2021年人教A版(2019)必修第一册数学第五章_三角函数单元测试卷(1)高中答案解析

2021年人教A 版（2019）必修第一册数学第五章 三角函数单元
测试卷（1）
一、选择题 1.
19π6
是( )
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
2. 已知角α的终边与单位圆交于点P(−√3
2
, y)，则sin α=( )
A.−√36
B.±
√3
3
C.±1
2
D.±3
2
3. 已知 cos (α−π6)=35，则sin (α+π
3)等于( ) A.3
5 B.−3
5
C.4
5
D.−4
5
4. 已知角α的终边过点P (−8m,−3)，且cos α=−4
5，则m 的值是( ) A.1
2 B.−1
2
C.√3
2
D.−
√3
2
5. 设a =tan 35∘，b =cos 55∘，c =sin 23∘，则( ) A.a >b >c B.b >c >a C.c >b >a D.c >a >b
6. 要得到函数y =√3sin 2x +cos 2x 的图像，只需将函数y =2sin 2x 的图像( ) A.向左平移π
6个单位 B.向右平移π
6个单位 C.向左平移π12个单位 D.向右平移π
12个单位
7. 下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(π
2, π)上为减函数的是( ) A.y =cos x B.y =2|sin x|
C.y =cos x
2
D.y =tan x
8. 已知tanα=3，则sin 2α+2cos2α
sinαcosα+sin2α
=( )
A.3 8
B.9
16
C.11
12
D.7
9
9. 在△ABC中，角A，B，C的对边为a，b，c且有a cos A=b cos B，则此三角形是（）
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰三角形或直角三角形
10. 如图所示为函数y=A sin(ωx+φ)的图象的一部分，则( )
A.y=2sin(2x+π
3) B.y=2sin(2x−π
3
) C.y=2sin(2x+π
6
) D.y=2sin(2x−π
6
)
11. 若奇函数g(x)的图象是由函数f(x)=a sin x+cos x的图象向右平移π
6
个单位得到的，则f(x)的一个单调递增区间是( )
A.[−2π
3,π
3
] B.[π
3
,4π
3
] C.[−5π
6
,π
6
] D.[π
6
,7π
6
]
12. 若函数f(x)=cos(2x+φ)在x=π
6处的切线垂直于y轴，且f(π)+f(π
4
)>0，则当
φ取最小正数时，不等式f(x)≥1
2
的解集是( )
A.[kπ−π
3,kπ+π
6
](k∈Z) B.[kπ,kπ+π
2
](k∈Z)
C.[kπ−π,kπ−2
3π](k∈Z) D.[kπ−π
2
,kπ](k∈Z)
二、填空题
13. 已知tan α=−1
2，则
2sin αcos αsin 2α−cos 2α
的值是________．
14. 已知tan α=−3
4，则tan (α+π
4)=________．
15. 若cos (π
4−α)=35，则sin 2α=________.
16. 已知sin α=1
3，则cos 2α=________.
三、解答题
17. 已知sin α+2cos α=0. (1)求表达式3sin α+cos α
sin α−2cos α的值；
(2)求表达式cos 2(3π
2−α)−sin (5π
2+α)⋅cos (π+α)⋅tan (2019π+α)的值.
18. 已知函数f(x)=sin (2x −π
6)+a ，a 为常数. (1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)若x ∈[0, π
2]时，f(x)的最小值为−2，求a 的值．
19. 已知函数f(x)=A sin (ωx +φ)，x ∈R （其中A >0，ω>0，0<φ<π
2）的图象，两条相邻对称轴的距离为π
2，且图象上一个最高点的坐标为(π
6, 2)． (1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)的对称中心坐标和对称轴方程．
20. 已知函数f(x)=2sin x(sin x +cos x)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)在给出的直角坐标系中，画出函数y=f(x)在区间[−π
2,π
2
]上的图象．
21. 函数f(x)=A cos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π
2
)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若将f(x)的图象向左平移π
3个单位，再将所得图象的横坐标缩短到原来的1
2
，纵坐标
不变，得到g(x)的图象，求g(x)在[0,π
6
]上的值域．
22. 已知函数f(x)=cos4x−2sin x cos x−sin4x．
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈[0,π
2
]时，求f(x)的最小值以及取得最小值时x的集合．
参考答案与试题解析
2021年人教A 版（2019）必修第一册数学第五章 三角函数单元
测试卷（1）
一、选择题 1.
