2011届高考数学考前抢分押题卷——山东卷理3

2011届高考数学考前抢分押题卷——山东卷：理3
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z 满足(1i)2z +=，则z 等于
A ．1i +
B ．1i -
C ．1i -+
D ．1i -- 2．函数2
1
1
12x y +⎛⎫= ⎪
⎝⎭
值域为
A ．（-∞，1）
B ．（
12，1） C ．[12，1） D ．[1
2
，+∞） 3．某调查机构对本市小学生课业负担情况进行了调查，设平均每人每
天做作业的时间为x 分钟.有1000名小学生参加了此项调查，调查 所得数据用程序框图处理，若输出的结果是680，则平均每天做作 业的时间在0~60分钟内的学生的频率是 A. 680 B. 320 C. 0.68 D. 0.32
4．若5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-+
+-，则0a =
A ．32
B ．1
C ．1-
D ．32- 5．等差数列{}n a 满足:296a a a +=,则9S =
A ．2-
B ．0
C ．1
D ．2
6．设,a b R ∈，则()sin f x x x a b =++是奇函数的充要条件是 A ．220a b += B ．0ab = C ．
0b
a
= D ．220a b -= 7．要得到函数cos(2)3
y x π
=+的图象，只需将函数1sin 2222
y x x =+的图象
A ．向左平移
8π
个单位 B ．向右平移
2π
个单位
C ．向右平移3
π
个单位
D ．向左平移4
π
个单位
8.抛物线2
2x y =和直线+4y x =所围成的封闭图形的面积是（ ）
A ．16
B ．18
C ．20
D ．22
9. 圆),2
(01sin 12222Z ∈+≠=-+=+k k y x y x ππ
θθ与直线的位置关系是
（ ）
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．不能确定
10．已知函数(1)y f x =+是定义域为R 的偶函数，且()f x 在[1,)+∞上单调递减，则不等式
(21)(2)f x f x ->+的解集为
A.{|3}x x <
B.1
{|
3}2
x x << C.1{|3}3x x -<< D.1
{|3}3
x x <<
11．已知点P 的双曲线
22
1169
x y -=右支上 一点，12F F 、分别为双曲线的左、右焦点，
I 为12PF F ∆的内心，若2
12
1
F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λ
成立，则λ的值为
A ．
58
B ．
45
C ．
43
D ．
34
12．已知函数32
21,0()31,()468,0x x f x x x g x x
x x x ⎧+>⎪=-+=⎨⎪---≤⎩
，关于方程[()]0g f x a -= （a 为正实数）的根的叙述有下列四个命题
①存在实数a ，使得方程恰有3个不同的实根； ②存在实数a ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数a ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数a ，使得方程恰有6个不同的实根； 其中真命题的个数是
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共有4个小题，每小题4分，共计16分.
13. 设12
32,2()((2))log (1) 2.
x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，
则的值为， 14. 当实数y x ,满足约束条件0
220x y x x y a ≥⎧⎪
≤⎨⎪++≤⎩
（a 为常数）时y
x z 3+=有最大值为12，则实数a 的值为 .
15. 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：
cm ），可得这个几何体的体积是 2
cm .
16. 过抛物线2
2y px =(0p >)的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线
准线的交点为B ，点A 在抛物线准线上的射影为C ，若AF FB =,12BA BC ⋅=，则p 的值为_____.
三、解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为a 、b 、c ，且4
1
cos =A . （Ⅰ）求A C
B 2cos 2
sin 2-+的值； （Ⅱ）若3=
a ，求bc 的最大值.
18．（本小题满分12分）
三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，
1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，又知11BA AC ⊥.
（I ）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （II ）求二面角1A A B C --的大小.
19．（本小题满分12分）
有六节电池，其中有2节没电，4节有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，
（Ⅰ）求“第二次测出的电池没电的情况下第三次测出的电池也没电”的概率。

