2023年中考数学第三次模拟考试卷及解析(徐州卷)

2023年中考数学第三次模拟考试卷及解析（徐州卷）
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．3
5-的倒数的绝对值是（）
A．5
3-B．5
3
C．3
5
D．3
5
-
【答案】B
【分析】根据题意，要先求出倒数，然后再求绝对值．
【详解】解：
3
5
-的倒数是
5
3-，
5
3-的绝对值是
5
3．
故选：B．
【点睛】本题考查有理数的倒数和绝对值，熟练掌握倒数和绝对值的计算方法是关键．
2．关于x的不等式21
x a+≥的解集如图所示，则a的值是（）
A．－1B．1
C．2D．3
【答案】D
【分析】根据数轴可确定不等式的解集，根据解集相同列出方程求解即可．【详解】解：根据数轴可知，不等式的解集为1
x≥-，
解不等式21
x a
+≥得，
1
2
a
x-≥，
故11 2
a-
=-，
解得，3
a=，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法和一元一次不等式的解集，解题关键是根据不等式的解集相同列出方程．
3．一组数据5、7、6、6、11中，平均数是（）
A．5B．7C．8D．9
【答案】B
【分析】求出5个数的和再除以5即可得到这组数据的平均数．
【详解】解：由题意得，平均数为：() 57661
5
1
7=
＋＋＋＋
，
故选：B．
【点睛】本题考查了求算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
4．如图，正方体盒子的外表面上画有3条粗黑线，将这个正方体盒子的表面展开外表面朝上，展开图可能是（）
A．B．C．
D．
【答案】B
【分析】根据正方体的表面展开图还原几何体进行分析解答即可．
【详解】解：对于选项A的展开图还原几何体为：
故A不符合题意；
对于选项B的展开图还原几何体为：
，
故B符合题意；
对于选项C
故C不符合题意；
对于选项D的展开图还原几何体为：
故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入
手，分析及解答问题．
5．疫情期间，一包口罩售价x元，一瓶消毒液售价y元，小宇同学买了2包口罩和3瓶消毒液共计44元，小宇买完单后又帮同学买了3包口罩和4瓶消毒液，又花了62元，问一包口罩和一瓶消毒液的售价分别是多少？依题意可列出方程组为（）
A．
2444
3362
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
B．
2444
3462
x y
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
C．2344
3462
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
D．2362
3444
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
【答案】C
【分析】一包口罩售价x元，一瓶消毒液售价y元，然后根据小宇同学买了2包口罩和3瓶消毒液共计44元，小宇买完单后又帮同学买了3包口罩和4瓶消毒液，又花了62元，列出方程组即可．
【详解】解：设一包口罩售价x元，一瓶消毒液售价y元，
由题意得：
2344 3462
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
故选C．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出二元一次方程组，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
6．只借助一副三角尺拼摆，不能画出下列哪个度数的角（）
A．15︒B．165︒C．100︒D．135︒
【答案】C
【分析】根据一副三角尺中的角度相加减得到结果，即可做出判断．
【详解】解：∵一副三角尺中的角度分别为：30︒，60︒，45︒，90︒，且453015
︒-︒=︒，453090165
︒+︒+︒=︒，4590135
︒+︒=︒，
∴用一幅三角尺拼摆，能画出的角是15︒；135︒；165︒，不能画出100︒．故选：C ．
【点睛】此题考查了角的计算，弄清题意是解本题的关键．此题考查了角的计算，弄清题意是解本题的关键．
7．如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，且ACB BAD ∠=∠，AE 平分CAD ∠，交BC 于点E ，过点E 作EF AC ∥，分别交AB 、AD 于点F 、G ．则下列结论正确的是（）
①90BAC ∠=︒；②AEF EAD ∠=∠；③BAE BEA ∠=∠；④290DAB AEF ∠+∠=︒．
A ．①②③
B ．①③④
C ．①②④
D ．①②③④
