湖北省黄冈中学2024-2025学年高一实验班上学期第一次练习数学试题(含解析)

2024-2025学年湖北省黄冈中学高一实验班上学期第一次练习
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合A ={x ∈Z|4x−x 2>0}，则满足A ∪B ={1,2,3,4,5}的集合B 的个数为( )A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
2.当x >1时，不等式x +1
x−1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,2]
B. [2,+∞)
C. [3,+∞)
D. (−∞,3]
3.若函数y =f(x)的值域是[1,3]，则函数F(x)=1−f(x +3)的值域是( )A. [−8,3]
B. [−5,−1]
C. [−2,0]
D. [1,3]
4.已知函数f(x 2−x)定义域为(0,2)，则f(1
x −1)定义域是( )A. (13,4
3)
B. [13,4
3)
C. (13,4
3]
D. [13,4
3]
5.设函数f(x)={
x +2,(x <0)
3x +1,(x ≥0)，则f (f(−2))=( )A. 3
B. 1
C. 0
D. 1
3
6.已知命题p:a−4
a ≤0，命题q ：不等式ax 2+ax +1≤0的解集为⌀，则p 成立是q 成立的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
7.若函数f(x)=
2x 2−mx +3的值域为[0,+∞)，则实数m 的取值范围是( )．A. (−∞,−2
6] B. (−∞,−2 6]∪[2
6,+∞)C. [−2 6,2
6]
D. [2
6,+∞)
8.已知定义在R 上的函数f (x )=x 2−2tx +1，在(−∞,1]上单调递减，且对任意的x 1,x 2∈[0,t +1]，总有|f (x 1)−f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围是( )
A. [1,
2]
B. [−1,1]
C. [0,1]
D. [1,3]
二、多选题：本题共3小题，共15分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列命题，其中正确的命题是( )
A. 函数y=(12)x2+4x+3的最小值为2
B. 若3a=4b=36，则2
a +1
b
的值为1
C. 函数y=5+4x−x2的减区间是[2,+∞)
D. 已知f(x)在R上是增函数，若a+b>0，则f(a)+f(b)>f(−a)+f(−b)
10.定义运算a⊕b={a(a≥b)
b(a<b)，设函数f(x)=1⊕2−x，则下列命题正确的有( )
A. f(x)的值域为[1,+∞)
B. f(x)的值域为(0,1]
C. 不等式f(x+1)<f(2x)成立的x的取值范围是(−∞,0)
D. 不等式f(x+1)<f(2x)成立的x的取值范围是(0,+∞)
11.已知正数x，y，z满足5x=9y=15z，则( )
A. xz+2yz−2xy=0
B. 5x<9y<15z
C. xy<2z2
D. 9x+2y<16z
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知函数f(x)=b−2x
2x+1
是定义在区间[−2a,3a−1]上的奇函数，则a+b=
13.函数f(x)=2x2+4x−7
x2+2x+3
的值域为．
14.设a、b分别是方程log2x+x+2=0与2x+x+2=0的根，则a+b=．
四、解答题：本题共5小题，共60分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)
已知A={x|−2≤x≤3}，B={x|a−2<x<3a}，全集U=R
(1)若a=2，求A∩(∁U B)；
(2)若A⊇B，求实数a的取值范围．
16.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg[(a2−1)x2+(a+1)x+1]．
