2020届高考数学一轮复习第五章平面向量5.2平面向量的数量积及平面向量的应用教师用书文(PDF,含解析)

·ｃ 得 ａ·（ ｂ－ｃ）＝ ０，即 ａ 与（ ｂ－ｃ） 垂直．
（２）数量积的运算不满足向量的结合律，即（ ａ·ｂ） ·ｃ 不一
定等于 ａ·（ｂ·ｃ） ，这是由于（ ａ·ｂ） ·ｃ 表示一个与 ｃ 共线的向
量，而 ａ·（ｂ·ｃ）表示一个与 ａ 共线的向量，而向量 ｃ 与 ａ 不一
定共线．
４．向量数量积的应用
（１）
在Ａ→Ｉ
＝
λ
æ
ç
è
｜
→ＡＢ →ＡＢ
｜
＋
｜
→ＡＣ →ＡＣ
｜
ö
÷
ø
的条件下，存在
λ
使得
Ｉ
为△ＡＢＣ
的内心；
ａ →ＰＡ＋ｂ Ｐ→Ｂ＋ｃ Ｐ→Ｃ ＝ ０⇔Ｐ 为△ＡＢＣ 的内心． （２） ｜ →ＰＡ ｜ ＝ ｜ Ｐ→Ｂ ｜ ＝ ｜ Ｐ→Ｃ ｜ ⇔Ｐ 为△ＡＢＣ 的外心． （３）→ＧＡ＋Ｇ→Ｂ＋Ｇ→Ｃ ＝ ０⇔Ｇ 为△ＡＢＣ 的重心． （４）→ＰＡ·Ｐ→Ｂ ＝ Ｐ→Ｂ·Ｐ→Ｃ ＝ Ｐ→Ｃ·→ＰＡ⇔Ｐ 为△ＡＢＣ 的垂心．
（ ２） 坐标法求解，即通过建立直角坐 标 系，将 所 要 研 究 的 向 量转化为坐标来加以研究． 一般地，若所要研究的问题是一些特 殊的几何图形，如矩形、正方形、直角三角形、等腰三角形、正三 角形等，往往这些图形能很方便地建立直角坐标系．
２．求向量 ａ 在向量 ｂ 方向上的投影的方法 （１） 根据定义求解，即 ａ 在 ｂ 方向上的投影为 ｜ ａ ｜ ｃｏｓ〈 ａ，ｂ〉 ； （２） 利用数量积求解，即 ａ 在 ｂ 方向上的投影为ａ｜·ｂ ｜ｂ． ３．根据数量积求参数的值 若已知两平面向量的数量积，则根据坐标公式或定义列出 含有参数的方程，再解方程即可．
第五章 平面向量 ５ ３
§ ５．２ 平面向量的数量积及平面向量的应用
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������
与 ｅ 的夹角，则
（１） ｅ·ａ ＝ ａ·ｅ ＝ ｜ ａ ｜ ｃｏｓ θ．
（２）ａ⊥ｂ⇔ａ·ｂ ＝ ０．
（３） 当 ａ 与 ｂ 同向时，ａ·ｂ ＝ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ；
当 ａ 与 ｂ 反向时，ａ·ｂ ＝ － ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ．
特别地，ａ·ａ ＝ ｜ ａ ｜ ２ ．
（４） ｃｏｓ
θ
＝
｜
ａ·ｂ ａ｜ ｜ｂ
（ ２０１８ 广东佛山二模，１４） 在 Ｒｔ △ＡＢＣ 中，∠Ｂ ＝ ９０°，
５ ４ ５ 年高考 ３ 年模拟 Ｂ 版（ 教师用书）
ＢＣ ＝ ２，ＡＢ ＝ １，Ｄ 为 ＢＣ 的中点，Ｅ 在斜边 ＡＣ 上，若→ＡＥ ＝ ２ Ｅ→Ｃ，则 Ｄ→Ｅ·→ＡＣ ＝ ．
解析 解法一：∵ ∠Ｂ ＝ ９０°，
∴ Ｂ→Ｃ·→ＢＡ ＝ ０． 由 Ｄ 为 ＢＣ 中点，→ＡＥ ＝ ２ Ｅ→Ｃ得
Ｄ→Ｅ ＝ Ｄ→Ｃ＋Ｃ→Ｅ ＝
１ ２
Ｂ→Ｃ －
１ ３
→ＡＣ
＝
１ ２
Ｂ→Ｃ －
１ ３
（ Ｂ→Ｃ －→ＢＡ） ＝
１ ６
