湖南省怀化市2018年上期高二期末考试理科数学试题(含精品解析)

2018年上期高二期末考试理科数学试题
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上.）
1. 设集合，,则等于（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：解出集合中的元素，取交集即可.
详解：集合,.等于.
故答案为：A.
点睛：本题考查了集合的交集运算和不等式的解法，属于基础题。

2. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：分别判断函数的奇偶性和单调性，即可得到结论．
详解：A．函数为奇函数，不满足条件．
B．y=﹣x2+1是偶函数，当x＞0时，函数为减函数，不满足条件．
C.是偶函数又在上单调递减，故不正确.
D．y=|x|+1是偶函数，当x＞0时，y=x+1是增函数，满足条件．
故选：D．
点睛：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，结合函数奇偶性和单调性的定义和函数的性质是解决本题的关键．
3. 函数的零点所在的一个区间是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：判断函数值，利用零点定理推出结果即可．
详解：函数，
可得：f（﹣1）=5＞0，
f（0）=3＞0，
f（1）=＞0，
f（2）=＞0，
f（3）=﹣，
由零点定理可知，函数的零点在（2，3）内．
故选：A．
点睛：本题考查零点存在定理的应用，考查计算能力．零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
4. 以，为端点的线段的垂直平分线方程是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：求出AB的中点坐标，求出AB的中垂线的斜率，然后求出中垂线方程．
详解：因为A（1，3），B（﹣5，1），
所以AB的中点坐标（﹣2，2），直线AB的斜率为：，
所以AB的中垂线的斜率为：﹣3，
所以以A（1，3），B（﹣5，1）为端点的线段的垂直平分线方程是y﹣2=﹣3（x+2），即3x+y+4=0．
故选：B．
点睛:本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，直线方程的求法，考查计算能力．
5. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
【答案】D
【解析】分析：结合选项，根据课本定理或者举出反例进行取舍即可.
详解：A. 若，，则，不正确，两直线有可能是相交的情况.
B. 若，，，则,不正确，因为两直线有可能是异面的情况.
C. 若，，则,不正确，直线n可能和直线m斜交，不垂直，此时直线n和平面不垂直.
D若，，,根据面面垂直的判定定理得到，故命题正确.
故答案为：D.
点睛：本题主要考查了平面的基本性质及推论，是高考中常见的题型，往往学生忽视书本上的基本概念，值得大家注意．对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断；还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.
6. 为了了解我校今年准备报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为12,则抽取的学生总人数是（）
A. 12
B. 24
C. 48
D. 56
【答案】C
【解析】试题分析：根据题意可知，第组的频数为，前组的频率和为，
所以抽取的学生总人数为，故选C.
考点：频率分布直方图与频数．
7. 若如下框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于的条件是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：根据赋值框中对累加变量和循环变量的赋值，先判断后执行，假设满足条件，依次执行循环，到累加变量S的值为35时，再执行一次k=k+1，此时判断框中的条件不满足，由此可以得到判断框中的条件．
详解：框图首先给累加变量S赋值1，给循环变量k赋值10．
判断10＞6，执行S=1+10=11，k=10﹣1=9；
判断9＞6，执行S=11+9=20，k=9﹣1=8；
判断8＞6，执行S=20+8=28，k=8﹣1=7；
判断7＞6，执行S=28+7=35，k=6；
判断6≤6，输出S的值为35，算法结束．
所以判断框中的条件是k＞6？．
故答案为:D.
点睛：本题考查了程序框图中的循环结构，考查了当型循环，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时，算法结束，此题是基础题．
8. 已知直线与圆交于,两点，且（其中为坐标原点），则实数的值为（）
A. B. C. 2或 D. 或
【答案】C
【解析】分析：利用OA⊥OB，OA=OB，可得出三角形AOB为等腰直角三角形，由圆的标准方程得到圆心坐标与半径R，可得出AB，求出AB的长，圆心到直线y=﹣x+a的距离为AB的一半，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到实数a的值．
详解：∵OA⊥OB，OA=OB，
∴△AOB为等腰直角三角形，
又圆心坐标为（0，0），半径R=2，
∴AB=.
∴圆心到直线y=﹣x+a的距离d=AB==，
∴|a|=2，
∴a=±2．
故答案为：C．
点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.
9. 若某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积等于（）
A. 10
B. 20
C. 30
D. 60
【答案】B
【解析】分析：根据三视图得到原图，再由椎体的体积公式得到结果.
详解：由三视图得到原图是，底面为直角三角形，高为5的直棱柱，沿面对角线切去一个三棱锥后剩下的
部分。

体积为：
故答案为：B.
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；
3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
10. 河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共
有1016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个
数列，则的值为（）
A. 16
B. 12
C. 10
D. 8
【答案】B
【解析】分析：根据条件得到数列是公比2的等比数列，7项之和为1016，设首项为，和为
，进而求出.