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．
17.(本小题12分)
某企业现有A，B两条生产线，根据市场调查，A生产线的利润f(x)(单位：万元)与投入金额x(单位：万元)的关系式为f(x)=log2x+1+mx+n，x≥0，B生产线的利润g(x)(单位：万元)与投入金额x(单位：万元)的关系式为g(x)=x−log2(32−x)+p，0≤x<32.假定f(0)=g(0)=0且f(3)=4．
(1)求实数m，n，p的值；
(2)该企业现有22万元资金全部投入A，B两条生产线中，问：怎样分配资金，才能使企业获得最大利润？并求出最大利润．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)为对数函数，并且它的图象经过点(22,32)，函数g(x)=[f(x)]2−2bf(x)+3在区间[2,16]上的最小值为ℎ(b)，其中b∈R．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数y=g(x)的最小值ℎ(b)的表达式；
(3)是否存在实数m、n同时满足以下条件：①m>n>4；②当ℎ(b)的定义域为[n,m]时，值域为[n2,m2].若存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由．
19.(本小题12分)
若在定义域内存在实数x0，使得f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立，则称函数有“飘移点”x0．
(1)函数f(x)=1
是否有“飘移点”？请说明理由；
x
(2)证明函数f(x)=x2+2x在(0,1)上有“飘移点”；
(3)若函数f(x)=lg(a x2+1)在(0,+∞)上有“飘移点”，求实数a的取值范围．
答案解析
1.C
【解析】解：对于集合A，由4x−x2>0，解得0<x<4，
又∵x∈Z，∴A={x∈Z|4x−x2>0}={1,2,3}．
又∵A∪B={1,2,3,4,5}，
∴满足条件的集合B可能为{4,5}，{1,4,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}，{2,3,4,5}，{1,2,3,4,5}，共8个．
故选：C．
2.D
【解析】解：∵当x>1时，不等式x+1
x−1
≥a恒成立，
∴a≤x+1
x−1
对x>1均成立．
由于x+1
x−1=x−1+1
x−1
+1≥2+1=3，
当且仅当x=2时取等号，
故x+1
x−1
的最小值等于3，
∴a≤3，
则实数a的取值范围是(−∞,3]．
故选：D．
3.C
【解析】解：因为函数y=f(x)的值域是[1,3]，所以1≤f(x)≤3，
所以1≤f(x+3)≤3，
所以−3≤−f(x+3)≤−1，
所以−2≤1−f(x+3)≤0，
故函数F(x)=1−f(x+3)的值域是[−2,0]．
故选：C．
4.C
【解析】解：∵f(x 2−x)的定义域为(0,2)，∴0<x <2，所以−1
4⩽x 2−x <2，所以f(x)的定义域为[−1
4,2),
即f(1
x −1)需满足−14⩽1
x −1<2，解得1
3<x⩽4
3．故选C ．
5.A
【解析】解：因为f(−2)=−2+2=0，所以f(f(−2))=f(0)=30+1=3．故选A ．
6.D
【解析】解：由a−4
a ≤0得0<a ≤4，
由不等式ax 2+ax +1≤0的解集为⌀，所以a =0或者{
a >0
Δ=a 2−4a <0，解得0<a <4，综上q 为真时，0≤a <4，
故p 成立是q 既不充分也不必要条件，故选：D
7.B
【解析】解：因为函数f(x)=
2x 2−mx +3的值域为[0,+∞),
所以2x 2−mx +3能取遍所有大于或等于零的实数，即方程2x 2−mx +3=0在实数范围内有解．
所以Δ=m 2−4×2×3=m 2−24≥0，解得m ∈(−∞,−2 6]∪[2
6,+∞)．
故选：B ．
8.A
