2015-2016学年高二数学人教版必修5课件：第二章 2.5 第一课时 等比数列的前n项和

[提出问题] 已知等比数列{an}，公比为 q，Sn 是其前 n 项的和，则 Sn＝ a1＋a2＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. 问题 1：若 q＝1，则 Sn 与 a1 有何关系？ 提示：Sn＝na1. 问题 2：若 q≠1，你能用 a1，q 直接表示 Sn 吗？如何表示？
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[类题通法] 等比数列前 n 项和的重要性质
(1)等比数列{an}的前 n 项和 Sn，满足 Sn，S2n－Sn，S3n－ S2n，S4n－S3n，…成等比数列(其中 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，… 均不为 0)，这一性质可直接应用．
(2)等比数列的项数是偶数时，SS偶 奇＝q； 等比数列的项数是奇数时，S奇S－偶 a1＝q.
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5．在等比数列{an}中， (1)S2＝30，S3＝155，求 Sn； (2)若 Sn＝189，a1＝3，an＝96，求 q 和 n.
解：(1)由题意知aa1111＋＋qq＋＝q320＝，155，
解得aq1＝＝55，
a1＝180， 或q＝－56，
从而
Sn＝14×5n＋1－54或
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[易错防范] 1．易忽视 q＝1 这一情况，从而得出错解． 2．在用等比数列求和公式求和前，先看公比 q，若其中 含有字母，就应按 q＝0，q＝1，q≠0 且 q≠1 讨论．
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[成功破障] 已知等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求 a3 和 q. 解：若 q＝1，则 S3＝3a1＝6，符合题意． 此时，q＝1，a3＝a1＝2. 若 q≠1，则由等比数列的前 n 项和公式， 得 S3＝a111－－qq3＝211－－qq3＝6， 解得 q＝1(舍去)或 q＝－2. 此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8. 综上所述，q＝1，a3＝2 或 q＝－2，a3＝8.
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提示：∵Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1① 两边同乘以 q，可得： qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn② ①－②得： (1－q)Sn＝a1－a1qn， ∴当 q≠1 时，Sn＝a111－－qqn.
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理解教材 新知
知识点
2.5
第
第一 课时
突破常考 题型
题型一 题型二
二
题型三
章
等比
数列
的前n
跨越高分障碍
项和
应用落实
随堂即时演练
体验
课时达标检测
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第一课时 等比数列的前n项和
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等比数列的前n项和公式
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即 2(1＋q＋q2)＝2＋q，整理得 2q2＋q＝0， ∴q＝－12(q＝0 舍去)． (2)∵q＝－12，又 a1－a3＝3， ∴a1－a1·(－12)2＝3，解得 a1＝4. 于是 Sn＝411－－－－1212n＝831－－12n.
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2．等比数列{an}中，a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，则公比 q 等于( )
A．2
1 B.2
C．4
1 D.4
解析：a3＝3S2＋2，a4＝3S3＋2，等式两边分别相减得 a4－a3
＝3a3 即 a4＝4a3，∴q＝4.
答案：C
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3．已知等比数列{an}中，q＝2，n＝5，Sn＝62，则 a1＝________. 解析：∵q＝2，n＝5，Sn＝62， ∴a111－－qqn＝62，即a111－－225＝62， ∴a1＝2.
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等比数列前n项和的性质 [例 2] 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S4＝2，S8 ＝6，求 a17＋a18＋a19＋a20 的值． [解] 由等比数列前 n 项和的性质，可知 S4，S8－S4，S12 －S8，…，S4n－S4n－4，…成等比数列． 由题意可知上面数列的首项为 S4＝2，公比为S8－S4S4＝2， 故 S4n－S4n－4＝2n(n≥2)， 所以 a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝25＝32.
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3 ∴a1(1＋q＋q2)＝92，即q22(1＋q＋q2)＝92， 解得 q＝－12(q＝1 舍去)， ∴a1＝6. ②当 q＝1 时，S3＝3a1， ∴a1＝32.
a1＝6， 综上得q＝－12，
或a1＝32， q＝1.
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[随堂即时演练]
1．数列{2n－1}的前 99 项和为( )
A．2100－1
B．1－2100
C．299－1
D．1－299
解析：数列{2n－1}为等比数列，首项为 1，公比为 2，故其
前 99 项和为 S99＝11－－2299＝299－1.
答案：C
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[活学活用]
2．(1)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若SS63＝3，则SS96＝(
)
A．2
7 B.3
8 C.3
D．3
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解析：(1)设公比为 q(q≠0)，则题意知 q≠－1，根据等 比数列前 n 项和的性质，得SS63＝1＋Sq33S3＝1＋q3＝3，
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等比数列的综合应用
[例 3] 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S1，S3， S2 成等差数列．
(1)求{an}的公比 q； (2)若 a1－a3＝3，求 Sn. [解] (1)∵S1，S3，S2 成等差数列， ∴2S3＝S1＋S2，显然{an}的公比 q≠1， 于是2a11－1－qq3＝a1＋a111－－qq2，
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于是 bn＝5－2n＋3，bn＋1＝5－2n＋1， ∴bbn＋n 1＝55－ －22nn＋ ＋13＝5－2＝215. 因此{bn}是公比为215的等比数列，且 b1＝5－2＋3＝5， 于是{bn}的前 n 项和 Tn＝511－－221155n ＝122451－215n.