【答案】 C
【考点】
象限角、轴线角 【解析】
此题考查求角的终边所在的象限． 【解答】 解：∵ 19π6
=2×2π−
5π6
，
∴
19π6
的终边与−5π6
的终边相同，
∵ −
5π
6
在第三象限，∴ 19π6
是第三象限角．
故选C ．
2. 【答案】 C
【考点】
同角三角函数间的基本关系 【解析】
先计算|OP|，再利用正弦函数的定义即可得到结论． 【解答】
解：由题意，|OP|=1，
∵ 角α的终边与单位圆相交于点P(−√3
2
,y)， ∴ cos α=−√3
2
，∴ sin α=±√1−cos 2α=±12
.
故选C ． 3.
【答案】 A
【考点】
运用诱导公式化简求值 【解析】
由于α+π
3−(α−π
6)=π
2，可以直接利用诱导公式求解即可. 【解答】
解：∵ α+π
3−(α−π
6)=π
2，
∴sin(α+π
3)=sin[π
2
+(α−π
6
)]=cos(α−π
6
)=3
5
.
故选A.
4.
【答案】
A
【考点】
任意角的三角函数
【解析】
利用任意角的三角函数得r=√(−8m)2+(−3)2=√64m2+9，
所以cosα=
√64m2+9=−4
5
，得解.
【解答】
解：由题设得r=√(−8m)2+(−3)2=√64m2+9，
所以cosα=
√64m2+9=−4
5
，
解得m=1
2
.
故选A.
5.
【答案】
A
【考点】
诱导公式
正弦函数的单调性
【解析】
利用三角函数的诱导公式结合三角函数的单调性即可得到结论．
【解答】
解：由诱导公式可得b=cos55∘=cos(90∘−35∘)=sin35∘，
由正弦函数的单调性可知sin35∘>sin23∘，
即b>c，
而a=tan35∘=sin35∘
cos35∘
>sin35∘=b，
∴a>b>c，
故选A.
6.
【答案】
C
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
两角和与差的正弦公式
【解析】
由条件利用两角和的正弦公式，化简函数y=√3sin2x+cos2x的解析式，再利用y= A sin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．
【解答】
解：函数y =√3sin 2x +cos 2x =2sin (2x +π
6
)=2sin 2(x +
π12
)，
故把函数y =2sin 2x 的图像向左平移π
12个单位，可得函数y =√3sin 2x +cos 2x 的图像. 故选C . 7. 【答案】 B
【考点】
三角函数的周期性及其求法 【解析】
由条件利用三角函数的周期性和单调性，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【解答】
解：A ，y =cos x 的周期为2π，故排除A ；
B ，y =2|sin x|以π为最小正周期，且在区间(π
2, π)上为减函数，故满足条件；
C ，y =cos x 2
的周期为
2π
12
=4π，故排除C ；
D ，y =tan x 区间(π
2, π)上为增函数，故排除D . 故选B . 8. 【答案】 C
【考点】
三角函数的化简求值 【解析】
利用三角函数间的关系式，将所求关系式中的“弦”化“切”进行化简，将tan α=3代入即可求得原式的值. 【解答】
解：分子分母同时除以cos 2α， 则sin 2α+2cos 2α
sin αcos α+sin 2α=tan 2α+2
tan α+tan 2α， ∵ tan α=3， ∴ 原式=32+2
3+32=11
12. 故选C . 9.
【答案】 D
【考点】
二倍角的正弦公式 正弦定理 【解析】
由条阿金利用正弦定理可得sin 2A ＝sin 2B ，即 A ＝B 或A +B =π
2，从而得出结论．
【解答】
解：在△ABC中，由a cos A=b cos B，
利用正弦定理可得sin A cos A=cos B sin B，即sin2A=sin2B，
所以2A=2B或2A+2B=π，
即A=B或A+B=π
2
．
若A=B，则△ABC为等腰三角形，
若A+B=π
2，则C=π
2
，
△ABC为直角三角形.
