三角函数知识点归纳总结

三角函数知识点归纳总结
三角函数
一、任意角、弧度制及任意角的三角函数
1.任意角
角的概念可以推广为正角、负角、零角，根据旋转的方向不同。

同时也可以根据终边的位置分为象限角和轴线角。

对于一个角α，如果它的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，那么它就是一个象限角，终边落在第几象限就称它为第几象限角。

各象限角的集合分别为：
第一象限角：α=k·360°+α，k∈Z，αXXX°<α< k·360°+90°
第二象限角：α=k·360°+90°+α，k∈Z，αXXX°+90°<α< k·360°+180°
第三象限角：α=k·360°+180°+α，k∈Z，αXXX°+180°<α< k·360°+270°
第四象限角：α=k·360°+270°+α，k∈Z，αXXX°+270°<α< k·360°+360°
终边在x轴上的角的集合为：α=k·180°，k∈Z
终边在y轴上的角的集合为：α=k·180°+90°，k∈Z
终边在坐标轴上的角的集合为：α=k·90°，k∈Z
2.弧度制
弧度制是另一种角度量方式，其中1弧度的角是指长度等于半径长的弧所对的圆心角。

弧度与角度可以相互换算，其中360°=2π弧度，180°=π弧度。

对于一个半径为r的圆，它的圆心角α所对的弧长为l，则角α的弧度数的绝对值是α=l/r（弧度制），它的周长为C=2r+l，面积为S=lr=αr²。

3.任意角的三角函数定义
对于一个任意角α，它的终边上任意一点P(x，y)，它与
原点的距离为r=√(x²+y²)，则角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα=y/r，cosα=x/r，tanα=y/x。

三角函数值在各象限的符号规
律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦。

4.特殊角的三角函数值
特殊角的三角函数值可以通过表格来得到，如下表所示：
角度。

函数。

角a的弧度
1°。

sin(a)。

cos(a)。

tan(a)
30°。

1/2.√3/2.√3/3.π/6
45°。

√2/2.√2/2.1.π/4
60°。

√3/2.1/2.√3.π/3
90°。

1.0.无穷大。

π/2
120°。

√3/2.-1/2.-√3.2π/3
135°。

√2/2.-√2/2.-1.3π/4
150°。

1/2.-√3/2.-√3/3.5π/6
二、同角三角函数的基本关系与诱导公式
A.基础梳理
1.同角三角函数的基本关系
1)平方关系：sinα＋cosα＝1；在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号。

2)商数关系：sinα/cosα=tanα，cosα/sinα=cotα，
sin²α+cos²α=1.
2.诱导公式
公式一：sin(α+2kπ)=sinα，cos(α+2kπ)=cos_α，
tan(α+2kπ)=tanα，其中k∈Z。

公式二：sin(π+α)=－sinα，cos(π+α)=－cos_α，
tan(π+α)=tanα。

公式三：sin(π－α)=sinα，cos(π－α)=－cos_α，XXX(π－α)=－tanα。

公式四：sin(－α)=－sin_α，cos(－α)=cos_α，tan(－α)=－tanα。

公式五：sin(2π－α)=sinα，cos(2π－α)=－cos_α，tan(2π－α)=－tanα。

公式六：sin(2π+α)=sinα，cos(2π+α)=－cos_α，
tan(2π+α)=tanα。

诱导公式可概括为k·±α的各三角函数值的化简公式。

口诀：奇变偶不变，符号看象限。

其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化。

若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角时，根据k·±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结果符号。

B.方法与要点
一个口诀：诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限。

四种方法：
1)弦切互化法：主要利用公式tanα=sinα/cosα化成正、余弦。

2)和积转换法：利用(sinθ±cosθ)²=1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化。

3)巧用“1”的变换：1=sin²θ+cos²θ=sin(π/2-θ)+cos(π/2-
θ)=tan(π/4-θ/2)/cot(π/4+θ/2)。

4)齐次式化切法：已知tanα=k，则sinα=k/√(1+k²)，
cosα=1/√(1+k²)。

三、三角函数的图像与性质
一）知识要点梳理
1、正弦函数和余弦函数的图像：正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx的图像可以用五点法来作图。

先取横坐标分别为π/2.π。

3π/2.2π的五个点，然后用光滑的曲线把这五个点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图像。

