第五章定积分及其应用(精)

n
注意 当 f ( i ) xi 的极限存在时，其极限 I 仅与被积函数 f (x) 及积分区间 [ a, b] 有关，如果既不
i1
改变被积函数 f (x) 也不改变积分区间 [a, b] ，不论把积分变量 x 改成其它任何字母，如 t 或 u ，此和的极
限都不会改变，即定积分的值不变．就是
b
f ( x)dx
就越高，若把区间 [a, b] 无限细分下去，即使每个小区间的长度都趋于零，这时所有窄矩形面积之和的极
限就可定义为曲边梯形的面积，这就给出了计算曲边梯形面积的思路，现详述如下：
（ 1）将区间 [ a, b] 划分为 n 个小区间，即在区间 [ a, b] 内任意插入 n 1 个分点：
a x0 x1 x2
记为 Ai (i 1,2, , n) ，在每个小区间 [ xi 1, xi ] 上任取一点 i ( xi 1 i xi ) ，用以 [ x i 1 , x i ] 为底、 f ( i )
为高的窄矩形近似代替第 i 个小曲边梯形 (i 1,2, , n) ，则 Ai f ( xi ) xi ， (i 1,2, , n) ．这样得到
b
方，按照定义， 这时定积分 f ( x)dx 的值应为负， 因此 a
表示上述曲边梯形面积的负值；
b
f ( x)dx
a
（ 3）若在区间 [ a, b] 上， f ( x) 既取得正值又取得负值时，对
应的曲边梯形的某些部分在 x 轴的上方，某些部分在 x 轴的下方，
这时定积分
b
f ( x)dx 表示由直线 x a 、 x b 、 x 轴和曲线
b
a
（ 1）当 a b 时， f ( x)dx 0 ；即 f ( x)dx 0 ．
a
a
b
（ 2）当 a b 时， f ( x)dx a
a
f ( x)dx ．
b
即当上下限相同时，定积分等于零；上下限互换时，定积分改变符号．
以下假定各性质所列出的定积分都是存在的． 性质１ 两个函数和或差的定积分等于两个函数定积分的和或差，即
1 (i 1,2, ,n) ；取 i 为小区间的右端点，即令 n
图 5-3
1,2, , n 1) ，这样每个小区 i xi (i 1,2, , n) ，于是有
和式
n
f ( i ) xi
i1
n
2 i
xi
i1
n
xi2 x i
i1
n
2
i1
i1 n
n
1 n3
n
i2
i1 ，
11
11
1
n3
n(n 6
1)(2n
1)
b
b
b
[ f (x) g ( x)] dx f (x)dx g( x)dx
a
a
a
证 由定积分的定义，有
b
[ f ( x) g(x)]dx
a
n
lim 0
[f( i)
i1
g ( i )] xi
n
lim 0
f ( i ) xi
i1
b
b
f (x)dx g( x)dx
a
a
该性质对任意有限个函数的和与差的情形都是成立的． 性质２ 被积函数的常数因子可提到积分号外面，即
b
b
kf ( x)dx k f ( x) dx （ k 为常数）．
a
a
读者可自己证明．
性质３（积分的可加性） 设 a、b、c 为任意的三个数，则函数 f (x) 在区间 [ a, b], [ a, c], [ c, b] 上的
定积分有如下关系：
b
f ( x)dx
a
c
b
f ( x)dx f ( x)dx ．
n
此时和式
f ( i) ti
i1
的极限便是所求路程 s 的精确值．即
n
s lim 0
v( i ) ti .
