浙江省舟山市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题含解析

浙江省舟山市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为(mod )N n m ≡，例如102(mod 4)≡.如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的i 等于( )
A ．4
B ．8
C ．16
D ．32
【答案】C 【解析】
初如值n=11,i=1,
i=2,n=13,不满足模3余2.
i=4,n=17, 满足模3余2, 不满足模5余1. i=8,n=25, 不满足模3余2,
i=16,n=41, 满足模3余2, 满足模5余1. 输出i=16.选C ．
2．已知集合{}A x x a =<，{}12B x x =<<，且(
)A B =R
R ，则实数a 的取值范围为（ ）．
A ．{}
2a a ≤ B ．{
}
1a a < C ．{}2a a ≥ D ．{}
2a a >
【答案】C 【解析】 【分析】 由已知求得{}12R
B x x x =≤≥或，再由(
)R
A
B R =，即可求得a 的范围，得到答案．
【详解】
由题意，集合{}
A x x a =<，{
}
12B x x =<<，可得
{}12R
B x x x =≤≥或，
又由(
)R
A
B R =，所以2a ≥．
故选C ． 【点睛】
本题主要考查了集合的混合运算，以及利用集合的运算求解参数的范围，其中解答中熟记集合基本运算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
3．己知A(2,5,1),B(2,2,4),CB (1,2,3)--=，则向量AB 与AC 的夹角为. A ．30 B ．60
C ．120
D ．150.
【答案】B 【解析】 【分析】
将数量积公式进行转化，可计算cos ,AB AC <>，从而可求,AB AC <>. 【详解】
因为()2,2,4B -、()1,2,3CB =，所以()1,4,1C -，则()0,3,3AB =、()1,1,0AC =-，所以
1
cos ,2
3AB AC AB AC AB AC
⋅<>=
=
=，所以,60AB AC <>=︒，
故选：B. 【点睛】
本题考查空间向量的夹角计算，难度较易.无论是平面还是空间向量的夹角计算，都可以借助数量积公式，对其进行变形，先求夹角余弦值，再求夹角. 4．下列关于残差图的描述错误的是（ ） A ．残差图的横坐标可以是编号
B ．残差图的横坐标可以是解释变量和预报变量
C ．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小
D ．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小 【答案】C
【解析】分析：根据残差图的定义和图象即可得到结论．
详解：A 残差图的横坐标可以是编号、解释变量和预报变量，故AB 正确；
可用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高． 则对应相关指数越大，故选项D 正确，C 错误. 故选：C ．
点睛：本题主要考查残差图的理解，比较基础．
5．已知函数x y me =的图象与直线2y x m =+有两个交点，则m 的取值范围是（ ） A ．()0,∞+ B ．(),0-∞ C ．()0,1
D ．1(0,)e
【答案】A 【解析】 【分析】
两个函数图象的交点个数问题，转化为方程有两个不同的根，再转化为函数零点问题，设出函数，求单调区间，分类讨论，求出符合题意的范围即可． 【详解】
解：函数x
y me =的图象与直线2y x m =+有两个交点可转化为函数()e 2x
f x m x m =--有两个零点，导函数为()e 1x
f x m '=-，
当0m ≤时，()0f x '<恒成立，函数()f x 在R 上单调递减，不可能有两个零点； 当0m >时，令()0f x '=，可得ln x m =-，
函数在(),ln m -∞-上单调递减，在,)ln (m -+∞上单调递增， 所以()f x 的最小值为()ln 1ln 2f m m m -=+-. 令()()1ln 20g m m m m =+->， 则1()2m
g m =
-'，所以()g m 在1
(0,)2上单调递增，
在1(,)2
+∞上单调递减.所以max 1
()()ln 202
g m g ==-<. 所以()f x 的最小值()ln 0f m -≤，则m 的取值范围是(0,)+∞. 故选：A 【点睛】
本题考查函数零点问题，利用方程思想转化与导数求解是解决本题的关键，属于中档偏难题． 6．4名同学分别从6所大学中选择一所参观，则不同选法有（ ） A ．64种 B ．46种
C ．4
6A 种
D ．46C 种
【答案】B 【解析】 【分析】
每名同学从6个大学点中选择一个参观，每个同学都有6种选择，根据乘法原理，计算即可得答案． 【详解】
因为每名同学都有6种选择，相互不影响，
所以有4
66666
⨯⨯⨯=种选法．
故选：B.
【点睛】
本题考查分步计数原理的运用，注意学生选择的景区可以重复．属于基础题.
7．从图示中的长方形区域内任取一点M，则点M取自图中阴影部分的概率为( )
A．
3
4
B．
3
3
C．1
3
D．
2
5
【答案】C
【解析】
【分析】
先利用定积分公式计算出阴影部分区域的面积，并计算出长方形区域的面积，然后利用几何概型的概率计算公式可得出答案．
【详解】
图中阴影部分的面积为1
231
3|1
x dx x
==
⎰，长方形区域的面积为1×3＝3，
因此，点M取自图中阴影部分的概率为1
3
．
故选C．
【点睛】
本题考查定积分的几何意义，关键是找出被积函数与被积区间，属于基础题．
8．从不同号码的双鞋中任取只，其中恰好有双的取法种数为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
此题考查的是排列组合
思路：先从五双鞋中选出一双，有种。