【答案】D 【分析】证明90BAD CAD ∠+∠=︒即可判断①正确；利用三角形的外角的性质，角的和差定义即可判断③正确；根据EF AC ∥，结合角平分线的定义即可判断②，证明=B CAD ∠∠即可判断④正确．
【详解】解：AD BC ⊥ ，
90ADC ∴∠=︒，
90ACB CAD ∴∠+∠=︒，
ACB BAD ∠=∠ ，
90BAD CAD ∴∠+∠=︒，
90BAC ∴∠=︒，故①正确，
AE 平分CAD ∠，
DAE CAE ∴∠=∠，
BAE BAD DAE ∠=∠+∠ ，ACB BAD ∠=∠，
BAE ACB CAE BEA ∴∠=∠+∠=∠，故③正确，
EF AC ∥Q ，
AEF CAE ∴∠=∠，
22CAD CAE EAD ∠=∠=∠ ，
2CAD AEF ∴∠=∠，AEF EAD ∠=∠，故②正确；
90CAD BAD ∠+∠=︒ ，90BAD B ∠+∠=︒，
2B CAD AEF ∴∠=∠=∠，
90B DAB ∠+∠=︒ ，
290AEF DAB ∴∠+∠=︒，故④正确，
∴正确的有①②③④，
故选：D ．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，三角形的外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．把抛物线2y x =向右平移1个单位，然后向上平移5个单位，则平移后抛物线的解析式为（
）A ．()215y x =++B ．()215y x =-+C ．()215y x =--D ．()2
15y x =+-【答案】B
【分析】直接利用抛物线平移规律：“上加下减，左加右减”进而得出平移后的解析式．
【详解】解：∵将抛物线2y x =向右平移1个单位，再向上平移5个单位，∴平移后的抛物线的解析式为：()215y x =-+．
故选：B ．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象的平移变换，正确掌握平移规律是解题关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
9．2019年江苏省粮食总产达40540000吨，居全国第四位．用科学记数法表示40540000是______．
【答案】7
4.05410⨯【分析】用移动小数点的方法确定a 值，根据整数位数减一原则确定n 值，最后写成10n a ⨯的形式即可．
【详解】∵740540000 4.05410=⨯，
故答案为：74.05410⨯．
【点睛】本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a ，运用整数位数减去1确定n 值是解题的关键．
10．请写出一个只含a ，b 两个字母，且次数是4次的单项式________．
【答案】3a b （答案不唯一）
【分析】根据题目要求写出单项式即可．
【详解】解：只含a ，b 两个字母，且次数是4次的单项式为：3a b ．
故答案为：3a b ．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了单项式，解题的关键是熟练掌握单项式的次数．
11．已知225644M x N x x =+=+，，则M _______N ．(填“>”“<”或“=”)
【答案】>
【分析】计算M N -，然后将结果配方，即可求解．
【详解】解：∵225644M x N x x =+=+，，
∴()()2
2225644462220M N x x x x x x -=+-+=-+=-+≥>，∴M N >,
故答案为：>．
【点睛】本题考查了整式的加减，配方法的应用，掌握配方法是解题的关键．
12．已知：a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，y 是最大的负整数．则：()20186cd a b y ++-的值为___________．
【答案】0
【分析】利用相反数，倒数，负整数的定义求出a b +，cd 和y 的值，然后代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：由题意得：0a b +=，1cd =，1y =-，
原式()
201816011010=+⨯--=+-=．故答案为：0．
【点睛】本题考查了代数式求值，相反数，倒数，平方以及负整数的定义，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
13．如图，一次函数332y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，以AB 为边构造等腰直角三角形ABC ，90BAC ∠=︒，点C 落在第一象限，则点C 的坐标是___________．
【答案】()