i1
上面的两个例子中，一个是几何问题，一个是物理问题，尽管问题的背景不同，所要解决的问题也不 相同，但是反映在数量上，都是要求某个整体的量，而计算这种量所遇到的困难和为克服困难采用的方法 都是类似的，都是先把整体问题通过“分割”化为局部问题，在局部上通过“以直代曲”或“以不变代变” 作近似代替，由此得到整体的一个近似值，再通过取极限，便得到所求的量．这个方法的过程我们可简单
si (i 1,2, , n) ．
（ 2）将物体在每个小区间上的运动看作是匀速的，在时间间隔
[ti 1 ,ti ] 上任取一个时刻
i (t i 1 i ti ) ，以 i 时刻的速度 v( i ) 来代替 [t i 1, t i ] 上各个时刻的速度，得到 [ti 1 ,t i ] 时间段上路程
si 的近似值，即
i1
b
v(t )dt ．
a
三、定积分的几何意义
（ 1）当 f (x)
曲边梯形的面积；
0 时，定积分
b
f (x)dx 表示由直线 x
a
a 、 x b 、 x 轴和曲线 y
f (x) 所围成的
（ 2）当 f (x) 0时，由直线 x a、x b 、 x 轴和曲线 y f ( x) 所围成的曲边梯形位于 x 轴的下
1 6n
2
n
当
0 时，有 n
，对上式右端取极限，根据定积分的定义，有
121
1 x 2 dx
0
n
lim
2 i
xi
0
i1
lim 1 1 1 2 1
n6
n
n
1． 3
四、定积分的性质
根据定积分的定义，
b
b
f (x)dx 只有当 a b时才有意义，当 a b 或 a b 时， f (x)dx 是没有意
a
a
义的，但为了运算的需要，我们对定积分作以下两点补充规定：
的 n 个小矩形面积之和显然是所求曲边梯形面积
A 的近似值，即
n
A
Ai
i1
f ( 1) x1 f ( 2 ) x2
f ( n ) xn
n
f ( i ) xi ．
i1
118
（ 3 ）记
max{ x1, x2 , , xn } ，则当
0 时，每个小区间的长度也趋于零．此时和式
n
f ( i ) x i 的极限便是所求曲边梯形面积的精确值．即
119
描述为“分割—代替—求和—取极限” ．采用这种方法解决问题时，最后都归结为对某一个函数
f ( x) 实施
相同结构的数学运算—和数
n
f ( i ) x i 的极限．事实上，在自然科学和工程技术中，还有许多类似问题
i1
的解决都要归结为计算这种特定和的极限，抛开问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质与特 性加以概括，抽象出其中的数学概念和思想，我们就得到了定积分的定义．
b
n
f ( x)dx I lim
a
0
f ( i ) xi
i1
（２）
其中 f ( x) 叫做被积函数， f (x)dx 叫做被积表达式， x 叫做积分变量， a 叫做积分下限， b 叫做积分上限，
n
[a,b] 叫做积分区间，和
f ( i ) xi 通常称为 f (x) 的积分和．
i1
如果函数 f (x) 在区间 [ a, b] 上的定积分存在，我们也称 f (x) 在 [a,b] 上可积．
i1
n
A lim 0
f ( i ) xi ．
i1
2．变速直线运动的路程
设物体作变速直线运动，已知其速度是时间 t 的连续函数，即 v v(t ) ，计算在时间间隔 [a , b] 内物体
所经过的路程 s．
因为物体作变速直线运动，速度 v(t ) 随时间 t 而不断变化，故不能用匀速直线运动公式：
s vt 来计
这 n 个小区间分别为
xn 1 xn b ，
其长度依次记为
[ x0 , x1 ], [ x1, x2 ], ,[ xn 1, xn ] ，
x1 x1 x0 , x 2 x 2 x1 , , xn x n x n 1 ． （ 2）过每个分点作垂直于 x 轴的直线段，把整个曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，小曲边梯形的面积
图 5-2
我们知道，矩形的高是不变的，它的面积很容易计算．而曲边梯形的高没有定义，因此它的面积我们
没有现成的计算方法．如果我们将 [a, b] 上任一点 x 处的函数值 f ( x) 看作为曲边梯形在 x 处的高，则曲边
梯形的高是变化的．但因 y f (x) 是 [ a, b] 区间上的连续函数，所以在一个相当小的区间上，
xi 的乘积
（ 1）
记 max{ x1 , x2 , , xn } ，如果不论对 [a, b] 进行怎样的分法， 也不论在小区间 [ xi 1, xi ] 上的点 i 怎
样的取法， 只要当