Ｂ→Ｃ ＋
１ ３
→ＢＡ，又→ＡＣ ＝
Ｂ→Ｃ－→ＢＡ，
( ) ∴ Ｄ→Ｅ·→ＡＣ ＝
１ ６
Ｂ→Ｃ＋
１ ３
→ＢＡ
ｘ２１ ＋ｙ２１ · ｘ２２ ＋ｙ２２
（３）求线段长度问题，常利用向量的长度公式： ｜ ａ ｜ ＝ ａ２ ＝
ｘ
２ １
＋ｙ２１
或
｜
→ＡＢ
｜
＝
（ｘＢ －ｘＡ）２ ＋（ｙＢ －ｙＡ）２ ．
投影和两向量的数量积都是数量，不是向量．
３．向量数量积的性质
设 ａ、ｂ 都是非零向量，ｅ 是与 ｂ 方向相同的单位向量，θ 是 ａ
·（ Ｂ→Ｃ －→ＢＡ） ＝
１ ６
Ｂ→Ｃ２ －
１ ６
Ｂ→Ｃ ·
→ＢＡ＋
１ ３
→ＢＡ·Ｂ→Ｃ－
１ ３
→ＢＡ２ ＝
Байду номын сангаас
１ ６
×４－
１ ３
×１ ＝
１ ３
．
解法二：以 Ｂ 为坐标原点，ＡＢ 所在直线为 ｘ 轴，ＢＣ 所在直
线为 ｙ 轴，建立平面直角坐标系，
则 Ｂ（０，０） ，Ａ（１，０） ，Ｃ（０，２） ，
所以→ＡＣ ＝ （ －１，２） ．
对应学生用书起始页码 Ｐ９２
一、平面向量数量积的运算
������������������������������������������
１．平面向量的数量积通常可以从两个角度求解： （ １） 基底法求解，即选择两个不共线 的 向 量 作 为 基 底，将 所
要研究的向量用基底的形式表示出来加以研究，一般地，基底要 选择长度或角度已知的向量．
｜
．
（５） ｜ ａ·ｂ ｜ ≤ ｜ ａ ｜ · ｜ ｂ ｜ ．
若 ａ ＝ （ ｘ，ｙ） ，则 ｜ ａ ｜ ＝ ｘ２ ＋ｙ２ ，所以与 ａ 同向的单位向量
ａ０
＝
｜
ａ ａ
｜
＝
１
（ ｘ，ｙ） ＝
æ
ç
ｘ２ ＋ｙ２
è
ｘ， ｘ２ ＋ｙ２
ｙ
ö
÷
．
ｘ２ ＋ｙ２ ø
５．向量中常用的结论
在△ＡＢＣ 中，∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ 所对的边分别为 ａ，ｂ，ｃ．
已知 ａ ＝ （ ｘ１ ，ｙ１ ） ，ｂ ＝ （ ｘ２ ，ｙ２ ） ，则 （ １） 证明垂直问题，常用向量垂直的充要条件，ａ⊥ｂ⇔ａ· ｂ
＝ ０⇔ｘ１ ｘ２ ＋ｙ１ ｙ２ ＝ ０．
（２） 求 解 夹 角 问 题， 常 利 用 夹 角 公 式： ｃｏｓ
θ
＝
ａ·ｂ ｜ａ｜ ｜ｂ｜
＝
ｘ１ｘ２ ＋ｙ１ｙ２
（其中 θ 为 ａ 与 ｂ 的夹角）．
１．两个向量的夹角 （ １） 定义和范围
（ ２） 两向量的夹角分别是锐角与钝角的充要条件 ２．平面向量的数量积
对应学生用书起始页码 Ｐ９１
易错警示 （１） 当 ａ≠０ 时，由 ａ·ｂ ＝ ０ 不一定推出 ｂ ＝ ０，这
是因为对任一个与 ａ 垂直的向量 ｂ，都有 ａ·ｂ ＝ ０．
当 ａ≠０ 时，ａ·ｂ ＝ ａ·ｃ 也不一定推出 ｂ ＝ ｃ，因为由 ａ·ｂ ＝ ａ
因为 Ｄ 为 ＢＣ 的中点，所以 Ｄ（０，１） ，
( ) 因为→ＡＥ ＝ ２ Ｅ→Ｃ，所以 Ｅ
１４ ，
３３
，
( ) 所以Ｄ→Ｅ ＝
１ ３
，
１ ３
，
( ) 所以Ｄ→Ｅ·→ＡＣ ＝
１１ ，
３３
·（ －１，２） ＝ －
１ ３
＋