5,2【分析】过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则90AOB ADC ∠=∠=︒，90CAD ACD ∠+∠=︒，先求出点A ，B 的坐标，再证明AOB CDA △≌△，可得2,3CD OA AD OB ====，即可求解．
【详解】解：如图，过点C 作CD x ⊥轴于点D ，则90AOB ADC ∠=∠=︒，90CAD ACD ∠+∠=︒，
令0x =，3y =，
令0y =，2x =，
∴点()()2,0,0,3A B ，
∴2,3OA OB ==，
∵ABC 是等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，
∴AB AC =，90OAB CAD ∠+∠=︒，
∴OAB ACD ∠=∠，
∴AOB CDA △≌△，
∴2,3CD OA AD OB ====，
∴5OD =，
∴点C 的坐标为()5,2．
故答案为：()
5,2【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，是综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
14．分式293
x x --，当x =_____时，无意义；当x =_____时，值为0；当=1x -时，分式值是____．
【答案】33-2
【分析】根据分式无意义的条件是分母等于0；分式值为0的条件是分子等于0，分母不等于0；即可进行解答．
【详解】解：∵当30x -=时，分式无意义，
∴当3x =时，分式无意义，
∵23090
x x -≠⎧⎨-=⎩时，分式值为0，∴3x =-，
把=1x -代入293x x --得：()()2339313233
x x x x x x +--==+=-+=--，故答案为：3，3-，2．
【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件，分式值为0的条件，以及求分式化简求值，解题的关键是掌握分式无意义的条件是分母等于0；分式值为0的条件是分子等于0，分母不等于0．
15．如图，点()2A m m ，在反比例函数()8
0y x x
=>的图象上，点B 是y 轴上一点，且A B O ，，三点构成的三角形是等腰三角形，则线段OB =______．
【答案】52
或8
【分析】先将点()2A m m ，坐标代入反比例函数()8
0y x x =>中计算出点A 的坐标，再分类讨论ABO 为等腰三角形的情况，分别算出点B 的坐标，最后求得不同情况OB 的值即可得到答案．
【详解】解： 点()2A m m ，在第一象限，且在反比例函数()8
0y x x
=>的图象上，28m m ∴⋅=，
解得：2m =±，
0m > ，
2m ∴=，
∴点A 坐标为()24，，
OA ∴=
点B 是y 轴上一点，且A B O ，，三点构成的三角形是等腰三角形，
∴当以OA 为腰时，如图所示三种情况，
由图可知，点B 的坐标为(0或(0，-或()08，，OB ∴=8，
当以OA 为底边时，如图所示，
设点B 的坐标为()0y ，，则OB y =，
作AH y ⊥轴交y 轴于H ，
在Rt ABH 中，
222AB AH BH =+ ，2AH =，4BH OH OB y =-=-，()2
22224820AB y y y ∴=+-=-+， OAB 为等腰三角形，OB AB =，
22820y y y ∴=-+，解得：52y =，
∴点B 坐标为502⎛⎫ ⎪⎝⎭
，，52
OB ∴=，
综上所述：OB =8或5
2，
故答案为：8或5
2．
【点睛】本题主要考查反比例函数上的点的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握反比例函数上的点的性质以及等腰三角形的性质，采用分类讨论的方法解题，是解题的关键．
16．如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离AO 与BD 均为0.9米，绳子甩到最高点C 处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米．身高为1.4米的小吉站在距点О水平距离为m 米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则m 的取值范围是___________．
【答案】15
m <<【分析】根据题意建立直角坐标系，提取出点的坐标求出抛物线解析式，根据能跳绳及高度大于1.4米列不等式即可得到m 的值．
【详解】解：以O 为坐标原点，OA 所在直线为y 轴OD 所在直线为x 轴，由题意
可得，
(0,0.9)A ，(6,0.9)B ，(3,1.8)C ，
设抛物线解析式为2y ax bx c
=++，将点代入可得，
0.993 1.83660.9c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩
