2018年高三最新 北京市宣武区2018学年度第二学期第一

北京市宣武区2018－2018学年度第一学期期末质量检测
高三数学（理工农医类）
第I卷（选择题共40分）
参考公式：
三角函数的积化和差公式：
正棱台、圆台的侧面积公式：
其中c'、c分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长
球体的体积公式：
其中R表示球的半径
一. 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合，则等于（）
A. B.
C. D.
（2）当且时，在下面所给的四个图中，表示函数和的图像正确的是（）
A. 仅①
B. 仅②
C. ①与④
D. ②与③
（3）给定函数的性质：①函数的最小正周期为；②函数图像关于直线对称，则下列四个函数中，同时具有性质①、②的函数是（）
A. B.
C. D.
（4）已知是直线，α、β是平面，给出下列命题：
①若⊥m，⊥n，，则⊥α
②若∥α，则平行于α内所有直线
③若，且⊥m，则α⊥β
④若，且⊥α，则α⊥β
⑤若，且α∥β，则m∥
其中命题正确的是（）
A. ①和④
B. ①和②
C. ①、③和⑤
D. ③、④和⑤
（5）若，则是的（）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
（6）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C：（α为参数）的极坐标方程是（）
A. B.
C. D.
（7）在复平面内，由复数所对应的点构成的三角形的最大内角等于（）
A. B.
C. D.
（8）发行体育奖券，号码从000001－999999，购买时揭号对奖。

若规定：从个位数算起，奇数位为不同的奇数，偶数位为偶数的号为中奖号码，则中奖面约为（）
A. 1.56%
B. 1.5%
C. 0.75%
D. 0.6%
第II卷（非选择题共110分）
二. 填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

（9）函数的反函数____________，不等式的解集是____________。

（10）中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线和直线垂直，则这条渐近线的方程是____________________；又若双曲线过点，则此双曲线的方程是____________________。

（11）等比数列中，，则公比q＝____________；若，则____________。

（12）圆锥与圆柱的底面半径都是r，高都是h，且它们的侧面积相等，则r：h＝________；圆锥侧面展开图扇形圆心角为____________弧度。

（13）设，常数，定义运算“*”为：（等号右边是通常的乘法运算）。

如果在平面直角坐标系中，动点P的坐标（x，y）满足关系式，则动点P的轨迹方程为________________________。

若过上述轨迹焦点的一条弦为AB，AB中点M的横坐标为，则此弦AB的长为______________。

（14）定义在R上的函数满足，则函数是____________函数（填“奇”或“偶”或“非奇非偶”）。

又有以下四个命题：
①函数图像的对称轴是直线；
②函数图像的对称中心为（1，0）；
③若对［0，1］上的任意的，当，都有，则；
④若当时，，则。

其中正确命题的序号是__________________（把你认为正确命题的序号都填上）。

三. 解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（15）本小题满分13分
已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x轴的正半轴上，终边经过点。

又知角β满足关系式。

求：
（I）的值；
（II）的值。

（16）本小题满分13分
已知函数满足关系式：（，且）
（I）求函数的表达式及其定义域；
（II）讨论函数的奇偶性；
（III）证明：当时，函数在上为减函数。

（17）本小题满分13分
如图，在三棱柱中，已知ABCD是边长为1的正方形，为矩形，且平面⊥平面ABCD。

（I）求证：平面⊥面；
（II）求点到平面的距离；
（III）试问：当的长度为多少时，二面角的大小为60°？并说明理由。

（18）本小题满分13分
某市开发区一饮料厂生产某种饮料，年固定投入为3万元，每生产1万件此种饮料另需投入32万元，一年预计生产P（万件）。

要想使P（万件）饮料全部在一年内销售完，必须投入适当的广告费，销售科预计，一年内的销售量P（万件）与广告费x（万元）之间的函数关系为，且每件售价必须定为年平均每件成本（不含广告费）的150%与年平均每件所占广告费的50%之和。

（I）设年总利润为y（万元），求的表达式；
（II）年广告费投入多少万元时，企业获得年总利润最大？
（19）本小题满分14分
已知曲线M由所有满足方程的点所组成，其中c为正常数。

（I）判断曲线M的形状，并简单说明理由；
（II）若直线交曲线M于不同的两点P、Q，线段PQ的中点为R，点R的横坐标为，求曲线M的方程；
（III）对于（II）中所求的曲线M，过点A（-2，0）的直线交曲线M于B、C两点，交直线于点D，点A、D分的比分别为，试问是否为定值？若是，求出此值；若不是，说明理由。

