个，再使用概率的定义.【小问1详解】首先，我们设数列1242,,...,m a a a +的公差为d ，则0d ≠.由于一个数列同时加上一个数或者乘以一个非零数后是等差数列，当且仅当该数列是等差数列，故我们可以对该数列进行适当的变形()111,2,...,42k ka a a k m d−=+=+'， 得到新数列()1,2, (42)a k k m ==+'，然后对1242,,...,m a a a +'''进行相应的讨论即可. 换言之，我们可以不妨设()1,2,...,42k a k k m ==+，此后的讨论均建立在该假设下进行.回到原题，第1小问相当于从1,2,3,4,5,6中取出两个数i 和()j i j <，使得剩下四个数是等差数列. 那么剩下四个数只可能是1,2,3,4，或2,3,4,5，或3,4,5,6. 所以所有可能的(),i j 就是()()()1,2,1,6,5,6. 【小问2详解】由于从数列1,2,...,42m +中取出2和13后，剩余的4m 个数可以分为以下两个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}1,4,7,10,3,6,9,12,5,8,11,14，共3组；②{}{}{}15,16,17,18,19,20,21,22,...,41,4,41,42m m m m −++，共3m −组. （如果30m −=，则忽略②）故数列1,2,...,42m +是()2,13−可分数列. 【小问3详解】定义集合{}{}410,1,2,...,1,5,9,13,...,41A k k m m =+==+，{}{}420,1,2,...,2,6,10,14,...,42B k k m m =+==+.下面证明，对142i j m ≤<≤+，如果下面两个命题同时成立， 则数列1,2,...,42m +一定是(),i j −可分数列： 命题1：,i A j B ∈∈或,i B j A ∈∈；命题2：3j i −≠.我们分两种情况证明这个结论.第一种情况：如果,i A j B ∈∈，且3j i −≠.此时设141i k =+，242j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124142k k +<+，即2114k k −>−，故21k k ≥. 此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出141i k =+和242j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下三个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k −−−，共1k 组；②{}{}{}11111111222242,43,44,45,46,47,48,49,...,42,41,4,41k k k k k k k k k k k k ++++++++−−+，共21k k −组；③{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++−++，共2m k −组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）故此时数列1,2,...,42m +是(),i j −可分数列.第二种情况：如果,i B j A ∈∈，且3j i −≠.此时设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈.则由i j <可知124241k k +<+，即2114k k −>，故21k k >. 由于3j i −≠，故()()2141423k k +−+≠，从而211k k −≠，这就意味着212k k −≥.此时，由于从数列1,2,...,42m +中取出142i k =+和241j k =+后，剩余的4m 个数可以分为以下四个部分，共m 组，使得每组成等差数列：①{}{}{}11111,2,3,4,5,6,7,8,...,43,42,41,4k k k k −−−，共1k 组；②{}112121241,31,221,31k k k k k k k +++++++，{}121212232,222,32,42k k k k k k k +++++++，共2组；③全体{}11212124,3,22,3k p k k p k k p k k p +++++++，其中213,4,...,p k k =−，共212k k −−组； ④{}{}{}2222222243,44,45,46,47,48,49,410,...,41,4,41,42k k k k k k k k m m m m ++++++++−++，共2m k −组.（如果某一部分的组数为0，则忽略之）这里对②和③进行一下解释：将③中的每一组作为一个横排，排成一个包含212k k −−个行，4个列的数表以后，4个列分别是下面这些数：{}111243,44,...,3k k k k +++，{}12121233,34,...,22k k k k k k +++++，{}121212223,223,...,3k k k k k k +++++，{}1212233,34,...,4k k k k k ++++可以看出每列都是连续的若干个整数，它们再取并以后，将取遍{}11241,42,...,42k k k +++中除开五个集合{}1141,42k k ++，{}121231,32k k k k ++++，{}1212221,222k k k k ++++，{}121231,32k k k k ++++，{}2241,42k k ++中的十个元素以外的所有数.而这十个数中，除开已经去掉的142k +和241k +以外，剩余的八个数恰好就是②中出现的八个数. 这就说明我们给出的分组方式满足要求，故此时数列1,2,...,42m +是(),i j −可分数列.至此，我们证明了：对142i j m ≤<≤+，如果前述命题1和命题2同时成立，则数列1,2,...,42m +一定是(),i j −可分数列.然后我们来考虑这样的(),i j 的个数.首先，由于A B ⋂=∅，A 和B 各有1m +个元素，故满足命题1的(),i j 总共有()21m +个； 而如果3j i −=，假设,i A j B ∈∈，则可设141i k =+，242j k =+，代入得()()2142413k k +−+=. 但这导致2112k k −=，矛盾，所以,i B j A ∈∈. 