，解得：11035910a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩
，∴213910510
y x x =-++，∵身高为1.4米的小吉站在距点О水平距离为m 米处能够正常跳大绳，即跳绳高度要高于1.4米，∴2139 1.410510m m -
++>，当2139 1.410510
m m -++=时，整理得2650m m -+=，
解得11m =，25m =，
即身高为1.4米的小吉站在距点О水平距离1米处和5米处时，绳子恰好在头顶上，∵绳子甩到最高时要超过他的头顶，
∴15m <<，
故答案为15m <<．
【点睛】本题考查二次函数的应用及坐标求法，解题的关键是建立适当的直角坐标系，会根据题意得出点的坐标．
17．如图，小明沿倾斜角30ABC ∠=︒的山坡从山脚B 步行到山顶A ，共走了500m ，则山的高度AC 是______m ．
【答案】250
【分析】根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：依题意，Rt ACB △中，30ABC ∠=︒，500m
AB =∴1250m 2AC AB ==，
故答案为：250．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
18．如图，在ABC 中，10AB =，21BC =，84ABC S = ，D 是BC 的中点，动直线l 经过点D ，AE l ⊥，BF l ⊥，垂足分别为E ，F ，则AE BF +的最大值为__．
【答案】17
【分析】过点C 作CK l ⊥于点K ，过点A 作AH BC ⊥于点H ，过点C 作CN AE ⊥交AE 的延长线于点N ，可证得BDF CDK ≅ ，再根据四边形CKEN 是矩形，可得BF EN =，从而得到AE BF AE EN AN +=+=，然后根据84ABC S = ，可得8AH =，然后根据勾股定理可得17AC =，再由当AC l ⊥时，AN 与AC 重合，则AN 最大为17，即可．
【详解】过点C 作CK l ⊥于点K ，过点A 作AH BC ⊥于点H ，过点C 作CN AE ⊥交AE 的延长线于点N ，
BF l ⊥ ，CK l ⊥，
90BFD CKD ∴∠=∠=︒，
D 是BC 的中点，
BD CD ∴=，
在BDF V 和CDK 中，
BFD CKD BDF CDK BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，()BDF CDK AAS ∴≅ ，
BF CK ∴=，
90CKE KEN N ∠=∠=∠=︒ ，
∴四边形CKEN 是矩形，
CK EN ∴=，
BF EN ∴=，
AE BF AE EN AN ∴+=+=，
在Rt ACN 中，AN AC <，
1842
ABC S BC AH =⋅= ，21BC =，8AH ∴=，
在Rt ABH 中，10AB =
，
6
BH ∴=，
21615CH BC BH ∴=-=-=，在Rt ACH
中，17AC =，
当AC l ⊥时，AN 与AC 重合，则AN 最大为17，
即AE BF +的最大值为17，
故答案为：17．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，作适当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤等）
19．（10分）计算：
11
2sin 45+3
-︒+-（；(2)245=0x x +-．
【答案】(1)5；
(2)1=5x -，2=1
x 【分析】（1）先化各式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用因式分解法，进行计算即可解答．
【详解】（1）原式=222
-⨯
=2-
=5；（2）()()15=0x x -+，
()1=0-x 或()5=0x +，
所以1=5x -，2=1x ．
【点睛】本题考查了实数的运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，解一元二次方程因式分解法，熟练地进行计算是解题的关键．
20．（10分）我们定义一种新的运算符号“＊”：2a b a ab =-＊，如：
()()()23233215-=---⨯=＊．
(1)若()221x x -=+＊，求x 的值；
(2)若()320x -=⎡⎤⎣⎦＊＊，求x 的值．
【答案】(1)11x =，21
x =-(2)11x =，23
x =-【分析】（1）利用题中的新定义列方程即可求出x 值；
（2）利用题中的新定义列方程即可求出x 值．
【详解】（1）解：2221x x x +=+，
21x =，
解得11x =，21x =-．
（2）解：()29320x x -+=，
2230
x x +-=()()130