（20）本小题满分14分
在直角坐标平面上有一点列…，对每一个正整数n，点位于函数的图像上，且的纵坐标构成以为首项，为公差的等差数列。

（I）用含n的式子表示点的坐标；
（II）设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于x轴，第n条抛物线的顶点为，且通过点。

记过点且与抛物线只有一个公共点的直线斜率为，求。

（III）设集合，且等差数列中的任一项，其中是中最大数，，求数列的通项公式。

【试题答案】
一. 选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分40分。

（1）B （2）C （3）D （4）A
（5）B （6）C （7）A （8）C
二. 填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分30分。

（9）（3分）；（2分）
（10）（3分）；（2分）
（11）（3分）；（2分）
（12）（3分）；（2分）
（13）（2分）；（3分）
（14）偶（2分）；①，③，④（3分）
三. 解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（15）本小题主要考查任意角三角函数定义、两角和与差的三角函数公式、二倍角的三角函数公式以及诱导公式的应用；考查运算能力。

满分13分。

解：
………………3分
（1）
…………8分
（2）
又
………………13分
（16）本小题主要考查函数的概念、函数的奇偶性及单调性等基础知识；考查推理论证的能力。

满分13分。

解：（I）由（，且）得：
（，且）………………2分
又由，得：
∴函数的定义域为………………4分
（II）函数的定义域关于原点对称
又
∴函数为偶函数……………………7分
（III）当时，
设，任取，不妨设
则
即………………11分
，即
∴在上为减函数……………………13分
（17）本小题主要考查直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质与判定定理，点到平面的距离的概念、二面角的概念；考查空间想象能力以及推理论证和探究问题的能力。

满分13分。

（I）证明：ABCD是正方形
∴CD⊥DA，BA∥CD
又为矩形
∴CD⊥平面
又平面
∴平面平面……………………4分
（II）解：方法一：平面AA'B'B⊥平面ABCD
平面AA'B'B平面ABCD＝AB，DA⊥AB
∴DA⊥平面AA'B'B
连结A'B
设A'到平面B'BD的距离为d
则由得：
即
即点A'到平面B'BD的距离为………………8分
方法二：∵AA'∥BB'，平面B'BD，平面B'BD
∴AA'∥平面B'BD
∴A'到面B'BD的距离等于A到平面B'BD的距离
连结AC，交BD于O
∵AC⊥BD，AC⊥BB'
∴AC⊥平面B'BD
∴AO为A到平面B'BD的距离
又
∴A'到平面B'BD的距离为………………8分
（III）解：在平面B'BD中，过O作OE⊥B'D于E，连CE
由（II）解方法二知AC⊥平面B'BD，∴CE⊥B'D
∴∠CEO为二面角C－B'D－B的平面角
设
中，当时，
又
解得：
即时，二面角的大小为为60°………………13分
（18）本小题主要考查建立函数关系式及利用平均值不等式求函数最值等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力。

满分13分。

解：（I）由题意，P万件的成本与广告费共万元，销售总收入为
……………………4分
又
…………………………7分
（II）
………………11分
当且仅当，即时上式取等号。

故年广告费投入7万元时，企业获得年总利润最大。

………………13分
（19）本小题主要考查直线、圆锥曲线的方程与性质及直线与圆锥曲线的位置关系；考查运算能力、逻辑推理能力及探究问题的能力。

满分14分。

解：（I）
∴当即时，曲线M为直线
当即时，动点（x，y）到定点与到定直线距离之比为大于1的常数，故曲线M为双曲线
当即时，动点（x，y）到定点与到定直线的距离之比为小于1的正常数，故曲线M为椭圆……………………4分
（II）由
把<2>代入<1>消去y，得：
化简并整理，得：
<3>的判别式时，
设直线与曲线M的交点中点
则
解得满足（*）式。

将代入<1>得：
化简，整理得：
∴曲线M的方程为………………………………9分
（III）设过的直线方程为：（显然k存在，否则与直线无交点）
由
把<4>代入<5>消去y，并化简得：
显然在椭圆内，∴与椭圆有两交点，设交点
则
∵A、D分的比为
分子
，故为定值0……………………14分
（20）本小题主要考查集合、数列、极限、不等式等基础知识，考查直线、抛物线方程、性质及其位置关系；考查分析、解决综合问题的能力。

满分14分。

解：（I）
∵点在直线上
……………………4分
（II）设的方程为
即
把代入<1>式，得：
的方程为
过点且斜率为的直线的方程为：
把<3>代入<2>，消去y并整理，得：
∵与只有一个公共点
，即
……………………9分
（III）
，T中的最大数为
设的公差为d，则
由此得：
故………………14分。