【解析】解：二次函数f (x )=x 2−2tx +1=(x−t )2+t 2+1的对称轴为x =t ，且开口向上，所以函数f(x)在(−∞,t ]上单调递减，在(t,+∞]上单调递增，又已知f(x)在(−∞,1]上单调递减，所以(−∞,1]⊆(−∞,t ]，解得t ≥1．
因为函数f (x )在[0,t ]上单调递减，在[t,t +1]上单调递增，
又t−0⩾1,t+1−t=1，由对称性可知f(0)≥f(t+1)，
所以当x=0时，取得最大值，即最大值为f(0)=1，
在当x=t时取得最小值，即最小值为f(t)=−t2+1，
要使对任意的x1,x2∈[0,t+1]，都有|f(x1)−f(x2)|≤2，只要f(x)max−f(x)min≤2成立即可，
所以f(x)max−f(x)min=1−(−t2+1)⩽2，解得−2⩽t⩽2，
又t≥1，所以t的取值范围为[1,2]，即t∈[1,2]．
故选：A．
9.BD
【解析】解：对于A选项，因为x2+4x+3=(x+2)2−1≥−1，所以y=(12)x2+4x+3≤(12)−1=2，故 A错误；
对于B选项，若3a=4b=36，则a=log336，b=log436，则2
a +1
b
=2log363+log364=log3632+log36
4=log3636=1，故 B正确；
对于C选项，解不等式5+4x−x2≥0得−1≤x≤5，所以函数的定义域为[−1,5]，y=5+4x−x2开口向下，对称轴为x=2，所以函数y=5+4x−x2的减区间是[2,5]，故 C错误；
对于D选项，由a+b>0得a>−b,b>−a，由于f(x)在R上是增函数，故f(a)>f(−b),f(b)>f(−a)，所以f(a)+f(b)>f(−a)+f(−b)，故 D正确．
故选：BD．
10.AC
【解析】解：由题意知，函数f(x)=1⊕2−x={(12)x,x<0
1,x≥0
，画出函数f(x)的图象，
如图所示：
所以f(x)的值域是[1,+∞)，选项A正确，B错误；
若不等式f(x+1)<f(2x)成立，由函数图象得：
①{
x +1⩽02x <0x +1>2x ，解得x⩽−1，
②{
2x <0
x +1>0，解得−1<x <0．
综上知，不等式f(x +1)<f(2x)成立的x 的取值范围是(−∞,0)，所以C 正确，D 错误．故选：AC ．
11.AB
【解析】解：令5x =9y =15z =t(t >1)，所以x =log 5t ，y =log 9t ，z =log 15t ，所以1x +12y =1log 5t +1
2log 9t
=log t 5+12log t 9=log t 15=1log 15t =1
z ，
所以xz +2yz−2xy =0，故A 正确;
5x 9y =5 log 5t 9 log 9t =5
9
log 59=log 5959<log 55=1，所以5x <9y ，
又9y 15z =9log 9t 15log 15t =3
5log 915=log 9153
5<log 99=1，所以9y <15z ，所以5x <9y <15z ，故B 正确;
1z
=1x +12y ⩾2 12xy ，若1x =12y ，即x =2y ，log 5t =2log 9t ，lg t lg5=2lg t
lg9，lg9=2lg5，lg9=lg52，不成立，故上式等号不成立，
所以1x +12y >2
1
2xy ，即xy >2z 2，故C 错误;
9x +2y =z(9x +2y)(1x +12y )=z(10+9x 2y +2y x )⩾z(10+2 9x 2y ·2y
x )=16z ，
若9x
2y =2y
x ，即9x 2=4y 2，3x =2y ，3log 5t =2log 9t ，3lg t
lg5=2lg t
lg9，3lg9=2lg5，lg93=lg52，不成立，故上式等号不成立，
故9x +2y >16z ，故D 错误．
12.2
【解析】解：由题意得−2a +3a−1=0，解得a =1，
即函数f(x)=b−2x
2x +1是定义在区间[−2,2]上的奇函数，且0在定义域内．
∴f(0)=0，
∴f(0)=b−20
20+1=b−1
1+1
=0，
∴b=1，经检验，满足题意，
∴a+b=2．
故答案为2．