x x -+=解得11x =，23
x =-【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（7分）一只不透明的袋中装有标号分别为1、2、3、5的4个球，这些球除标号外都相同．
(1)从袋中任意摸出一个球，摸到标号为偶数的概率是；
(2)先从袋中任意摸出一个球后不放回，将球上的标号作为十位上的数字，再从袋中任意摸出一个球，将球上的标号作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数是奇数的概率．
【答案】(1)1
4
(2)图见解析，组成的两位数是奇数的概率为3
4
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出组成的两位数是奇数的结果数，然后根据概率公式计算即可．
【详解】（1）解：从袋中任意摸出一个球，摸到标号为偶数的概率为：1 4，
故答案为：1 4；
（2）解：根据题意画出树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中组成的两位数是奇数的结果数为9，
∴组成的两位数是奇数的概率为：93= 124，
∴组成的两位数是奇数的概率为3 4．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
22．（7分）为鼓励居民节约用电，某市采用价格调控手段达到省电目的．该市电费收费标准如下表（按月结算）:
每月用电量/度电价/（元/度）
不超过150度的部分0．50元/度
超过150度且不超过250度的部分0．65元/度
超过250度的部分0．80元/度
(1)某居民12月份用电量为180度，该居民12月应缴交电费元．
(2)设某月的用电量为x度()
<≤，求该月应该交的电费（用含x的代数式表
250300
x
示）．
(3)某居民12月份缴电费172元，则该居民12月份的用电量为度．【答案】(1)94.5
(2)()
x-元
0.8060
(3)290
【分析】（1）根据用电量类型，分别进行计算即可；
（2）根据用电量类型，分别代入计算即可；
（3）因为172140
>，所以该居民12份的用电量超过250度，据此列方程求解即可．
⨯+⨯-
【详解】（1）解：0.501500.65(180150)
=⨯+⨯
0.501500.6530
=+
7519.5
=（元)．
94.5
故答案为：94.5；
（2）解：依题意得：该月应该交的电费为
⨯+⨯-+-=-（元)．
x x
0.501500.65(250150)0.80(250)0.8060
答：该月应该交的电费为()
x-元；
0.8060
（3）解：因为172140
>，所以该居民12份的用电量超过250度．
x-=，
由（2）：0.8060172
解得：290
x=．
故答案为：290．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，解
题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，利用含x的代数式表示出该月应该交的电费；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
23．（8分）如图，已知∠A＝∠D，AB＝DB，点E在AC边上，∠AED＝∠CBE，AB和DE相交于点F．
（1）求证：△ABC≌△DBE．
（2）若∠CBE＝50°，求∠BED的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠BEC=65°
【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠ABD＝∠AED，求得∠ABC＝∠DBE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到BE＝BC，求得∠BEC＝∠C，根据三角形的内角和即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵∠A＝∠D，∠AFE＝∠BFD，
∴∠ABD＝∠AED，
又∵∠AED＝∠CBE，
∴∠=∠
ABD CBE
∴∠ABD+∠ABE＝∠CBE+∠ABE，
即∠ABC＝∠DBE，
在△ABC和△DBE中，
A D A
B DB AB
C DBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，∴△ABC ≌△DBE （ASA ）；
（2）解：∵△ABC ≌△DBE ，
∴BE ＝BC ，
∴∠BEC ＝∠C ，
∵∠CBE ＝50°，
∴∠BEC ＝∠C ＝65°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活的根据题中已知条件选择合适的判定方法是解题的关键.
