高考数学(理科)一轮复习:单元三 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算
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1 f'(x)= ������ln������
1 f'(x)= ������
第三章
知识梳理 考点自测
3.1
导数的概念及运算
关键能力
必备知识
-6-
4.导数的运算法则 若f'(x),g'(x)存在,则有 f'(x)±g'(x) (1)[f(x)±g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x) (2)[f(x)· g(x)]'=
原函数 f (x)=c(c 为常数) f (x)=xα(α∈Q, α≠0) f (x)=sin x f (x)=cos x f (x)=ax(a>0, 且 a≠1) f (x)=ex f (x)=loga x(a>0, 且 a≠1) f (x)=ln x 导函数 f'(x)=0 f'(x)=αxα-1 f'(x)=cos x f'(x)=-sin x f'(x)= axln a f'(x)= ex
处的切线方程为 y-2=1×(x-1),即 y=x+1.
关闭
y=x+1
解析 答案
第三章
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3.1
导数的概念及运算
关键能力
必备知识
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5.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,3)处的切线方程是 .
=
������(������1 )-������(������0) ������1 -������0
������(������0 +������)-������(������0) = . ������
(2)导数:设函数y=f(x),当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率 趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y=f(x)在x0点的瞬时变化 率.在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在x0点的导数,通常用符号 f(x1 )-f(x0 ) ������(������0 + Δ������)-������(������0 ) lim ������������������ f'(x0)表示,记作f'(x0)= ������ 1 →������ 0 x1 -x0 = ������x →0 . Δ������ (3)导函数:如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的每一点x处都有导数, f(x + ������x)- f(x) lim 导数值记为f'(x):f'(x)=Δ������ ,则f'(x)是关于x的函数,称f'(x) →0 ������x 为f(x)的导函数,通常也简称为导数.
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1
������ + ������ '=1-������ 2 ;(3x)'=3x· ln 3;(x2cos x)'=(x2)'· cos x+x2· (cos x)'=2xcos x-x2sin x,所以 A,C,D 错.故选 B.
1
1
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B
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导数的概念及运算
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D
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3.1
导数的概念及运算
关键能力
必备知识
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4.曲线y=x2+
1 在点(1,2)处的切线方程为 ������
.
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设 y=f(x),则 f'(x)=2x- 2 ,所以 f'(1)=2-1=1.所以曲线
������
1
1 2 y=x + 在点(1,2) ������
(3) ������(������) '=
������(������)
;
������'(������)������(������)-������(������)������'(������) [������(������)]2
;
(g(x)≠0).
第三章
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3.1
导数的概念及运算
关键能力
关键能力
必备知识
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1
234来自53.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t s后的位移为
s=3t3-2t2+2t,那么速度为零的时刻是(
1 3
)
A.0 s C.2 s末
13 32 ∵s=3t -2t +2t,
B.1 s末 D.1 s末和2 s末
关闭
∴v=s'=t2-3t+2.令 v=0,
则 t2-3t+2=0,解得 t1=1,t2=2.故选 D.
第三章
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3.1
导数的概念及运算
关键能力
必备知识
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2.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数,是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线 f'(x0) 的斜率k,即k= .
第三章
知识梳理 考点自测
3.1
导数的概念及运算
关键能力
必备知识
-5-
3.基本初等函数的导数公式
第三章 导数及其应用
3 .1
导数的概念及运算
第三章
知识梳理 考点自测
3.1
导数的概念及运算
关键能力
必备知识
-3-
1.导数与导函数的概念 (1)平均变化率:对于一般的函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过 程中,若设Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),则函数的平均变化率是
������ ������
必备知识
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1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数 还是周期函数. 2.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号 反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线 在这点处的切线越“陡”.
第三章
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(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
答案
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3.1
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关键能力
必备知识
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2.下列求导运算正确的是(
)
A. ������ + ������ '=1+������2
C.(3x)'=3xlog3e
1
1
B.(log2x)'=������ln2
D.(x2cos x)'=-2xsin x
3.1
导数的概念及运算
关键能力
必备知识
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1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.( ) (2)求f'(x0)时,可先求f(x0)再求f'(x0).( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( ) (5)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同.( )
1 f'(x)= ������
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4.导数的运算法则 若f'(x),g'(x)存在,则有 f'(x)±g'(x) (1)[f(x)±g(x)]'= f'(x)g(x)+f(x)g'(x) (2)[f(x)· g(x)]'=
原函数 f (x)=c(c 为常数) f (x)=xα(α∈Q, α≠0) f (x)=sin x f (x)=cos x f (x)=ax(a>0, 且 a≠1) f (x)=ex f (x)=loga x(a>0, 且 a≠1) f (x)=ln x 导函数 f'(x)=0 f'(x)=αxα-1 f'(x)=cos x f'(x)=-sin x f'(x)= axln a f'(x)= ex
处的切线方程为 y-2=1×(x-1),即 y=x+1.
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y=x+1
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5.已知f(x)为偶函数,当x<0时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,3)处的切线方程是 .
=
������(������1 )-������(������0) ������1 -������0
������(������0 +������)-������(������0) = . ������
(2)导数:设函数y=f(x),当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率 趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y=f(x)在x0点的瞬时变化 率.在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在x0点的导数,通常用符号 f(x1 )-f(x0 ) ������(������0 + Δ������)-������(������0 ) lim ������������������ f'(x0)表示,记作f'(x0)= ������ 1 →������ 0 x1 -x0 = ������x →0 . Δ������ (3)导函数:如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的每一点x处都有导数, f(x + ������x)- f(x) lim 导数值记为f'(x):f'(x)=Δ������ ,则f'(x)是关于x的函数,称f'(x) →0 ������x 为f(x)的导函数,通常也简称为导数.
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1
������ + ������ '=1-������ 2 ;(3x)'=3x· ln 3;(x2cos x)'=(x2)'· cos x+x2· (cos x)'=2xcos x-x2sin x,所以 A,C,D 错.故选 B.
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B
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D
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4.曲线y=x2+
1 在点(1,2)处的切线方程为 ������
.
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设 y=f(x),则 f'(x)=2x- 2 ,所以 f'(1)=2-1=1.所以曲线
������
1
1 2 y=x + 在点(1,2) ������
(3) ������(������) '=
������(������)
;
������'(������)������(������)-������(������)������'(������) [������(������)]2
;
(g(x)≠0).
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234来自53.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t s后的位移为
s=3t3-2t2+2t,那么速度为零的时刻是(
1 3
)
A.0 s C.2 s末
13 32 ∵s=3t -2t +2t,
B.1 s末 D.1 s末和2 s末
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∴v=s'=t2-3t+2.令 v=0,
则 t2-3t+2=0,解得 t1=1,t2=2.故选 D.
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2.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数,是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线 f'(x0) 的斜率k,即k= .
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3.基本初等函数的导数公式
第三章 导数及其应用
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导数的概念及运算
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1.导数与导函数的概念 (1)平均变化率:对于一般的函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过 程中,若设Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),则函数的平均变化率是
������ ������
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1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数 还是周期函数. 2.函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号 反映了变化的方向,其大小|f'(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线 在这点处的切线越“陡”.
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2.下列求导运算正确的是(
)
A. ������ + ������ '=1+������2
C.(3x)'=3xlog3e
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B.(log2x)'=������ln2
D.(x2cos x)'=-2xsin x
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1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.( ) (2)求f'(x0)时,可先求f(x0)再求f'(x0).( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( ) (5)曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与过点P(x0,y0)的切线相同.( )