13.[−92,2)
【解析】解：易知函数的定义域为R，
令t=x2+2x+3，则t≥2，
函数可变形为y=2−13
t
，
此时函数在[2,+∞)上单调递增，
可得函数的值域为[−92,2)．
故答案为：[−92,2)．
14.−2
【解析】解：由log2x+x+2=0可得log2x=−x−2，由2x+x+2=0可得2x=−x−2，所以a是y1=log2x与y=−x−2的交点横坐标，
b是y2=2x与y=−x−2的交点横坐标，
由于函数y2=2x与y1=log2x互为反函数，图象关于y=x对称，
联立y=x与y=−x−2可得x=−1，
故a+b=−2，
故答案为：−2
15.解：(1)当a=2时，B={x|0<x<6}，
所以∁U B={x|x⩽0或x≥6}，又A={x|−2≤x≤3}，
所以A∩(∁U B)={x|−2≤x≤0}．
(2)由题可得：当 B =⌀ 时，有 a−2≥3a ，解得a 的取值范围为 (−∞,−1]，此时满足题意 ；
当 B ≠⌀ 时，根据A ⊇B ，有 {
a−2<3a
a−2≥−23a ≤3 ，解得a 的取值范围为 [0,1] ，
综上所述a 的取值范围为 (−∞,−1]∪[0,1] ．
【解析】本题考查集合运算，含参数的集合关系的问题，属于一般题．(1)根据交集与补集的运算求解即可；
(2)分 B =⌀ 与 B ≠⌀ 由条件列不等式求范围即可．
16.解：(1)函数f(x)=lg [(a 2−1)x 2+(a +1)x +1]的定义域为R ，
即(a 2−1)x 2+(a +1)x +1>0在R 上恒成立，当a 2−1=0时，得a =−1或a =1．
当a =1时，显然2x +1>0在R 上不能恒成立，故舍去；当a =−1时，1>0恒成立；
当a 2−1≠0，即a ≠±1时，需满足方程(a 2−1)x 2+(a +1)x +1=0无实数解且a 2−1>0，则{
a 2−1>0Δ=(a +1)2−4(a 2−1)<0.解得a >5
3或a <−1．综上可得，实数a 的取值范围为(−∞,−1]∪(5
3,+∞)．(2)设u(x)=(a 2−1)x 2+(a +1)x +1. ∵f(x)的值域为R ，∴u(x)=(a 2−1)x 2+(a +1)x +1的函数值要取遍所有的正数，即(0,+∞)是u(x)值域的子集．当a 2−1=0时，得a =1或a =−1．当a =1时，u(x)=2x +1，符合题意；当a =−1时，u(x)=1，不符合题意；当a 2−1≠0时，函数u(x)为二次函数，
即函数u(x)=(a 2−1)x 2+(a +1)x +1的图象与x 轴有交点且开口向上，即方程(a 2−1)x 2+(a +1)x +1=0有实数解且a 2−1>0，则{
a 2−1>0Δ=(a +1)2−4(a 2−1)⩾0，解得1<a⩽5
3．
综上可知，实数a 的取值范围为[1,5
3]
．
【解析】本题考查对数型复合函数的定义域和值域．掌握对数函数的性质是解题基础，属于拔高题．解题时注意对真数多项式中最高次项系数需分类讨论．
对(a2−1)x2+(a+1)x+1研究：
(1)当a2−1=0时，验证所求解是否满足题意；当a2−1≠0时，应该有{a2−1>0
Δ<0，解不等式即可；(2)当a2−1=0时，验证所求解是否满足题意；当a2−1≠0时，应该有{a2−1>0
Δ≥0，解不等式即可．
17.解：(1)因为f(x)=log2x+1+mx+n，g(x)=x−log2(32−x)+p，
f(0)=g(0)=0，f(3)=4，
所以log20+1+n=0，log23+1+3m+n=4，−log2(32−0)+p=0，
所以m=1,n=0,p=5，
所以f(x)=log2x+1+x，g(x)=x−log2(32−x)+5；
(2)设A生产线投入x万元，则B生产线投入22−x万元，设企业获得利润为z，
则z=f(x)+g(22−x)
=log2x+1+x+22−x−log2(10+x)+5，0≤x≤22，
所以z=log2x+1−log2(10+x)+27，
所以z=log2x+1
10+x
+27，
所以z=log2
1
9
x+1
+x+1+27，
由基本不等式可得x+1+
9
x+1
≥29=6，当且仅当x=8时等号成立，