详解：每上层的数量是下层的2倍，得到数列是公比2的等比数列，7项之和为1016，设首项为，
和为，则=
故答案为：B.
点睛：本题考查等比数列的通项公式与前n项和的应用，是基础的计算题，对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.
11. 将函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：，沿轴向右平移个单位后得到为
偶函数，因此，从而选C.
考点：三角函数图像与性质
【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言. 函数y＝Asin（ωx＋φ），x∈R是奇函数⇔φ＝kπ（k∈Z）；函数y＝Asin（ωx＋φ），x∈R是偶函数⇔φ＝kπ＋（k∈Z）；函数
y＝Acos（ωx＋φ），x∈R是奇函数⇔φ＝kπ＋（k∈Z）；函数y＝Acos（ωx＋φ），x∈R是偶函数
⇔φ＝kπ（k∈Z）；
12. 已知函数，对于任意，且，均存在唯一实数，使得，且，若关于的方程有4个不相等的实数根，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：根据题意画出的图像和的图像，得到，代入解得不等式即可.
详解：由题意可得示意图如下
由，，
可推得
点睛：本题中涉及根据函数零点求参数取值，是高考经常涉及的重点问题，
（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；
（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；
（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上的相应横线上.）
13. 已知，，，则向量与向量的夹角为________________.
【答案】.
【解析】分析：由条件利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得向量与向量的夹角的余弦值，可得向量与向量的夹角的值
详解：由题意可得| |=1，| |=2，（﹣）•=0，即=，
∴1×2×cosθ=1（θ为向量与向量的夹角），求得cosθ=，∴θ=，
故答案为：．
点睛：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．
14. 已知角的终边与单位圆交点的横坐标是，则____________.
【答案】.
【解析】试题分析：由角的终边与单位圆交点的横坐标是，即.由于
.所以.
考点：1.三角函数的定义.2.三角函数的诱导公式.
15. 已知满足约束条件，若目标函数的最大值为7，则的最小值为____________.
【答案】7.
【解析】分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，利用直线平移法求出当x=3且y=4时，z=ax+by取得最大值为7，即3a+4b=7．再利用整体代换法，根据基本不等式加以计算，可
得当a=b=1时的最小值为7．
详解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，0），B（3，4），C（0，1）
设z=F（x，y）=ax+by（a＞0，b＞0），
将直线l：z=ax+by进行平移，并观察直线l在x轴上的截距变化，
可得当l经过点B时，目标函数z达到最大值．
∴z max=F（3，4）=7，即3a+4b=7．
因此，=（3a+4b）（）=[25+12（）]，
∵a＞0，b＞0，可得≥2=2，
∴≥（25+12×2）=7，当且仅当a=b=1时，的最小值为7．
故答案为：7
点睛：利用线性规划求最值的步骤：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．
(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.
【答案】.
【解析】分析：根据题意知函数f（x）图象的对称中心坐标为（1，﹣1），即x1+x2=2时，总有f（x1）+f（x2）=﹣2，再利用倒序相加，即可得到结果．
详解：
当时，
，的对称中心为
点睛：这个题目考查了函数的对称性，一般函数的对称轴为a，
函数的对称中心为（a,0）；
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知，，分别为的角，，的对边，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若,的面积为，求，.
【答案】(1).
(2) .
【解析】试题分析：（1）由题设条件及正弦定理可化简得，即求解角；
（Ⅱ）由三角形的面积公式，可得，在由余弦定理得，即可求解的值．
试题解析：
（1）由及正弦定理得，
∵，∴，
又，故．
（Ⅱ）∵的面积为，∴．
由余弦定理得，故．
解得 .
18. 已知数列满足，，.
（Ⅰ）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
【答案】(1).
(2).
【解析】试题分析：（1）由得出，由等比数列的定义得出数列为等比
数列，并且求出的通项公式；（2）求出数列的通项公式，利用错位相减法求出数列的前n项和。

试题解析：
（1）由，
得，
即，且,
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以，
故数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，
所以.
所以.①
.②
①-②，得
，
所以.
故数列的前项和.
19. 如图，四边形为菱形，，平面，，，为的中点.
（Ⅰ）求证：平面
（Ⅱ）求证：
（Ⅲ）若为线段上的点，当三棱锥的体积为时，求的值.
【答案】(1)证明见解析.
(2)证明见解析.
(3).
【解析】分析：（1）设AC∩BD=O，连结EO，MO，推导出四边形EOMF为平行四边形，从而
FM∥EO．由此能证明FM∥平面BDE；（2）推导出AC⊥BD，ED⊥AC，从而AC⊥平面BDE，由此能证明AC⊥BE；（Ⅲ）过G作ED的平行线交BD于H，则GH⊥平面ABCD，GH为三棱锥G﹣BCD的高，三棱锥
G﹣BCD的体积，由此能求出的值．
详解：
（Ⅰ）设,连结.