故选D.
10.
【答案】
C
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】
由图象确定A,ω，再将(π
6,2)代入y=2sin(2x+φ)解得φ=2kπ+π
6
,k∈Z，得解.
【解答】
解：由图象得A=2，T
2=2π
3
−π
6
，
则T=π.
又T=2π
ω
，
解得ω=2，
所以y=2sin(2x+φ).
将(π
6
,2)代入y=2sin(2x+φ)，
解得φ=2kπ+π
6
，k∈Z，
所以y=2sin(2x+π
6
).
故选C.
11.
【答案】
A
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换正弦函数的单调性
正弦函数的奇偶性
【解析】
本题考查三角函数的图象和性质．【解答】
解：g(x)=a sin(x−π
6)+cos(x−π
6
)，
∴ g(π
6)=a sin(π
6
−π
6
)+cos(π
6
−π
6
)=1，
g(−π
6
)=a sin(−
π
3
)+cos(−
π
3
)
=−√3
2a+1
2
，
∴−√3
2a+1
2
+1=0，
∴ a=√3，
∴ f(x)=√3sin x+cos x=2sin(x+π
6
).
令−π
2+2kπ≤x+π
6
≤π
2
+2kπ，k∈Z，
得−2π
3+2kπ≤x≤π
3
+2kπ，k∈Z，
故选A．
12.
【答案】
C
【考点】
余弦函数的图象
余弦函数的定义域和值域
【解析】
由题意求出函数的解析式，再利用余弦函数的图象与性质进行求解即可. 【解答】
解：∵f(x)=cos(2x+φ)在x=π
6
处的切线垂直于y轴，
∴f(π
6
)=±1.
∴π
3
+φ=kπ(k∈Z)，
∴φ=kπ−π
3
(k∈Z).①
又f(π)+f(π
4
)>0，
即cos(2π+φ)+cos(π
2
+φ)>0，
则cosφ−sinφ>0.②
由①②可知，φ的最小正数值为5π
3
，
∴f(x)=cos(2x+5π
3
).
∴f(x)≥1
2
，
即−π
3+2kπ≤2x+5π
3
≤π
3
+2kπ(k∈Z)，
解得−π+kπ≤x≤−2π
3
+kπ(k∈Z).
故选C.
二、填空题
13.
【答案】
4
3
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
原式分子分母除以cos2α，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值．
【解答】
解：∵tanα=−1
2
，
∴2sinαcosα
sin2α−cos2α=2tanα
tan2α−1
=2×(−
1
2) (−
1
2)2−1
=4
3
.
故答案为：4
3
.
14.
【答案】
1
7
【考点】
两角和与差的正切公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：利用两角和的正切公式可得
tan(α+π
4
)=
tanα+tan
π
4
1−tanα⋅tan
π
4
=tanα+1
1−tanα=−
3
4
+1
1+3
4
=1
7
．
故答案为：1
7
.
15.
【答案】
−
725
【考点】
二倍角的正弦公式
两角和与差的余弦公式 【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：cos (π4
−α)=√22(cos α+sin α)=35. 两边平方得 12(1+2sin αcos α)=925,
解得 sin 2α=−725. 故答案为：−725.
16.
【答案】
79
【考点】
二倍角的余弦公式
【解析】
利用二倍角的余弦公式求解即可.
【解答】
解：∵ sin α=13，
∴ cos 2α=1−2sin 2α=1−2×(13)2=79
. 故答案为：79.
三、解答题
17.
【答案】
解：(1)已知：sin α+2cos α=0，
所以：tan α=−2，
所以：3sin α+cos α
sin α−2cos α=3tan α+1tan α−2=−5−4=54. (2)cos 2(
3π2−α)−sin (5π2
+α)cos (π+α)tan (2019π+α) =sin 2α−cos α⋅(−cos α)tan α， =sin 2α+sin αcos α
=sin 2α+sin αcos α
sin 2α+cos 2α
=tan 2α+tan αtan 2α+1
=2
5
.