2、正弦函数y=sinx(x∈R)、余弦函数y=cosx(x∈R)的性质：
1）定义域：都是R。

2）值域：都是[-1.1]。

对于y=sinx，当x=(2k+1)π/2 (k∈Z)时，y取最大值1；当x=2kπ (k∈Z)时，y取最小值-1.对于
y=cosx，当x=2kπ (k∈Z)时，y取最大值1，当x=(2k+1)π/2 (k∈Z)时，y取最小值-1.
3）周期性：y=sinx，y=cosx的最小正周期都是2π。

4）奇偶性与对称性：正弦函数y=sinx是奇函数，对称中心是(2kπ。

0) (k∈Z)，对称轴是直线x=kπ+π/2；余弦函数
y=cosx是偶函数，对称中心是(kπ+π/2.0) (k∈Z)，对称轴是直线x=kπ (k∈Z)。

正弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图像与x轴的交点。

5）单调性：y=sinx在[π/2+2kπ。

π+2kπ] (k∈Z)上单调递增，在[π+2kπ。

3π/2+2kπ] (k∈Z)上单调递减；y=cosx在[-
π/2+2kπ。

2kπ] (k∈Z)上单调递增，在[2kπ。

π/2+2kπ] (k∈Z)上单调递减。

3、正切函数y=tanx(x∈R)的图像：正切函数y=tanx的图像可以用三点法来作图。

先取横坐标分别为-π/2.0.π/2的三个点，然后用光滑的曲线把这三个点连接起来，就得到正切曲线在一个周期内的图像。

4、正切函数y=tanx(x∈R)的性质：
1）定义域：x≠(2k+1)π/2 (k∈Z)。

2）值域：(-∞。

+∞)。

3）周期性：最小正周期是π。

4）奇偶性与对称性：正切函数y=tanx是奇函数，对称中心是(0.0)，对称轴是原点所在的直线。

5）单调性：在每个开区间(-π/2+kπ。

π/2+kπ) (k∈Z)上单调递增或递减。

二）综合练
1、求正弦函数y=sinx的定义域、值域、周期、奇偶性和单调区间。

答：定义域是R，值域是[-1.1]。

最小正周期是2π。

正弦函数是奇函数，对称中心是(2kπ。

0) (k∈Z)，对称轴是直线
x=kπ+π/2.在每个开区间(π/2+2kπ。

π+2kπ) (k∈Z)上单调递增，在[π+2kπ。

3π/2+2kπ] (k∈Z)上单调递减。

2、求余弦函数y=cosx的定义域、值域、周期、奇偶性和单调区间。

答：定义域是R，值域是[-1.1]。

最小正周期是2π。

余弦
函数是偶函数，对称中心是(kπ+π/2.0) (k∈Z)，对称轴是直线
x=kπ (k∈Z)。

在[-π/2+2kπ。

2kπ] (k∈Z)上单调递增，在[2kπ。

π/2+2kπ] (k∈Z)上单调递减。

3、求正切函数y=tanx的定义域、值域、周期、奇偶性和
单调区间。

答：定义域是x≠(2k+1)π/2 (k∈Z)，值域是(-∞。

+∞)。

最
小正周期是π。

正切函数是奇函数，对称中心是(0.0)，对称轴
是原点所在的直线。

在每个开区间(-π/2+kπ。

π/2+kπ) (k∈Z)上
单调递增或递减。

2/||。

②若>0，则f(x)在0，T上单调递增，在T/2，
0上单调递减；若<0，则f(x)在0，T上单调递减，在T/2，0上单调递增。

4）奇偶性和对称性：XXX为奇数倍的/2，则f(x)是奇
函数；若为偶数倍的/2，则f(x)是偶函数。

对称中心为(x。

A)和(x+T/2.A)，对称轴为直线x=x+T/4.
5）最大值和最小值：最大值为A，最小值为A。

6）单调性：在一个周期内，当为奇数倍的/2时，f(x)在0，T/4上单调递增，在T/4，T/2上单调递减，在
T/2，3T/4上单调递增，在3T/4，T上单调递减；当
为偶数倍的/2时，f(x)在0，T/4上单调递减，在T/4，
T/2上单调递增，在T/2，3T/4上单调递减，在3T/4，
T上单调递增。

2.函数周期和单调性
对于函数$f(x)=A\text{tan}(\omega x+\phi)$，其最小正周
期为$T=\frac{2\pi}{|\omega|}$。

