2005年高考数学-山东卷(理)

2005年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
理科数学（必修+选修II ）
第I 卷（共60分）
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+
如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=
一．选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项. （1）
()
()
2
2
1111i
i
i i -++
=+- （ ）
（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- （2）函数()10x
y x
-=
≠的反函数图像大致是
（ ） （
（3）已知函数sin cos 1212y x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=-
- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，则下列判断正确的是（ ） （A ）此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
（B ）此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫
⎪⎝⎭ （C ）此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
（D ）此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
（4）下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ） （A ）()sin f x x =（B ）()1f x x =-+（C ）()1()2x x f x a a -=
+（D ）2()ln 2x f x x
-=+
（5
）如果3n
x ⎛⎫ ⎝
的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31
x 的系数是（ ） （A ）7 （B ）7- （C ）21 （D ）21-
（6）函数2
1sin(),10,
(),0.
x x x f x e x π-⎧-<<⎪=⎨≥⎪⎩，若(
10()2,f f a +=则a 的所有可能值为（ ）
（A ）1 （B
） （C
）1, （D
） （7）已知向量,a b ，且2,56AB a b BC a b =+=-+ ，72CD a b =-
，则一定共线的三点
是（ ）
（ A ）A 、B 、D （B ）A 、B 、C （C ）B 、C 、D （D ）A 、C 、D
（8）设地球的半径为R ，若甲地位于北纬45︒东经120︒，乙地位于南纬75︒东经120︒，则甲、乙两地的球面距离为（ ）
（A
（B ）
6
R π
（C ）
56
R π （D ）23R π
（9）10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是（ ）
（A ）
310 （B ）112 （C ）12 （D ）11
12
（10）设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A B ⊂是()U C A B U ⋃=的（ ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）冲要条件（D ）既不充分也不必要条件
（11）01a <<，下列不等式一定成立的是（ ）
（A ）(1)(1)log (1)log (1)2a a a a +--++>（B ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--<+ （C ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +--++ （D ）(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+<(1)(1)log (1)log (1)a a a a +---+
（12）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2
2
14
y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为
1
2
的点P 的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
第II 卷（共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上.
（13）2222lim __________(1)
n n n
n C C n -→∞+=+. (14)设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两
点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率___________e =.
(15)设x 、y 满足约束条件5,3212,03,0 4.
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩则使得目标函数65z x y =+的最大的点(,)x y 是
________.
(16)已知m n 、是不同的直线，αβ、是不重合的平面，给出下列命题： ①若//,,,m n αβαβ⊂⊂则//m n
②若,,//,m n m αβ⊂则//αβ③若,,//m n m n αβ⊥⊥，则//αβ④,m n 是两条异面直线，若//,//,//,//m m n n αβαβ，则//αβ
上面的命题中，真命题的序号是______（写出所有真命题的序号）
三．解答题：本大题共6小题，共74分.解答写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题满分12分）
已知向量(cos ,sin )m θθ=
和)
()sin ,cos ,,2n θθθππ=
∈
，且5
m n += 求
cos 28θπ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值.
(18)(本小题满分12分)
袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为1
,7
现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数. （I ）求袋中所有的白球的个数； （II ）求随机变量ξ的概率分布； （III ）求甲取到白球的概率.
（19）（本小题满分12分）
已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<， （I ）求m 与n 的关系式； （II ）求()f x 的单调区间；
（III ）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.
(20)(本小题满分12分)
如图，已知长方体1111,ABCD A BC D -12,1
,AB AA == 直线BD 与平面11AAB B 所成的角为
30︒，AE 垂直BD 于 E ，F 为11A B 的中点.
（I ）求异面直线AE 与BF 所成的角；
（II ）求平面BDF 与平面1AA B 所成的二面角； （III ）求点A 到平面BDF 的距离. （21）（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈ （I ）证明数列{}1n a +是等比数列；
（II ）令212()n n f x a x a x a x =+++ ，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较
2(1)f '与22313n n -的大小.
(22)(本小题满分14分) 已知动圆过定点,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，且与直线2p x =-相切，其中0p >.
（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程；
（II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和
β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点
的坐标.
A
1
A B
D
1B F
1
C 1
D E
2005年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）
（试题参考答案）
理科数学（必修+选修II ）
一．选择题
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
D B
B
D
C
C
A
D
D
A
A
B
二．填空题 13．
3
2
14.
e = 15. ()2,3 16. ③④ 三.解答题
17.考查知识点：（三角和向量相结合）
解
:()
cos sin sin m n θθθθ+=-+
m n +=
由已知5m n += ,得7cos 425πθ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭又2cos 2cos ()1428πθπθ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭
216cos ()2825θπ+=
∴(),2θππ∈ ∴ 598288
πθππ
<+< ∴ cos 028θπ⎛⎫
+< ⎪⎝⎭
∴ 4cos 285θπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭
18.（考查知识点：概率及分布列）
解:(I)设袋中原有n 个白球,由题意知227
(1)
1(1)2767762
n n n C n n C --===
⨯⨯ 可得3n =或2n =-(舍去)即袋中原有3个白球.