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)已知：sinα+2cosα=0，所以：tanα=−2，
所以：3sinα+cosα
sinα−2cosα=3tanα+1
tanα−2
=−5
−4
=5
4
.
(2)cos2(3π
2
−α)−sin(
5π
2
+α)cos(π+α)tan(2019π+α)
=sin2α−cosα⋅(−cosα)tanα，=sin2α+sinαcosα
=sin2α+sinαcosαsin2α+cos2α
=tan2α+tanαtan2α+1
=2
5
. 18.
【答案】
解：(1)f(x)=sin(2x−π
6)+a的最小正周期为T=2π
2
=π.
(2)当x∈[0,π
2]时，2x−π
6
∈[−π
6
, 5π
6
]，
故当2x−π
6=−π
6
时，函数f(x)取得最小值，
f(x)取得最小值为sin(−π
6)+a=−1
2
+a=−2，
a=−3
2
.
【考点】
正弦函数的周期性
三角函数的最值
【解析】
(1)利用正弦函数的周期性，求得函数f(x)的最小正周期．
(2)由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得a的值．【解答】
解：(1)f(x)=sin(2x−π
6)+a的最小正周期为T=2π
2
=π.
(2)当x∈[0,π
2]时，2x−π
6
∈[−π
6
, 5π
6
]，
故当2x−π
6=−π
6
时，函数f(x)取得最小值，
f(x)取得最小值为sin(−π
6)+a=−1
2
+a=−2，
a=−3
2
.
19.
【答案】
解：(1)∵f(x)=A sin(ωx+φ)的图象两条相邻对称轴的距离为π
2
，
∴T
2=π
2
，
∴T=π，
∴2π
ω
=π，
∴ω=2
∵图象上一个最高点的坐标为(π
6
, 2)，∴A=2，
2×π
6+φ=π
2
，
∴φ=π
6
,
∴f(x)=2sin(2x+π
6
)；
(2)∵f(x)=2sin(2x+π
6
)，
令2x+π
6
=kπ，(k∈Z)，
∴x=kπ
2−π
12
，(k∈Z)，
∴f(x)的对称中心坐标是(kπ
2−π
12
, 0)；
令2x+π
6=kπ+π
2
，(k∈Z)，
∴x=kπ
2+π
6
，(k∈Z)，
∴f(x)的对称轴方程是x=kπ
2+π
6
，k∈Z．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的对称性
【解析】
(1)根据f(x)的图象与性质，求出T、ω以及A、φ的值，即得f(x)的解析式；
(2)由f(x)的图象与性质，求出它的对称中心坐标以及对称轴方程是什么．【解答】
解：(1)∵f(x)=A sin(ωx+φ)的图象两条相邻对称轴的距离为π
2
，
∴T
2=π
2
，
∴T=π，
∴2π
ω
=π，
∴ω=2
∵图象上一个最高点的坐标为(π
6
, 2)，∴A=2，
2×π
6+φ=π
2
，
∴φ=π
6
,
∴f(x)=2sin(2x+π
6
)；
(2)∵f(x)=2sin(2x+π
6
)，
令2x+π
6
=kπ，(k∈Z)，
∴x=kπ
2−π
12
，(k∈Z)，
∴f(x)的对称中心坐标是(kπ
2−π
12
, 0)；
令2x+π
6=kπ+π
2
，(k∈Z)，
∴x=kπ
2+π
6
，(k∈Z)，
∴f(x)的对称轴方程是x=kπ
2+π
6
，k∈Z．
20.
【答案】
解：(1)f(x)=2sin2x+2sin x cos x =1−cos2x+sin2x
=1+√2(sin2x cos π
4
−cos2x sin
π
4
)
=1+√2sin(2x−π
4
)，
所以函数的最小正周期为π，最大值为1+√2.