由已知分别是的中点，
因为,且,
所以,且，所以,且.
所以平行四边形为平行四边形
所以
又因为平面，平面，
所以平面
（Ⅱ）因为为菱形，所以
因为平面,所以
因为,所以平面
又因为平面,所以
（Ⅲ）过作的平行线交于.
由已知平面，所以平面.
所以为三棱锥的高.
因为三棱锥的体积为，所以三棱锥的体积
所以
所以.所以.
点睛：本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查两线段比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.
20. 现从某医院中随机抽取了七位医护人员的关爱患者考核分数（患者考核：10分制），用相关的特征量表示；医护专业知识考核分数（试卷考试：100分制），用相关的特征量表示，数据如下表：
（Ⅰ）求关于的线性回归方程（计算结果精确到0.01）；
（Ⅱ）利用（I）中的线性回归方程，分析医护专业考核分数的变化对关爱患者考核分数的影响，并估计某医护人员的医护专业知识考核分数为95分时，他的关爱患者考核分数（精确到0.1）；
（Ⅲ）现要从医护专业知识考核分数95分以下的医护人员中选派2人参加组建的“九寨沟灾后医护小分队”培训，求这两人中至少有一人考核分数在90分以下的概率.
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
【答案】(1).
(2) 随着医护专业知识的提高，个人的关爱患者的心态会变得更温和，耐心，因此关爱患者的考核分数也会稳步提高.
(3) .
【解析】分析：（1）根据表中数据计算、，求出回归系数，写出回归方程；（2）根据（Ⅰ）中的线性回归方程知x与y是正相关，计算x=95时y的值即可；（3）从中任选连个的所有情况有共六种，至少有一个分数在90分以下的情况有3种，根据古典概型的计算公式进行计算即可.
详解：
（Ⅰ）由题得，
所以
所以线性回归方程为
（Ⅱ）由于.
所以随着医护专业知识的提高，个人的关爱患者的心态会变得更温和，耐心，因此关爱患者的考核分数也会稳步提高
当时，
（Ⅲ）由于95分以下的分数有88,90,90,92，共4个，则从中任选连个的所有情况有，，
，，，，共六种.
两人中至少有一个分数在90分以下的情况有，，，共3种.
故选派的这两个人中至少有一人考核分数在90分以下的概率 .
点睛：本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题.对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.
21. 已知圆心为的圆，满足下列条件：圆心位于轴正半轴上，与直线相切且被轴截得的弦长为，圆的面积小于13.
（Ⅰ）求圆的标准方程；
（Ⅱ）设过点的直线与圆交于不同的两点，以为邻边作平行四边形.是否存在这样的直线，使得直线与恰好平行?如果存在，求出的方程；如果不存在，请说明理由.
【答案】(1).
(2) 不存在这样的直线.
【解析】试题分析：（I）用待定系数法即可求得圆C的标准方程；（Ⅱ）首先考虑斜率不存在的情况.当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2).l与圆C相交于不同的两点，那么Δ>0.由题设及韦达定理可得k与x1、x2之间关系式，进而求出k的值.若k的值满足Δ>0，则存在；若k的值不满足Δ>0，则不存在.
试题解析：（I）设圆C：(x-a)2+y2=R2(a>0)，由题意知
解得a=1或a=，3分
又∵S=πR2<13，
∴a=1，
∴圆C的标准方程为：(x-1)2+y2=4．6分
（Ⅱ）当斜率不存在时，直线l为：x=0不满足题意．
当斜率存在时，设直线l：y=kx+3，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
又∵l与圆C相交于不同的两点，
联立消去y得：(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0，9分
∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=36k2-6k-5>0，
解得或．
x1+x2=，y1+ y2=k(x1+x2)+6=，
，，
假设∥，则，
∴，
解得，假设不成立．
∴不存在这样的直线l．13分
考点：1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系.
22. 已知函数.
（Ⅰ）当时，证明：为偶函数；
（Ⅱ）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若，求实数的取值范围，使在上恒成立.
【答案】(1)证明见解析.
(2).
(3).
【解析】分析：（1）利用函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性；（2）利用函数单调性的定义进
行证明即可；（3）不等式恒成立，等价于
即恒成立，设，则，解出的最大值即可.详解：
（Ⅰ）当时，定义域为R关于原点对称
而
故为偶函数
（Ⅱ）在上任取，
则
因为，函数为增函数，得，，
而在上单调递增，得，
于是必须恒成立，
即对任意恒成立，
（Ⅲ）由（1）、（2）知函数在上递减，
在上递增，其最小值为，
且，
设，则，
于是不等式恒成立，等价于
即恒成立
而，仅当，
即时取最大值
故.
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若
恒成立；
（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）。