再从剩余的四双中选两只但是不能为一双，先从四双中选两双有
中，再从两双中选不同的两只有4种。

答案 A
点评：选的时候一定注意不要重复和遗漏。

9．设集合A={x|x 2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A ∩B= A ．(-∞，1) B ．(-2，1) C ．(-3，-1) D ．(3，+∞)
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出集合A ，再求出交集． 【详解】
由题意得，{}
{}
23,1A x x x B x x ==<或，则{}
1A B x x ⋂=<．故选A ． 【点睛】
本题考点为集合的运算，为基础题目． 10．已知离散型随机变量X 的分布列为
X
1
2
3
P
827
49
29
127
则X 的数学期望()E X 为（ ） A ．
23
B ．1
C ．
32
D ．2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据数学期望公式可计算出()E X 的值. 【详解】
由题意可得()842101231279927
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，故选B. 【点睛】
本题考查离散型随机变量数学期望的计算，意在考查对数学期望公式的理解和应用，考查计算能力，属于基础题.
11．下列四个命题中，真命题的个数是（ ）
①命题“若ln 1x x +>，则1x >”；
②命题“p 且q 为真，则,p q 有且只有一个为真命题”； ③命题“所有幂函数()a
f x x =的图象经过点()1,1”；
④命题“已知22
,,4a b R a b ∈+≥是2a b +≥的充分不必要条件”.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C 【解析】 【分析】
①令()ln f x x x =+，研究其单调性判断.②根据“且”构成的复合命题定义判断.③根据幂函数()a
f x x =的图象判断.④由()
2
22222a b a b a b a b +=++≥+，判断充分性，取特殊值1a b ==判断必要性.
【详解】
①令()ln f x x x =+，()1
10f x x
=+
>'，所以()f x 在{}1,+∞上递增 所以()()1f x f >，所以1x >，故正确. ②若p 且q 为真，则,p q 都为真命题，故错误.
③因为所有幂函数()a
f x x =的图象经过点()1,1，故正确.
④因为()
2
222224a b
a b a b a b +=++≥+≥，所以2a b +≥，故充分性成立，当1a b ==时，推
不出224a b +≥，所以不必要，故正确. 故选：C 【点睛】
本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
12．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形（每次旋转90°仍为L 形的图案），那么在56⨯个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形需案的个数是（）
A ．36
B ．64
C ．80
D ．96
【答案】C 【解析】 【分析】
把问题分割成每一个“田”字里，求解. 【详解】
每一个“田”字里有4个“L ”形，如图
因为56⨯的方格纸内共有4520⨯=个“田”字，所以共有20480⨯=个“L ”形.. 【点睛】
本题考查排列组合问题，关键在于把“要做什么”转化成“能做什么”，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题
13．从2，4，8中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成_______个没有重复数字的四位数.（用数字作答） 【答案】216 【解析】 【分析】
先选后排，由分步计数原理可求得方法数。

【详解】
从2，4，8中任取2个数字共有方法数2
3C 种，从1，3，5中任取2个数字共有方法数2
3C 种，排成四位数
共有4
4A 种，由分步计数原理方法数为224334216N C C A ==。

填216.
【点睛】
利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏，本题是典型的先选后排分步计数原理题型。