(II)由题意,ξ的可能取值为1,2,3,4,5
3
(1);7
P ξ==
()432
2;767P ξ⨯===⨯
4326
(3);76535P ξ⨯⨯===⨯⨯
43233
(4);765435P ξ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯
432131
(5);7654335
P ξ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯
所以ξ的分布列为:
ξ
1 2 3 4 5
P
37 27
635 335 135
(III)因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5次取球,记”甲取到白球”为事件A ,则()()()22()13535
P A P P P ξξξ==+=+== 19.（考查知识点：函数结合导数）
解(I)2()36(1)f x mx m x n '=-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点,所以(1)0f '=,即
36(1)0m m n -++=，所以36n m =+
（II ）由（I ）知，2()36(1)36f x mx m x m '=-+++=23(1)1m x x m ⎡⎤⎛⎫--+
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
当0m <时，有2
11m
>+
，当x 变化时，()f x 与()f x '的变化如下表： x
2,1m ⎛
⎫-∞+ ⎪⎝
⎭
21m
+ 21,1m ⎛
⎫+
⎪⎝⎭ 1
()1,+∞
()f x '
0<
0 0>
0 0<
()f x
调调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
故有上表知，当0m <时，()f x 在2,1m ⎛
⎫
-∞+ ⎪⎝
⎭
单调递减，在2(1,1)m +单调递增，在(1,)+∞上单调递减.
（III ）由已知得()3f x m '>，即2
2(1)20mx m x -++>
又0m <所以2
22(1)0x m x m m -
++<即[]222
(1)0,1,1x m x x m m -++<∈-① 设2
12()2(1)g x x x m m
=-++，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
所以22(1)0120(1)010g m m
g ⎧
-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩
解之得43m -<又0m <所以403m -<< 即m 的取值范围为4
,03⎛⎫- ⎪⎝⎭
20．(考查知识点：立体几何)
解：在长方体1111ABCD A BC D -中，以
AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴建立如图示空间直角坐标系
由已知12,1
,AB AA ==可得(0,0,0),(2,0,0)A B ，(1,0,1)F 又AD ⊥平面11AAB B ，从而BD 与平面11AAB B 所成的角为30DBA ∠=︒，又2AB =，AE BD ⊥
，1,3AE AD ==
从而易得1,2E D ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
（I
）因为()1,,1,0,122AE BF ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭
所以()
cos ,AE BF AE BF AE BF ⋅=
1
-= 易知异面直线AE BF 、
所成的角为（II ）易知平面1AA B 的一个法向量(0,1,0)m = 设(,,)n x y z =
是平面BDF
的一个法向量，
(BD =- 由00
n BF n BF n BD n BD ⎧⎧⊥⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⊥⋅=⎪⎪⎩⎩
020x z x y -+=⎧⎪
⇒⎨=⎪
⎩
x z y =⎧⎪⇒=
即()
n =
所以cos ,m n m n m n
⋅==
即平面BDF 与平面1AA B 所成的二面角的
大小（锐角）为 （III ）点A 到平面BDF 的距离，即AB
在平面BDF 的法向量n 上的投影的绝对值，
所以距离cos ,d AB AB n =⋅
=AB n n
⋅=
A 到平面BDF
的距离为5 21．（考查知识点:数列）
解：由已知*15()n n S S n n N +=++∈可得12,24n n n S S n -≥=++两式相减得
()1121n n n n S S S S +--=-+即121n n a a +=+从而()1121n n a a ++=+当
1n =时
21215S S =++所以21126a a a +=+又15a =所以211a =从而()21121a a +=+
故总有112(1)n n a a ++=+，*
n N ∈又115,10a a =+≠从而11
21
n n a a ++=+即数列{}1n a +是等比数列；
（II ）由（I ）知321n n a =⨯-
因为212()n n f x a x a x a x =+++ 所以112()2n n f x a a x na x -'=+++
从而12(1)2n f a a na '=+++ =()()
23212321(321)n
n ⨯-+⨯-++⨯-
=()
232222n
n +⨯++⨯ -()12n +++ =()1(1)
31262
n n n n ++-⋅-
+ 由上()
()22(1)23131212n f n n n '--=-⋅-()
2
1221n n --= ()()1212121(21)n n n n -⋅--+=12(1)2(21)n
n n ⎡⎤--+⎣⎦①
当1n =时，①式=0所以2
2(1)2313f n n '=-； 当2n =时，①式=-120<所以2
2(1)2313f n n '<-
当3n ≥时，10n ->又()011211n
n n n
n n n n C C C C -=+=++++ ≥2221n n +>+ 所以()()12210n n n ⎡⎤--+>⎣⎦即①0>从而2(1)f '>2
2313n n -
22．（考查知识点:圆锥曲线） 解：（I ）如图，设M 为动圆圆心，,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，垂
足为N ，由题意知：MF MN =即动点M 到定点F 与定直线2
p
x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
为焦点，2p x =-为准线，所以轨迹
方程为2
2(0)y px P =>；
（II ）如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12x x ≠（否则αβπ+=）且12,0x x ≠所
以直线AB 的斜率存在，设其方程为y kx b =+，显然22
12
12,22y y x x p p
==
，将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得22
20k y p y p b -+=由韦达定理知
121222,p pb
y y y y k k
+=
⋅=① （1）当2
π
θ=
时，即2
π
αβ+=
时，tan tan 1
αβ⋅=所以12
121212
1,0y y x x y y x x ⋅=-=，22
12122
04y y y y p
-=所以2
124y y p =由①知：224pb p k =所以2.b pk =因此直线AB 的方程可表示为2y kx Pk =+，即(2)0k x P y +-=所以直线AB 恒过定点()2,0p - （2）当2
π
θ≠
时，由αβθ+=，得tan tan()θαβ=+=
tan tan 1tan tan αβ
αβ
+-=
122
122()
4p y y y y p
+-将①式代入上式整理化简可得：2tan 2p b pk θ=-，所以22tan p b pk θ=+， 此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+
22tan p pk θ+即2(2)0tan p k x p y θ⎛
⎫+--= ⎪⎝⎭
所以直线AB 恒过定点22,tan p p θ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
所以由（1）（2）知，当2
π
θ=时，直线AB 恒过定点()2,0p -，当2
π
θ≠
时直线AB 恒过
定点22,tan p p θ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.。