幂函数的性质与图像(一)

课题：§4.1幂函数的图像与性质（一） 执教：秦玉华
班级：高一（2）班
时间：2010年12月7日 星期二 第八节 一、教学内容分析
幂函数是中学教材中的一个基本内容，即是对正比例函数、反比例函数、二次函数的系统总结，也是对这些函数的概况和一般化。

二、教学目标设计
1、理解幂函数的概念，能描绘常见幂函数的图像，掌握幂函数的基本性质；
2、通过课堂活动，获得幂函数性质的探究体验，获得幂函数图形特征与代数特征的依赖关系；
3、通过几个具体幂函数性质及图像的探究，体会研究函数的一般方法。

三、教学重点及难点
教学重点：幂函数的概念；幂函数的图像与性质。

教学难点：幂函数的代数特征与图像特征的依赖关系。

四、教学过程设计
（一）复习引入
给出12,,-===x y x y x y 三个具体函数。

问题：观察上面三个函数，指出它们的关系式有什么共同特征？ 【说明】：通过对已学过的幂函数关系式的共同特征的分析，归纳出幂函数的概念。

（二）探索研究 1、幂函数的概念
定义：函数k x y =（k 为常数，Q k ∈）叫做幂函数。

【注意】：（1）幂函数的底数是变量x ，系数是1；
（2）幂指数范围的讨论。

概念辨析：
解：幂函数为32
x y =，2
11x y =,431
x y =。

（2）已知函数()m x m y ⋅+=1为幂函数，求m 的值。

2、特殊、具体幂函数的研究
例1：研究函数2
1-
=x
y 的定义域、奇偶性和单调性，并作出其图像（教材
其中那些为幂函数？，有下列函数：,
,1,3,1,3,2)1(221
4
322
132x x y x y x y x
y y x y x y x +=======
第79页例1）。

解：设y＝f(x)＝
1
2
x－
(0，＋∞)
奇偶性：定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数。

单调性：设0＜x1＜x2，得0
，
即f(x1)＞f(x2) 所以，函数2
1
-
=x
y在(0，＋∞)单调递减。

作图：列表、描点、连线。

【注意】：把指数式化为根式，研究性质比较容易；
研究函数的一般方法：解析式→函数性质→图像。

例2：研究函数3
2
x
y=的定义域、奇偶性、单调性和最大或最小值，并作出其图像（教材第80页例2）。

解：（略）
3、引导学生探索一般幂函数的图像特征
观察函数y＝x、y＝1
x－、y＝x2、y＝
1
2
x－和y＝
2
3
x的图像，归纳幂函数图像特征。

（结合几何画板幂函数在第一象限的动态图像）
教师引导学生对观察的结果做出正确的判断，并进一步提炼或补充。

①它们的图像都经过点（1，1）；
②在第一象限都有图像，且当0
>
k，单调递增；当0
<
k，单调递减；
③由奇偶性得函数在其他象限的图像。

（三）反馈练习
练习：利用以上研究成果，请你作出y＝
5
3
x和y＝
2
3
x－的大致图像。

【说明】：不描点，学生根据函数的代数特征与图形特征的依赖关系作图像。

拓展思维：已知m∈Z，函数y＝2m8m
x－的图像关于原点对称，且与x轴、y 轴均无交点，则m的值可以是_________。

（四）课堂小结（略）
（五）作业
《练习册》P41习题4.1—A组-1、2、3（必做）；
P42习题4.1—B组-1、2（选做）。

五、教学反思。