（Ⅱ）所要测试的次数ξ为随机变量，求ξ的分布列和数学期望ξE . 20．（本小题满分12分）
已知函数2()ax
f x x e
-=，a R ∈.
（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的图像在1x =-处的切线方程； （Ⅱ）讨论()f x 的单调性. 21．（本小题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，122n n n a S +=-，*
n ∈N ．
D
1
B 1
A 1
C
B A
（Ⅰ）设2n
n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）若1
n n a a +≤，*n ∈N ，求a 的取值范围．
22. （本小题满分14分）
已知椭圆E ：12222=+b
y a x )0(>>b a 的左、右焦点分别为12F F 、，离心率e 2=，
点(0,1)D 在且椭圆E 上，
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设过点2F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆E 于A B 、两点，线段AB 的垂直平分
线
与x 轴交于点(,0)G t ，求点G 横坐标的取值范围.
（Ⅲ）试用表示GAB ∆的面积，并求GAB ∆面积的最大值
参考答案
13. 2 14.12- 15.4
3
. 16. 1 17． (Ⅰ)A C
B 2cos 2sin 2
-+ =)1cos 2()]cos(1[21
2--+-A C B -----------------------------------------2分
=)1cos 2()cos 1(21
2--+A A -----------------------------------------3分
=)181
()411(21--+
= 2
3
-----------------------------------------6分
(Ⅱ) ∵
4
1
cos 2222==-+A bc a c b ∴
222222
1
a bc a c
b b
c -≥-+=, -----------------------------------------8分
∴2
3
2a bc ≤ -----------------------------------------10分 又∵3=
a ∴.2≤bc
当且仅当 b =c =2时,bc =2,故bc 的最大值是2. -------------------12分 18． 解（I ）如图，设1(0)A D t =>，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥，
所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ， 以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系，
则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ，
()10,0,A t ，()10,2,C t ，
()10,3,AC t =，()12,1,BA t =--，()2,0,0CB =，由10AC CB ⋅=，知1A
C CB ⊥，
又11BA AC ⊥，1
BA CB B =
从而1AC ⊥平面1A BC ； -------------------5分
（II ）由1AC ⋅2
130BA t =-+=，得
t =. -------------------6分
设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z =，(1AA =，()2,2,0AB =，所以
10
220
n AA y n AB x y ⎧⋅=+=⎪⎨
⋅=+=⎪⎩，设1z =，则(
)
3,n =- ------------------7分
再设平面1A BC 的法向量为(),,m u v w
=，(10,CA =-，()2,0,0CB =，
所以130
20
m CA v m CB u
⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩，设1w =，则()
m =，------------------8分
故cos ,m n m n m n
⋅<>=
=⋅7
-
， -------------------10分
因为二面角1A A B C --为锐角，
所以可知二面角1A A B C --的大小为 arccos
7
-------------------12分 19．（本小题满分12分）
有六节电池，其中有2节没电，4节有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，
（Ⅰ）求“第二次测出的电池没电的情况下第三次测出的电池也没电”的概率。