24．（8分）如图，AD 是ABC 的角平分线，,DE AB DF AC ⊥⊥，垂足分别是,E F ，连接,EF EF 与AD 相交于点G
．
(1)求证：AD 是EF 的垂直平分线；
(2)若ABC 的面积为8，3,2AB DF ==，求AC 的长．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】（1）由角平分线的性质得到DE DF =，再由“HL ”证Rt Rt (HL)AED AFD △≌△，得AE AF =，然后由等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）根据2DE DF ==，由ABC ABD ACD S S S =+ 列方程求解即可．
【详解】（1）解：证明：AD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，DE DF ∴=，90AED AFD ∠=∠=︒，
在Rt AED △和Rt AFD △中，
DE DF AD AD
=⎧⎨=⎩，Rt Rt (HL)AED AFD ∴△≌△，
AE AF ∴=，
又AD 是ABC 的角平分线，
AD ∴是EF 的垂直平分线；
（2）1122
ABC ABD ACD S S S AB DE AC DF =+=⨯⨯+⨯⨯△△△，
∵2DE DF ==，3AB =，∴11322822ABC S AC =⨯⨯+⨯⨯=△，
∴5AC =．
【点睛】题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
25．（7分）九年级物理学习了电学知识后，小明选取了四个开关按键、一个电源、一个小灯泡和若干电线设计了如图的电路图（四个开关按键都处于打开状态）．
(1)若1K 闭合，则任意闭合其余三个开关按键中的一个，小灯泡能发光的概率为
______；
(2)求同时闭合其中的两个开关按键，灯泡能发光的概率．（用列表或树状图法）
【答案】(1)1 3
(2)1
2
【分析】（1）直接利用概率公式计算得出答案；
（2）利用树状图列举出所有可能，进而求出答案．
【详解】（1）若1K闭合，还剩下3个开关按键，只有闭合开关按键4K，灯泡才会发光，
所以P（灯泡发光）
1
3 =；
（2）用树状图分析如下：
一共有12种不同的情况，其中有6种情况下灯泡能发光，
所以P（灯泡发光）
61 122
==．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．26．（8分）如图，在ABC
中，B C
∠=∠，E，F为BC边上的两点，且F在E的右侧．已知BE CF
=．
(1)求证：AE AF =；
(2)若点D 在AF 的延长线上，AD AC =，30BAE ∠=︒，75BAD ∠=︒，求证：AB DC ∥．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的判定证得AB AC =，再证明ABF ACE ≌△△即可证得结论；
（2）根据全等三角形的性质得到30DAC BAE ∠=∠=︒，再根据等腰三角形的性质求得75ADC ACD ∠=∠=︒，进而得到BAD ADC ∠=∠即可证的结论．
【详解】（1）证明：∵B C ∠=∠，
∴AB AC =，
∵BE CF =，
∴BE EF CF EF +=+即BF CE =，
在ABF △和ACE △中，
AB AC B C BF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，∴()ABF ACE SAS ≌，
∴AE AF =；
（2）证明：∵ABF ACE ≌△△，
∴BAF CAE ∠=∠，
∴30DAC BAE ∠=∠=︒，
∵AD AC =，∴()1180752
ADC ACD DAC ∠=∠=⨯︒-∠=︒，又75BAD ∠=︒
∴BAD ADC ∠=∠，
∴AB DC ∥．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，利用全等三角形证明线段相等或角相等是解答的关键．
27．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+的图象与x 轴负半轴交于点()5,0A -，与y 轴交于B 点，与反比例函数m y x =交于()2,3C -，D 两点．
(1)求一次函数的解析式，并画出一次函数的图象；
(2)请直接写出不等式0m kx b x +-
<的解集；(3)求COD △的面积．
【答案】(1)5y x =+，图象见解析
(2)3,20
x x <--<<(3)5
2
【分析】（1）根据待定系数法求解析式，然后描出点,A C ，作直线AC 即可画出一次函数图像；