14．执行如图所示的伪代码,则输出的S 的值是_______.
【答案】110 【解析】 【分析】
分析程序中各变量、各语句的作用，再根据顺序，可知：该程序的作用是累加并输出24620
S =++++的值，利用等差数列的求和公式计算即可得解. 【详解】
分析程序中各变量、各语句的作用，根据顺序，可知： 该程序的作用是累加并输出满足条件24620S =++++的值，
由于10(220)
246201102
S +=+++
+=
=， 故输出的S 的值为：110， 故答案是：110. 【点睛】
该题考查的用伪代码表示的循环结构的程序的相关计算，考查学生的运算求解能力，属于简单题目. 15．已知5(1)(1)a
x x
++的展开式中2x 的系数为5，则a =__________． 【答案】12
- 【解析】
分析：展开式中2x 的系数为前一项中常数项与后一项x 的二次项乘积，加上第一项1x -的系数与后一项3x 的系数乘积的和，由此列方程求得a 的值.
详解：()()
523451111510105a a x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
++=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 其展开式中含2x 项的系数为10105a +=， 解得12
a =-
，故答案为12-.
点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公
式1C r n r r
r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系
数和；（3）二项展开式定理的应用. 16．求值：21
1222232121222n n n n n C C ------⋅+⋅222221
21(1)2(1)
n n n n C ----+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⋅+-=__________． 【答案】1 【解析】
分析：观察通项展开式中的k
n k
k n C a b -中b 的次数与k n C 中的k 一致。