(2)由(1)列表得：
1−√21+√2
故函数y=f(x)在区间[−π
2，π
2
]上的图象是：
【考点】
三角函数的周期性及其求法
二倍角的正弦公式
二倍角的余弦公式
两角和与差的正弦公式
五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象
【解析】
（1）利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简后，利用两角差的正弦函数公式的逆运算及特殊角的三角函数值化简为一个角的正弦函数，利用周期的计算公式T=2π
λ
求出函数的周期，根据正弦函数的最大值为1求出函数的最大值即可；
（2）由（1）的解析式列出表格，在平面坐标系中描出五个点，然后用平滑的曲线作出函数的图象即可．
【解答】
解：(1)f(x)=2sin2x+2sin x cos x
=1−cos2x+sin2x
=1+√2(sin2x cos π
4
−cos2x sin
π
4
)
=1+√2sin(2x−π
4
)，
所以函数的最小正周期为π，最大值为1+√2.
(2)由(1)列表得：
故函数y=f(x)在区间[−π
2，π
2
]上的图象是：
21.
【答案】
解：(1)由图可知，A=2，3
4T=5π
12
+π
3
，
∴T=π，ω=2π
π
=2．
将点(5π
12,0)代入f(x)=2cos(2x+φ)得5π
6
+φ=kπ+π
2
,k∈Z．
又|φ|<π
2，∴φ=−π
3
，
∴f(x)=2cos(2x−π
3
)．
(2)将f(x)的图象向左平移π
3
个单位，
得到y=2cos[2(x+π
3)−π
3
]=2cos(2x+π
3
)，
再将所得图象的横坐标缩短到原来的1
2
，纵坐标不变，得到g(x)的图象，
g(x)=2cos(4x+π
3
)，
∵x∈[0,π
6
]，
∴0≤4x≤2π
3，π
3
≤4x+π
3
≤π，
∴−1≤cos(4x+π
3)≤1
2
，
故g(x)在[0,π
6
]上的值域为[−2,1]．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
余弦函数的定义域和值域
无
无
【解答】
解：(1)由图可知，A=2，3
4T=5π
12
+π
3
，
∴T=π，ω=2π
π
=2．
将点(5π
12,0)代入f(x)=2cos(2x+φ)得5π
6
+φ=kπ+π
2
,k∈Z．
又|φ|<π
2，∴φ=−π
3
，
∴f(x)=2cos(2x−π
3
)．
(2)将f(x)的图象向左平移π
3
个单位，
得到y=2cos[2(x+π
3)−π
3
]=2cos(2x+π
3
)，
再将所得图象的横坐标缩短到原来的1
2
，纵坐标不变，得到g(x)的图象，
g(x)=2cos(4x+π
3
)，
∵x∈[0,π
6
]，
∴0≤4x≤2π
3，π
3
≤4x+π
3
≤π，
∴−1≤cos(4x+π
3)≤1
2
，
故g(x)在[0,π
6
]上的值域为[−2,1]．
22.
【答案】
解：(1)f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x−sin2x)−2sin x cos x =cos2x−sin2x−2sin x cos x
=cos2x−sin2x=√2cos(2x+π
4
)，
∴f(x)的最小正周期T=2π
2
=π.
(2)∵0≤x≤π
2
，
∴π
4≤2x+π
4
≤5
4
π.
又2x+π
4=π⇒x=3
8
π，
∴x∈{3
8
π}时f(x)有最小值为−√2.
三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用
三角函数的最值
【解析】
(1)先根据三角函数的二倍角公式化简为y=√2cos(2x+π
4)，再由T=2π
2
可得答案．
(2)先根据x的范围确定2x+π
4
的范围，再由余弦函数的性质可求出最小值．【解答】
解：(1)f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x−sin2x)−2sin x cos x
=cos2x−sin2x−2sin x cos x
=cos2x−sin2x=√2cos(2x+π
4
)，
∴f(x)的最小正周期T=2π
2
=π.
(2)∵0≤x≤π
2
，
∴π
4≤2x+π
4
≤5
4
π.
又2x+π
4=π⇒x=3
8
π，
∴x∈{3
8
π}时f(x)有最小值为−√2.。