（2）联立一次函数与反比例数解析式求得点D 的坐标，结合函数图象即可求解．
（3）根据一次函数解析式求得点B 的坐标，进而根据COD DOB COB S S S =- 即可求解．
【详解】（1）解：∵一次函数经过()5,0A -，()2,3C -，
∴5023k b k b -+=⎧⎨-+=⎩
，解得：15
k b =⎧⎨=⎩，∴5y x =+，如图所示，
（2）解：∵反比例函数m y x
=
过点()2,3C -，∴236m =-⨯=-，
65y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩解得：23x y =-⎧⎨=⎩或32x y =-⎧⎨=⎩
，∴()3,2D -，∵0m kx b x
+-<即m kx b x +<，根据函数图象可知：3,20
x x <--<<（3）解：如图，连接,CO DO
，
∵5y x =+，令0x =，解得：5y =，
∴()0,5B ,
∴COD DOB COB S S S =- 1155352222=⨯⨯-⨯⨯=．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，求一次
函数与坐标轴交点问题，数形结合是解题的关键．
28．（12分）一个问题的解决往往经历发现规律-探索归纳-问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下．
(1)【发现规律】如图①，已知80
AOD
∠=︒，65
AOC
∠=︒，则AOB
∠的度数为
___________时，OC为BOD
∠的角平分线．
(2)【探索归纳】如图①，AOD m
∠=，AOC n
∠=，OC为BOD
∠的角平分线．猜想BOD
∠的度数（用含m，n的代数式表示），并说明理由．
(3)【问题解决】如图②，若110
AOD
∠=︒，80
AOC
∠=︒，10
AOB
∠=︒，射线OC，OB 同时绕点O旋转，OC以每秒10︒顺时针旋转，OB以每秒20︒逆时针旋转，当OB与OD重合时，OC，OB同时停止运动．设运动时间为t秒，问t为何值时，射线OC 为OD，OB，OA中任意两条射线夹角的角平分线．
【答案】(1)50︒
(2)22
BOD m n
∠=-，理由见解析
(3)1或5
2或15 4
【分析】（1）先根据角的和差关系计算出COD
∠，再根据COD COB AOC AOB
∠=∠=∠-∠求解；
（2）根据角的和差关系、角平分线的定义即可求解；
（3）按照OC 平分DOB ∠，OC 平分AOD ∠，OC 平分AOB ∠三种情况分别讨论，列出等式，即可求解．
【详解】（1）解： 80AOD ∠=︒，65AOC ∠=︒，
∴15COD AOD AOC ∠=∠-∠=︒，
当COD COB ∠=∠时，OC 为BOD ∠的角平分线，
∴15COB AOC AOB ∠=∠-∠=︒，
∴651550AOB AOC COB ∠=∠-∠=︒-︒=︒，
故答案为：50︒；
（2）解：22BOD m n ∠=-，理由如下：
AOD m ∠=，AOC n ∠=，
∴COD AOD AOC m n ∠=∠-∠=-，
OC 为BOD ∠的角平分线，
∴()2222BOD COD m n m m ∠=∠=-=-；
（3）解：由题意知，OC 旋转了10t ︒，OB 旋转了20t ︒，
80AOC ∠=︒，10AOB ∠=︒，
∴70BOC AOC AOB ∠=∠-∠=︒，
()77020103
︒÷︒+︒=，即OC 与OB 旋转73秒后重合． 110AOD ∠=︒，10AOB ∠=︒，
∴100BOD AOD AOB ∠=∠-∠=︒，
100205︒÷︒=，即OB 旋转5秒后与OD 重合．
①当OC 为OD ，OB 夹角的角平分线，即OC 平分DOB ∠时，
旋转后的11080103010DOC t t ∠=︒-︒+︒=︒+︒，801010207030BOC t t t ∠=︒-︒-︒-︒=︒-︒，
∴3010t ︒+︒7030t =︒-︒，
解得1t =；
②当OC 为OD ，OA 夹角的角平分线，即OC 平分AOD ∠时，
旋转后的11080103010DOC t t ∠=︒-︒+︒=︒+︒，
∴3010t ︒+︒11102
=⨯︒，解得52
t =；
③当OC 为OA ，OB 夹角的角平分线，即OC 平分AOB ∠时，
旋转后的8010AOC t ∠=︒-︒，1020AOB t ∠=︒+︒，
∴8010t ︒-︒()110202t =︒+︒，解得154
t =，综上可知，t 的值为1或5
2或154
．【点睛】本题考查角平分线的有关计算，一元一次方程的实际应用，涉及射线的旋转问题，有一定难度，解题的关键是厘清角的和差关系，注意分情况讨论，避免漏解．。