详解：通项展开式中2
23212
n n C --⋅的1,a 2b =-=，故
()()
22
21
21122223
22
21212121222
121(21)n n n n n n n n n n C C C -----------⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⋅+-=-
=1
点睛：合并二项式的展开式，不要纠结整体的性质，抓住具体的某一项中的k
n k
k n C a b -中b 的次数与k n C 中
的k 一致，有负号时注意在a 上还是在b 上。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知椭圆E :22221(0)x y a b a b +=>>
的离心率e =A 和右顶点B 的直线与原
点O
， （1）求椭圆E 的方程；
（2）是否存在直线l 经过椭圆左焦点与椭圆E 交于M ,N 两点，使得以线段MN 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在,求出直线l 方程；若不存在,请说明理由.
【答案】（1）2
214
x y +=；
（2
）20x -+=
，或20x +-=. 【解析】
试题分析：（1）由题意，根据离心率定义得到a 与c 的关系式，再由点,A B 求出直线AB 的方程，根据点到直线距离公式，得到a 与b 的关系式，再结合222a b c =+，从而得出椭圆方程；（2）根据题意，可将直线l 斜率存在与否进行分类讨论，由“线段MN 为直径”，得0OM ON ⋅=，再利用向量数量积的坐标运算，从而解决问题. 试题解析：（1）
由已知得，c e a =
=因为过椭圆的上顶点A 和右顶点B
，所以
5
=
，解得2,1,a b c === 故所求椭圆E 的方程:2
214
x y +=
（2）椭圆E
左焦点()
，
①当直线l 斜率不存在时，直线l 与椭圆E
交于11,22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭两点，显然不存在满足条件的直
线.………6分
②当直线l 斜率存在时，设直线:l
y kx =+
联立2214
y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消y 得，(
)2222
141240k x x k +++-=
由于直线l 经过椭圆E 左焦点，所以直线l 必定与椭圆E 有两个交点，0∴∆>恒成立
设()()1122,,,M x y N x y
则2
122
14x x k
+=-+，212212414k x x k -=+ 若以MN 为直径的圆过O 点，则0OM ON ⋅=，即12120x x y y += (*)
而(
)(
)
()222
12121212
3y y kx kx
k x x x x k ==++，代入(*)式得， (
)()2
2212
12130k x x
x x k +++=
即(
)
22
22
212413014k k
k k -+⋅=+，解得2411k =，
即11k =
或11
k =-．
所以存在11k =
或11
k =-使得以线段MN 为直径的圆过原点O ．
故所求的直线方程为20x +=
，或20x +-=. 18．已知函数2
1()ln ()2
f x x x mx x m R =-
-∈. （1）若函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，求实数m 的取值范围；
（2）若函数()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：12ln ln 2x x +>. 【答案】 (1)1
[,)e
+∞;(2)见解析. 【解析】
分析：（1）由题意得出'()ln 0f x x mx =-≤在定义域(0,)+∞上恒成立，即max ln ()x
m x
≥， 设ln ()x
h x x =
，则2
1ln '()x h x x -=，由此利用导数求得函数单调性与最值，即可求解； （2）由（1）知'()ln f x x mx =-，由函数()f x 在(0,)+∞上存在两个极值点1x ，2x ，推导出
∴12ln ln x x +11
2212
(
1)ln 1x x
x x x x +⋅=-，设12(0,1)x t x =∈，则12
(1)ln ln ln 1t t x x t +⋅+=-，要证12ln ln 2x x +>，只需证2(1)
ln 01t t t --<+，构造函数2(1)()ln 1
t g t t t -=-+，利用导数求得函数的单调性与最值，即可作出求解.
详解：（1）∵()()2
1ln 2
f x x x mx x m R =-
-∈在()0,+∞上是减函数， ∴()'ln 0f x x mx =-≤在定义域()0,+∞上恒成立，
∴max
ln x m x ⎛⎫
≥
⎪⎝⎭， 设()ln x h x x =
，则()2
1ln 'x
h x x -=， 由()'0h x >，得()0,x e ∈，由()'0h x <，得x e >， ∴函数()h x 在()0,e 上递增，在(),e +∞上递减， ∴()()max 1h x h e e ==
，∴1
m e ≥. 故实数m 的取值范围是1,e
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
. 证明：（2）由（1）知()'ln f x x mx =-，
∵函数()f x 在()0,+∞上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，
∴112
200lnx mx lnx mx -=⎧⎨-=⎩，
则12121
212ln ln ln ln x x m x x x x m x x +⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪-⎩
，∴12121212ln ln ln ln x x x x x x x x +-=+-，
∴12112122ln ln ln x x x x x x x x ++=⋅-11
221
2
1ln 1x x x x x x ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭=
-， 设()120,1x t x =
∈，则()121ln ln ln 1
t t x x t +⋅+=-， 要证12ln ln 2x x +>，
只需证
()1ln 21
t t t +⋅>-，只需证()21ln 1
t t t -<+，只需证()21ln 01
t t t --<+，
构造函数()()
21ln 1t g t t t -=-+，则()()()()
2
22
114
'011t g t t t t t -=-=>++， ∴()()21ln 1
t g t t t -=-
+在()0,1t ∈上递增，
∴()()10g t g <=，即()()21ln 01
t g t t t -=-<+，
∴12ln ln 2x x +>.
点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用. 19．如图，AO 为圆锥的高，B 、C 为圆锥底面圆周上两个点，6
OAB π
∠=，2
BOC π
∠=
， 4AB =，D
是AB 的中点．
（1）求该圆锥的全面积；
（2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）
【答案】（1）12π（2）15
【解析】
分析：（1）根据6
OAB π
∠=
，2
BOC π
∠=
， 4AB =，可求得圆锥的母线长以及圆锥的底面半径，利
用圆锥侧面积公式可得结果；（2）过D 作//DM AO 交BO 于M ，连CM 则CDM ∠为异面直线AO 与
CD 所成角，求出1OM = 5CM =，CDM ∆中，515
tan 33
CDM ∠=
=,从而可得结果.
详解：（1）Rt AOB ∆中，2OB = 即圆锥底面半径为2
圆锥的侧面积8S rl 侧ππ==
故圆锥的全面积=+8+412S S S 全侧底πππ== （2）过D 作//DM AO 交BO 于M ，连CM 则CDM ∠为异面直线AO 与CD 所成角
AO OBC 平面⊥ DM OBC ∴⊥平面 DM MC ∴⊥
在Rt AOB ∆中，3AO = 3DM ∴=D 是AB 的中点 M ∴是OB 的中点 1OM ∴= 5CM ∴=
在Rt CDM ∆中，515
tan 33
CDM ∠=
=， 15arctan
CDM ∴∠=，即异面直线AO 与CD 所成角的大小为15
arctan 点睛：求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.
20．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下： 性别
是否需要志愿者
男
女
需要 40 30 不需要
160
270 （1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
（2）请根据上面的数据分析该地区的老年人需要志愿者提供帮助与性别有关吗 【答案】（1）0014；（2）有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. 【解析】
试题分析：（1）由列联表可知调查的500位老年人中有4030=70+位需要志愿者提供帮助，两个数据求比值得到该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估算值；（2）根据列联表所给的数据，代入随机变量的观测值公式，得到观测值的结果，把观测值的结果与临界值进行比较，看出有多大把握说该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. 试题解析：
解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估算值为
（2）根据表中数据计算得：。