设142i k =+，241j k =+，{}12,0,1,2,...,k k m ∈，则()()2141423k k +−+=，即211k k −=. 所以可能的()12,k k 恰好就是()()()0,1,1,2,...,1,m m −，对应的(),i j 分别是()()()2,5,6,9,...,42,41m m −+，总共m 个.所以这()21m +个满足命题1的(),i j 中，不满足命题2的恰好有m 个. .这就得到同时满足命题1和命题2的(),i j 的个数为()21m m +−. 当我们从1,2,...,42m +中一次任取两个数i 和()j i j <时，总的选取方式的个数等于()()()()424121412m m m m ++=++.而根据之前的结论，使得数列1242,,...,m a a a +是(),i j −可分数列的(),i j 至少有()21m m +−个.所以数列1242,,...,m a a a +是(),i j −可分数列的概率m P 一定满足()()()()()()()()()22221111124214121412142221218m m m m m m m m P m m m m m m m m ⎛⎫+++ ⎪+−++⎝⎭≥=>==++++++++. 这就证明了结论.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义数列的理解，只有理解了定义，方可使用定义验证或探究结论.。
2020年高考文科数学(1卷)：答案详细解析(最新)
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2020 年高考文科数学（全国 1 卷）答案详解及试题
（一）必考题：共 60 分
17.（12 分）（概率统计）
某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为 A,B,C，
D 四个等级，加工业务约定：对于 A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取
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2020 年高考文科数学（全国 1 卷）答案详解及试题
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 2x y 2 0
13（. 线性规划）若 x，y 满足约束条件 x y 1 0 ，则 z=x＋7y 的最大值为_____. y 1 0
【解析】由约束条件，作出可行域如图 A13 所示.
【答案】 y 2x
16. （数列）数列an 满足 an2 1n an 3n 1 ，前 16 项和为 540，则 a1 =____.
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2020 年高考文科数学（全国 1 卷）答案详解及试题
【解析】当 n 为偶数时，有 an2 an 3n 1，故
A. 1 16
B. 1 9
C. 1 8
D. 1 6
【解析】∵ a log3
4 log3 4a
2 ，∴ 4a
32
9 ，∴ 4a
1 4a
1. 9
【答案】B
9.（算法框图）执行右面的程序框图，则输出的 n
A. 17
B. 19
C. 21
D. 23
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2020年全国普通高等学校招生统一考试英语试卷 全国Ⅰ卷(含答案)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷I）英语注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节（共5小题；每小题1.5分，满分7.5分）听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
例：How much is the shirt?A. £19.15.B. £9.18.C. £9.15.答案是C。
1. Where are the speakers?A. At a swimming pool.B. In a clothing shop.C. At aschool lab.2. What will Tom do next?A. Turn down the music.B. Postpone the show.C.Stop practicing.3. What is the woman busy doing?A. Working on a paper.B. Tidying up the office.C. Organizing a party.4. When will Henry start his vacation?A. This weekend.B. Next week.C. At theend of August.5. What does Donna offer to do for Bill?A. Book a flight for him.B. Drive him to the airport.C. Help him park the car.第二节（共15小题；每小题1.5分，满分22.5分）听下面5段对话或独白。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(江西卷,含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（江西卷，解析版）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效． 3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：样本数据1122(,),(,),...,(,)n n x y x y x y 的回归方程：y a bx =+其中()()()121niii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，a y bx =- 锥体体积公式1212,n n x x x y y y x y n n++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+== 13V Sh = 其中S 为底面积，h 为高第I 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若()2,,x i i y i x y R -=+∈，则复数x yi +=（ ） A.2i -+ B.2i + C.12i - D.12i + 答案：B2.