对于函数$y=Asin(\omega x+\phi)$，其中$A>0$，
$\omega>0$，其单调减区间为$2k\pi+\frac{\pi}{2\omega}\leq
\omega x+\phi\leq 2k\pi+\frac{3\pi}{2\omega}$，单调增区间为$2k\pi-\frac{\pi}{2\omega}\leq \omega x+\phi\leq
2k\pi+\frac{\pi}{2\omega}$。

在求单调区间时，需要注意
$A$和$\omega$的符号，通过诱导公式将$\omega$化为正数。

例如，对于函数$y=\text{sin}(-2x+\frac{\pi}{3})$，我们需
要先将$\omega$化为正数，即$y=\text{sin}(2x-\frac{5\pi}{3})$。

由此可得其单调减区间为$2k\pi+\frac{5\pi}{6}\leq 2x\leq
2k\pi+\frac{11\pi}{6}$，即$2k\pi+\frac{5\pi}{12}\leq x\leq
2k\pi+\frac{11\pi}{12}$。

函数y=Asin(ωx+ϕ)+b的图像与y=sin(x)图像的关系如下：①将y=sin(x)图像向左（当ϕ>0）或向右（当ϕ0）或向下（当
b<0）平移|b|个单位，得到y=Asin(ωx+ϕ)+b的图像。

如果要得到函数y=sin(2x-π/3)的图像，只需将函数
y=sin(2x)的图像向右平移π/6个单位。

函数y=Acos(ωx+ϕ)和y=Atan(ωx+ϕ)的性质和图像的变换
与y=Asin(ωx+ϕ)类似。

需要特别注意的是，若由y=sin(ωx)得
到y=sin(ωx+ϕ)的图像，则向左或向右平移应平移|ϕ|/π个单位。

以下是一些三角恒等变换公式：⑴两角和与差的正弦、余弦和正切公式：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，cos(α-
β)=cosαcosβ+sinαsinβ，sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-
β)=sinαcosβ-cosαsinβ，tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)，
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)。

⑵二倍角的正弦、余弦和正
切公式：sin2α=2sinαcosα，cos2α=cosα-sin2α=2cos2α-1=1-
2sin2α。

3、二弦归一：将两个三角函数的和或差化为一个三角函数。

例如：asinθ+bcosθ=a+bsin(θ+φ)，其中
tanφ=2/(1+cos2α)/(1-cos2α)，sinα=2b/(a^2+b^2)。

4、运算化简：在三角函数的化简、求值和证明中，常常
需要运用三角公式和技巧，灵活运用角的变换、函数名称变换、常数代换和幂的变换等方法。

例如，常用的角的变换有：将角α变为2α、将角α变为π/2-α等。

举例来说，如果tan(α+β)=1/3，tan(β-α)=2，则
tan(α+β)=3/2.
又如，已知c os(α+β)=1/2，cos(α-β)=-1/2，且π/2<α-β<π，
0<α+β<2π，则cos2α=-7/25，cos2β=-1.
另外，常数代换可以将常数转化为三角函数值，例如将1
代换为sinα+cosα或tan45；幂的变换可以将次数较高的三角
函数式降幂处理，常用的降幂公式有sin^2α=1/2(1-cos2α)等。

有时需要升幂，常用升幂公式。

例如，对于无理式
1+cosα，常用升幂化为有理式。

公式变形也是重要的技巧之一。

三角公式是变换的依据，应该熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形应用。

例如，cosαcosβ-sinαsinβ的结果为cos(α+β)，sinαcosβ+cosαsinβ的结果为sin(α+β)，tanα+tanβ的结果为sin(α+β)/cosαcosβ，1-
tanαtanβ的结果为cos(α+β)/cosαcosβ，tanα-tanβ的结果为
sin(α-β)/cosαcosβ，1+tanαtanβ的结果为cos(α-β)/cosαcosβ，sinαcosα的结果为sin2α/2，2sinαcosα的结果为sin2α，cos2α-sin2α的结果为cos2α，2cos2α-1的结果为cos2α，2sin2α-1的结果为1-cos2α，1+cosα的结果为2cos2(α/2)，1-cosα的结果为2sin2(α/2)，2tanα的结果为sinα/cosα，1-tan2α的结果为cos2α/cos2α，其中tanφ=sinφ/cosφ。

三角函数式的化简运算也有基本规则。

复角化单角，异角化同角，见切化弦，二弦归一，高次化低次，特殊值与特殊角的三角函数互化。

例如，asinθ+bcosθ可以化简为Rsin(θ-α)，其中R=sqrt(a^2+b^2)，α=arctan(b/a)。