0 时，和（ 1）总趋于确定的极限 I ，这时我们称此极限为函数 f ( x) 在区间 [ a, b] 上
b
的定积分（简称积分） ，记作 f ( x)dx ，即 a
a t0 t1 t 2 这 n 1 个分点将区间 [a,b] 分成 n 个小区间
tn 1 tn b ，
它们的长度依次为
[t 0, t1 ], [ t1, t 2 ], , [t n 1 ,t n ] ，
t1 t1 t0, t2 t2 t1, , tn tn tn 1 ，
相应地，记在各段时间内物体经过的路程依次为
x1 x1 x0 , x 2 x 2 x1 , , xn x n x n 1 ． 在第 i 个小区间 [ xi 1 , xi ] 上任取一点 i (i 1,2, , n ) ，作函数值 f ( i ) 与小区间长度 f ( i ) xi (i 1,2, ,n) ，并作出和式
n
f ( i ) xi
i1
一、定积分问题举例 我们先从两个例子谈起． 1．曲边梯形的面积
设函数 y f ( x) 在区间 [a,b] 上非负且连续，由直线 x a 、 x b 、 x 轴和曲线 y f ( x) 及曲线 y f (x) 所围成的图形称为曲边梯形（图 5-1），其中曲线 y f ( x) 称为曲边．
图 5-1 下面我们讨论曲边梯形面积的求法．
利用定积分的定义，上面讨论的两个实际问题可分别表示如下：
曲边梯形的面积 A 是函数 f (x) 在区间 [ a, b] 上的定积分，即
n
A lim 0
f ( i ) xi
i1
b
f ( x)dx ．
a
变速直线运动的路程 s是速度 v(t) 在时间间隔 [ a,b] 上的定积分，即
n
s lim 0
v( i ) xi
第五章 定积分及其应用
定积分是积分学中另一个重要概念，是积分学的重要内容，定积分的概念及计算在自然科学和各种实 际问题中都有广泛的应用，本章通过两个典型的问题抽象出定积分的概念，然后讨论定积分的性质，揭示 定积分与不定积分之间的内在联系，最后简单介绍定积分在几何与力学等方面的应用．
第一节 定积分的概念与性质
算，然而物体运动的速度函数 v v(t) 是连续变化的，在很小的一段时间内，速度的变化很小，近似于等
速，在这一小段时间内，速度可以看作是常数，因此求在时间间隔
[ a, b] 上运动的距离也可用类似于计算
曲边梯形面积的方法来处理．
具体步骤如下：
（１）在时间间隔 [ a, b] 中任意插入 n 1 个分点
a
b
f (t)dt
a
b
f (u)du ．
a
这个结果也说成是定积分的值与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的符号无关．
下面我们给出两个函数 f (x) 在区间 [a,b] 上可积的充分条件．
120
定理１ 设 f (x) 在区间 [ a, b] 上连续，则 f (x) 在区间 [ a, b] 上可积． 定理２ 设 f (x) 在区间 [ a, b] 上有界，且只有有限个间断点，则 f ( x) 在区间 [a,b] 上可积．
f ( x) 的值
变化不大．因此，如果把区间 [ a ,b ] 划分为许多小区间，在每个小区间上用某一点
处的值 f ( ) 来定义同
一个小区间上的窄曲边梯形的高，那么每个窄曲边梯形就可近似地看成这样得到的窄矩形，我们就将所有
这些窄矩形面积之和作为曲边梯形面积的近似值（图
5-2 ）．直观上看，这样的区间越短，这种近似的程度
si v( i ) ti (i 1,2, ,n) ，
那么这 n 段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程
S 的近似值，即
s v( 1 ) t1 v( 2 ) t2
v( n ) tn
n
v( i ) ti ，
i1
（ 3）记 max{ t1 , t 2 , , t n} ，则当
0 时，每个小区间的长度也趋于零．
a
y f (x) 围成的曲边梯形各部分面积的代数和， 即曲边梯形位于 x
轴上方的面积减去位于 x 轴下方的面积（图 5-3）．
例１ 利用定义求定积分
1 x 2dx 的值．
0
解 为了便于计算，我们把区间 [0,1] 分成 n 等分，其分点为 xi i (i n
间 [ xi 1, xi ] 的长度 xi
二、 定积分的定义
定义 设函数 f (x) 在区间 [ a, b] 上有界，在 [a, b] 中任意插入 n 1个分点
把区间 [ a, b] 分成 n 个小区间
a x0 x1 x2
xn 1 xn b ，
各个小区间的长度依次为
[ x0 , x1], [ x1, x2 ], ,[ xn 1, xn ] ，