若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（ ） A.M N ⋃ B.M N ⋂ C.()()U U C M C N ⋃ D.()()U U C M C N ⋂ 答案：D3.若121()log (21)f x x =+，则()f x 的定义域为( )A.1(,0)2-B.1(,)2-+∞C.1(,0)(0,)2-⋃+∞D.1(,2)2-答案：C4.曲线xy e =在点A （0,1）处的切线斜率为（ ） A.1 B.2 C.e D.1e答案：A5.设{n a }为等差数列，公差d = -2，n S 为其前n 项和.若1011S S =，则1a =（ ） A.18 B.20 C.22 D.24 答案：B6.观察下列各式：则234749,7343,72401===，…，则20117的末两位数字为（ ）A.01B.43C.07D.49 答案：B7.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随即抽取30名学生参加环保知识测试，得分（十分制）如图所示，假设得分值的中位数为e m ，众数为o m ，平均值为x ，则（ ） A.e o m m x== B.e o m m x =<C.e o m m x <<D.o e m m x <<答案：D 计算可以得知，中位数为5.5，众数为5所以选D父亲身高x （cm ） 174 176 176 176 178 儿子身高y （cm ） 175 175176177177则y 对x 的线性回归方程为A.y = x-1B.y = x+1C.y = 88+12x D.y = 176 C 线性回归方程bx a y +=，()()()∑∑==---=ni i ni ii x x y y x x b 121，x b y a -=9.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为（ ）答案：D 左视图即是从正左方看，找特殊位置的可视点，连起来就可以得到答案。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(数学)试题及参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小踐给出的四个选项中.只 有一 项是符合题目要求的。
L 设集合/={x|lWxW3}, B = {x\2<x<4},则= A. {x|2<xW3} B. {x|2W.tW3} C. {x|lWx<4} D. （x|l<x<4}
的比例是
A. 62% B. 56% C. 46% D. 42%
6. 基本再生数心与世代间隔「是新冠肺炎的流行宿学基本参数.基本再生数指一个 感染者传
染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎 疫情初始阶段，
可以用指数模型:/。)=矿描述累计格染病例数/0)随时间，(单 位：天)的变化规律，指数
2020年普通高等学校招生全国统一考试（数学）试题及答案
绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试
数学
注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 冋答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂 黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。冋答1F选择题时，将答案写在 答题 卡上。写在本试卷上无效。
A. sin(x +j)
B. sin(^-2x) 3
c. «os(2x+-)
6
D. cos(— - 2x) 6
|\ / _ 0 A ~~~
16 vy3
数学试题第2页(共5页)
11.已知a>0, b>0,且a + b = \,则
A. / +胪B. 2°-4>l
2
2
C. logj a + log, -2
2020年普通高等学校招生全国统一考试语文试题(新课标卷,含答案)(1)
2020年普通高等学校招生全国统一考试语文本试题卷分第I卷(阅读题)和第11卷(表达题)两部分。
考生作答时，将答案答在答题卡上(答题注意事项见答题卡)，在本试题卷上答题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第I卷阅读题甲必考题一、现代文阅读((9分，每小题3分)阅读下面的文字，完成1-3题。
“黑箱，是控制论中的概念，意为在认识上主体对其内部情况全然不知的对象.“科技黑箱”的含义与此有所不同，它是一种特殊的存贮知识、运行知识的设施或过程，使用者如同面对黑箱，不必打开，也不必理解和掌握其中的知识，只需按规则操作即可得到预期的结果.例如电脑、手机、摄像机、芯片，以及药品等，可以说，几乎技术的全部中间和最终成果都是科技黑箱.在科技黑箱的生产过程中，科学知识是通泌出，价值观和伦理道德则对科学知识进行选择。
除此以外，科技黑箱中还整合了大童人文的、社会的知识，并且或多或少渗透了企业文化和理念。
这样，在电脑或手机中就集成了物理学、计葬机科学、管理学、经济学、美学，以及对市场的调研和政府的相关政策等知识.科技黑箱是特殊的传播与共享知识的媒体，具有三大特点。
首先，它使得每一个使用者—不仅牛顿，都能直接“站在巨人的肩上”继续前进.试想，如果要全世界的电脑使用者都透彻掌握电脑的工作原理，掌握芯片上的电子理论，那需要多少时间?知识正是通过科技黑箱这一途径而达到最大限度的共享。
如今，计葬机天才、黑客的年龄越来越小，神童不断出现，他们未必理解计算机的制作过程就能编写软件、破译密码。
每一代新科技黑箱的出现，就为相对“无知识”的年轻一代的崛起与赶超提供了机会。
其次.处在相付低端的科技黑箱往往与语境和主体无关，而处于高端的科技黑箱则需满足特定主体在特定场合乃至心理的需要。
人们很少能对一把锤子做什么改进，而使用一个月后的电脑则已经深深地打上了个人的印记，这就锐明，在认识变得简单易行之时，实践变得复杂和重要.最后，当科技为我们打开一扇又一扇门的时候，我们能拒绝它的诱惑不进去吗?而一旦进去，我们的行为能不受制于房间和走道的形状吗?表面上是使用者在支配科技黑箱，然而科技黑箱却正在使用者“不知情”的情况下，对使用者施加潜移双化的影响，也就是说使用者被生产方对象化了。