（Ⅱ）所要测试的次数ξ为随机变量，求ξ的分布列和数学期望ξE 。

（Ⅰ）解法一：
设事件A=“第二次测出的电池没电”，B=“第三次测出的电池也没电”
则31
)(=A P ，15
1)(6
64422==A A A B A P -------------------2分 所以5
1
)()()|(==
A P
B A P A B P -----------------------------------------4分
解法二：设A=“第二次测出的电池没电的情况下第三次测出的电池也没电”，
则5
1
)(5
5124
422==A C A A A P -------------------4分 （Ⅱ）ξ的可能取值为2，3，4，5
151
)2(262
2===A A P ξ
152
)3(3
6
221412===A A C C P ξ 154
51151)4(4
6
332412464
4=+=+==A A C C A A P ξ
158
)5(5
6
44341256443412=+==A A C C A A C C P ξ -------------------8分 ∴ 分布列为
-------------------10分
15
64
1585154415231512=
⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE -------------------12分 20.（Ⅰ）因为2()x f x x e -=,22()2(2).x x x
f x xe x e x x e ---'=-=-
所以(1)f e -=，'(1)3f e -=- -------------------2分 从而()f x 的图像在1x =-处的切线方程为3(1)y e e x -=--，即34y ex e =-+.--4分
（Ⅱ）22()2(2).ax ax ax
f x xe ax e x ax e --'=-=-
①当a =0时，若x <0，则)(x f '<0，若x >0,则)(x f '>0. -------------------6分 所以当a =0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数. ②当220,20,0,a x ax x x a
>-<<>时由解得或 由2220,0.x ax x a
-><<
解得 所以当a >0时，函数f (x )在区间（－∞，0）内为减函数，在区间（0，a
2
）内为增函数，在区间（
a
2
，+∞）内为减函数. -------------------9分 ③当a <0时，由2x -ax 2<0，解得a
2
<x <0,
由2x -ax 2>0，解得x <a
2
或x >0.
所以，当a <0时，函数f (x )在区间（－∞，a 2）内为增函数，在区间（a
2
，0）内为减函
数，在区间（0，+∞）内为增函数. -------------------12分
21.解：（Ⅰ）依题意，1122n n n n n S S a S ++-==-，即132n
n n S S +=-，
由此得1
123(2)n n n n S S ++-=-．
即13n n b b += ------------------4分
因此，所求通项公式为
1112(2)3(2)3n n n n n b S S a --=-=-⋅=-⋅，*n ∈N ．① -------------------6分
（Ⅱ）由①知1(2)32n n
n S a -=-+，*n ∈N ，
于是，当2n ≥时，
1n n n a S S -=-121(2)32[(2)32]n n n n a a ---=-+--+=212(2)32n n a ---+
1n n a a +-1212(2)32[2(2)32]n n n n a a ---=-+--+214(2)32n n a --=-+
2212
43[(2)()]23
n n a --=⋅-+ -------------------8分
当2n ≥时，1n n a a +⇔≤212(2)()023n a --+≤2
12223n a -⎛⎫
⇔≤- ⎪
⎝⎭
3
2
a ⇔≤
-------------------10分
又1n =时，21a a ≤⇔22a a -≤2a ⇔≤ -------------------11分 所以∀*n ∈N ，a 的取值范围是3(,]2
-∞ -------------------12分
22.解：（Ⅰ）222
2
222
1,,2,c a b b e a a a a
-===∴==∴椭圆E 的方程为2
212
x y += -------------------4分 （Ⅱ）设直线AB 的方程为y=k(x-1)(k≠0),
代入2
2x +y 2
=1,整理得(1+2k 2)x 2-4k 2x+2k 2-2=0.
∵直线AB 过椭圆的右焦点2F , ∴方程有两个不等实根.
记A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 中点N(x 0,y 0),
则x 1+x 1=
,1
2422
+k k 2012002212(),(1),22121k k
x x x y k x k k =+==-=-++ -------------------6分
∴
AB 垂直平分线NG 的方程为).(1
00x x k
y y --
=- 令y =0，得
222002222211
.212121242k k k t x ky k k k k =+=-==-++++ -------------------8分
∵10,0.2k t ≠∴<<
∴的取值范围为1
(0,)2
. -------------------10分
（Ⅲ）21221211
||||||22
GAB S F G y y F G k x x ∆=⋅⋅-=⋅-.
而12x x -== 10,2t <<由22
2k t k =+，可得212t k t =-,21112t k t -+=-,21
2112k t
+=-．
所以122x x t -=- 又21F G t =-，
所以1(122GAB S t t ∆=
--=（102
t <<）. -------------------12分
设3
()(1)f t t t =-，则2
'()(1)(14)f t t t =--．
可知()f t 在区间)41
,0(单调递增，在区间)2
1,41(单调递减． 所以，当14t =
时，()f t 有最大值64
27)41(=f ． 所以，当1
4
t =
时，△GAB 的面积有最大值863．-------------------14分
解法二：（Ⅱ）设直线AB 的方程为1x my =+，
由22
1,
1,2
x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(2)210m y my ++-=．
记A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB 中点N(x 0,y 0), 则12222m y y m -+=+，12
21
2
y y m =-+． 可得1202
22
y y m
y m +-=
=+
0022
12
x my m =+=+． -------------------6分
∴
AB 垂直平分线NG 的方程为00().y y m x x -=--
令y =0，得
00222211.222
y t x m m m m =+
=-=+++ -------------------8分 ∵1
0,0.2m m ≠∴<<
∴的取值范围为1
(0,)2。

-------------------10分
（Ⅲ）2121
2
GAB S F G y y ∆=⋅⋅-
而12y y -== 由2
12t m =
+，可得2
12m t
+=．
所以12y y -=
=． 又21F G t =-，
所以MPQ S ∆=
所以△MPQ
（102
t <<）．-------------------12分 下同解法一： 设3
()(1)f t t t =-， 则2'()(1)(14)f t t t =--．
可知()f t 在区间)41,0(单调递增，在区间)2
1,41(单调递减． 所以，当14t =
时，()f t 有最大值64
27)41(=f ． 所以，当1
4
t =时，△GAB 的面积有最大值863．-------------------14分。