由于9.967>6.635,所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。

考点：独立性检验.
21．已知直线l 经过点P （1，1），倾斜角6
π
α=．
（1）写出直线l 的参数方程；
（2）设l 与圆22
4x y += 相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．
【答案】（1）3
1,{(11;
2
x t t y t =+
=+是参数）（2）2 【解析】 【分析】 【详解】
（1）直线的参数方程为1cos
6{1sin 6x t y t π
π=+=+，即31{
1
12
x t
y t
=+
=+(t 为参数)
（2）把直线3
1{112
x t y t
=+
=+代入
得22231
(1)(1)4,(31)2022
t t t +
++=+-= 122t t =-，则点P 到,A B 两点的距离之积为2
22．已知抛物线24x y =的焦点为,F ,A B 抛物线上的两动点，且AF FB λ=0λ（＞），过,A B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M . （1）证明：•FM AB 为定值； （2）设AMB 的面积为S ，写出()S f
λ＝的表达式，并求S 的最小值．
【答案】（Ⅰ）定值为0；（2）S=3
1(2λλ
，S 取得最小值1． 【解析】
分析：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x o ，y o ），根据抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，设直线方程与抛物线方程联立消去y ，根据判别式大于0求得12x x +和12x x ，根据曲线1y=x 2上任意一点斜率为y′=
2
x
，可得切线AM 和BM 的方程，联立方程求得交点坐标，求得FM 和AB ，进而可求得FM AB ⋅的结果为0，进而判断出AB ⊥FM ．
（2）利用（1）的结论，根据12x x +的关系式求得k 和λ的关系式，进而求得弦长AB ，可表示出△ABM 面积．最后根据均值不等式求得S 的范围，得到最小值．
详解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），M （x o ，y o ），焦点F （0，1），准线方程为y=﹣1， 显然AB 斜率存在且过F （0，1）
设其直线方程为y=kx +1，联立1y=x 2消去y 得：x 2﹣1kx ﹣1=0， 判别式△=16（k 2+1）＞0，x 1+x 2=1k ，x 1x 2=﹣1. 于是曲线1y=x 2上任意一点斜率为y′=
2x
， 则易得切线AM ，BM 方程分别为y=（12）x 1（x ﹣x 1）+y 1，y=（1
2
）x 2（x ﹣x 2）+y 2，其中1y 1=x 12，
1y 2=x 22，
联立方程易解得交点M 坐标，x o =12
2
x x +=2k ，y o =124
x x =﹣1，即M （122x x
+，﹣1）,
从而FM =（
12
2
x x +，﹣2），AB （x 2﹣x 1，y 2﹣y 1） FM AB ⋅=
12（x 1+x 2）（x 2﹣x 1）﹣2（y 2﹣y 1）=1
2（x 22﹣x 12）﹣2[14
（x 22﹣x 12）]=0，（定值）命题得证．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S=1
2
|AB ||FM |． ∵(0)AF FB λλ=>，
∴（﹣x 1，1﹣y 1）=λ（x 2，y 2﹣1），即12
121(1)
x x y y λλ-=⎧⎨-=-⎩，
而1y 1=x 12，1y 2=x 22， 则x 22=
4
λ
，x 12=1λ，
|FM |
=== 因为|AF |、|BF |分别等于A 、B 到抛物线准线y=﹣1的距离，
所以|AB |=|AF |+|BF |=y 1+y 2+2=22
121144x x ++2=λ+1λ
+2=
2．
于是S=
1
2|AB ||FM |=312，
≥2知S ≥1，且当λ=1时，S 取得最小值1．
点睛：本题求S 的最值，运用了函数的方法，这种技巧在高中数学里是一种常用的技巧.所以本题
1
2，再求函数的定义域，再利用基本不等式求函数的最值.
先求出S=3。