1 Sn＝
080×111－－56n.
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(2)∵等比数列{an}中，a1＝3，an＝96，Sn＝189， ∴31－－9q6q＝189. ∴q＝2. ∴an＝a1qn－1. ∴96＝3×2n－1. ∴n＝5＋1＝6.
“课时达标检测”见“课时跟 踪检测(十二)”
答案：2
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4．等比数列{an}的前 5 项和 S5＝10，前 10 项和 S10＝50， 则它的前 15 项和 S15＝________. 解析：由等比数列前 n 项和的性质知 S5，S10－S5， S15－S10 成等比数列，故(S10－S5)2＝S5(S15－S10)， 即(50－10)2＝10(S15－50)，解得 S15＝210. 答案：210
[导入新知]
等比数列的前 n 项和公式
已知量
首项 a1 与公比 q 首项 a1，末项 an 与公比 q
公式
Sn＝na1a111－－q＝qqn1，q≠1
na1q＝1， Sn＝ a11－－aqnqq≠1
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[化解疑难] 1．在运用等比数列的前 n 项和公式时，一定要注意对公 比 q 的讨论(q＝1 或 q≠1)． 2．当 q≠1 时，若已知 a1 及 q，则用公式 Sn＝a111－－qqn较 好；若已知 an，则用公式 Sn＝a11－－aqnq较好．
即 q3＝2. 于是SS96＝1＋1＋q3＋q3 q6＝1＋1＋2＋2 4＝73. 答案：B
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(2)等比数列{an}共有 2n 项，其和为－240，且奇数项的 和比偶数项的和大 80，则公比 q＝________.
解析：由题意知：SS奇奇＋－SS偶偶＝＝－802，40， ∴SS奇 偶＝ ＝－ －8106，0. ∴公比 q＝SS偶 奇＝－－18600＝2. 答案：2
∴189＝a1(2n－1)＝a11a912－1， ∴a1＝3.又∵2n－1＝936＝32， ∴n＝6. 法二：由公式 Sn＝a11－－aqnq及条件得 189＝a1－1－962×2，解得 a1＝3，又由 an＝a1·qn－1， 得 96＝3·2n－1，解得 n＝6. (3)①当 q≠1 时，S3＝a111－－qq3＝92，又 a3＝a1·q2＝32，
[类题通法] 在等比数列{an}的五个量 a1，q，an，n，Sn 中，a1 与 q 是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以 用 a1 与 q 表示 an 与 Sn，从而列方程组求解，在解方程组时 经常用到两式相除达到整体消元的目的．这是方程思想与整 体思想在数列中的具体应用．
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∴q＝2(负舍)
∴S7＝a111－－qq7＝11－－227＝127.
(2)法一：由
Sn
＝
a11－qn 1－q
，
an
＝
a1qn
－
1
以及已知条件得
189＝a111－－22n， 96＝a1·2n－1.
∴a1·2n＝192，
∴2n＝1a912.
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[类题通法] 在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题 意，而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及前 n 项和公式是解决问题的关键．
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[活学活用] 3．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n－n2，an＝log5bn，其 中 bn＞0，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 解：当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 ＝(2n－n2)－[2(n－1)－(n－1)2]＝－2n＋3， 当 n＝1 时，a1＝S1＝2×1－12＝1 也适合上式， ∴{an}的通项公式 an＝－2n＋3(n∈N*)． 又 an＝log5bn， ∴log5bn＝－2n＋3，
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5.等比数列求和中的误区 [典例] 设数列{an}是等比数列，其前 n 项和为 Sn，且 S3 ＝3a3，求此数列的公比 q.
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[解]当 q＝1 时，S3＝3a1＝3a3，符合题目条件； 当 q≠1 时，a111－－qq3＝3a1q2， 因为 a1≠0，所以 1＋q＋q2＝3q2， 2q2－q－1＝0， 解得 q＝－12. 综上所述，公比 q 的值是 1 或－12.
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等比数列的前n项和公式的基本运算
[例 1] 在等比数列{an}中， (1)若 a1＝1，a5＝16，且 q＞0，求 S7； (2)若 Sn＝189，q＝2，an＝96，求 a1 和 n； (3)若 a3＝32，S3＝92，求 a1 和公比 q. [解] (1)因{an}为等比数列且 a1＝1，a5＝16 ∴a5＝a1q4 ∴16＝q4
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第十三页，编辑于星期五：八点 十二分。
a1＋a1q2＝10，
a11＋q2＝10
①
a1q3＋a1q5＝54， 即a1q31＋q2＝54 ②
∵a1≠0,1＋q2≠0，∴②÷①得，
q3＝18，即 q＝12，
∴a1＝8.
∴a4＝a1q3＝8×123＝1，S5＝a111－－qq5＝8×11－－12125＝321
[活学活用]
1．在等比数列{an}中， (1)若 q＝2，S4＝1，求 S8.
(2)若 a1＋a3＝10，a4＋a6＝54，求 a4 和 S5； 解：(1)设首项为 a1， ∵q＝2，S4＝1， ∴a111－－224＝1，即 a1＝115，
∴S8＝a111－－qq8＝11511－－228＝17.
(2)设公比为 q，由通项公式及已知条件得