二元二次方程题

二元二次方程题
一、二元二次方程的定义
1. 定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程。

其一般形式为ax^2+bxy + cy^2+dx+ey+f = 0（a、b、c、d、e、f都是常数，且a、b、c中至少有一个不为零；当b = 0时，ax^2+cy^2+dx + ey+f=0为二元二次方程的特殊形式）。

二、二元二次方程的例题与解析
例1：判断方程x^2+y - 2 = 0是否为二元二次方程。

解析：在方程x^2+y - 2=0中，含有两个未知数x和y，含有未知数的项x^2的最高次数是2，并且它是整式方程，所以它是二元二次方程。

例2：对于方程2x^2-xy - 3y^2=0，求当x = 1时y的值。

解析：
将x = 1代入方程2x^2-xy - 3y^2=0，得到：
2×1^2-1× y-3y^2=0
即2 - y-3y^2=0
将方程变形为3y^2+y - 2=0
对于一元二次方程ay^2+by + c = 0（这里a = 3，b = 1，c=- 2），根据求根公式
y=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}
先计算判别式Δ=b^2-4ac=1^2-4×3×(-2)=1 + 24=25
则y=(-1±√(25))/(2×3)=(-1±5)/(6)
y_1=(-1 + 5)/(6)=(4)/(6)=(2)/(3)
y_2=(-1-5)/(6)=(-6)/(6)=- 1
例3：解方程组x^2+y^2=25 x + y = 7
解析：
由x + y=7可得y = 7 - x
将y = 7 - x代入x^2+y^2=25中，得到：
x^2+(7 - x)^2=25
展开得x^2+49-14x+x^2=25
整理得2x^2-14x + 49 - 25=0
即2x^2-14x+24 = 0
两边同时除以2得x^2-7x + 12=0
分解因式得(x - 3)(x - 4)=0
解得x_1=3，x_2=4
当x = 3时，y=7 - 3 = 4
当x = 4时，y=7 - 4 = 3
所以方程组的解为x = 3 y = 4和x = 4 y = 3。