所以log2
1
x+1+9
x+1
≤−log26，
所以z=log2
1
9
x+1
+x+1+27≤27−log26=26−log23，当且仅当x=8时等号成立，
所以A生产线投资8万元，B生产线投资14万元时，企业获得利润最大，利润的最大值为为26−log23万元．
【解析】本题考查利用对数函数模型解决实际问题，由基本不等式求最值，对数式的化简求值，属于中档题．
(1)由f(0)=g(0)=0，f(3)=4，列关于m,n,p的方程，解方程可得结论；
(2)设A生产线投入x万元，由条件求企业获得的总利润，再求其最大值．
18.解：(1)
设f (x )=log a x(a >0且a ≠1)，
f (x )的图象经过点(2 2,32
)
，即f (2 2)=32，
所以log a 2 2=32，a 32=2 2=232，解得a =2，
所以f (x )=log 2x(x >0)；
(2)设t =f (x )=log 2x ， 2≤x ≤16，
∵f(x)=log 2x 在(0,+∞)上单调递增，
∴log 2 2⩽f(x)⩽log 216，即12≤f (x )≤4，所以12≤t ≤4，
则y =g (t )=t 2−2bt +3
=(t−b )2+3−b 2,(12≤t ≤4)，
对称轴为t =b ，
当b <12时，y =g (t )在[12
,4]上单调递增，y min =g (12
)=134−b ；当12≤b ≤4时，y =g (t )在[12,b ]上单调递减，在(b,4]上单调递增，y min =g (b )=3−b 2；
当b >4时，y =g (t )在[12,4]
上单调递减，y min =g (4)=19−8b ，
综上所述，y min =ℎ(b )={134−b,b <123−b 2,12≤b ≤419−8b,b >4
；
(3)不存在，理由如下：
m >n >4,b ∈[n,m ]，ℎ(b )=19−8b ，
ℎ(b )的定义域为[n,m ]，值域为[n 2,m 2]，
且ℎ(b )为减函数，{
19−8m =n 219−8n =m 2,
两式相减得8(m−n )=(m−n )(m +n )，
m >n ，m−n ≠0，
得m +n =8，
但这与“m >n >4”矛盾，
故满足条件的实数m,n 不存在．
【解析】本题考查复合型对数函数(y =f(log a x))，二次函数的最值，已知函数的值域求参或定义域，属于较难题．
(1)代入点的坐标，求出a 的值，从而求出f (x )的解析式；
(2)设t =f(x)=log 2x ，通过讨论b 的范围，求出函数的最小值即可；
(3)根据对数函数的性质求出m +n =8，得到矛盾，从而判断结论．
19.解：(1)假设函数f(x)=1x 有“飘移点”x 0，则1x 0+1=1x 0+1，
即x 20+x 0+1=0由此方程无实根，与题设矛盾，
所以函数f(x)=1x 没有飘移点；
(2)令ℎ(x)=f(x +1)−f(x)−f(1)=2(2x−1+x−1)，
所以ℎ(0)=−1，ℎ(1)=2.所以ℎ(0)ℎ(1)<0，
所以ℎ(x )=0在(0,1)上至少有一个实根x 0，
即函数f(x)=x 2+2x 在( 0, 1 ) 上有“飘移点”；
(3)若f(x)=lg(a x 2+1)在(0,+∞)上有飘移点x 0，
所以lg a (x 0+1)2+1=lg a x 20+1+lg a 2成立，即a (x 0+1)2+1=a x 20+1⋅a 2
，整理得(2−a)x 20−2ax 0+2−2a =0，
从而关于x 的函数g(x)=(2−a)x 2−2ax +2−2a 在(0,+∞)上应有实数根x 0，
当a =2时，方程的根为−12，不符合要求；
当0<a <2时，由于函数g(x)的对称轴x =a 2−a >0，
可知只需4a 2−4(2−a)(2−2a)≥0，
所以3− 5≤a ≤3+ 5，即3− 5≤a <2；
当a>2时，由于函数g(x)的对称轴x=
a
2−a
<0，
可知，只需g(0)>0，即2−2a>0，a<1，这样的a不存在；
综上，a的范围是[3−5,2).
【解析】本题考查了函数的方程与函数间的关系，即利用函数思想解决方程根的问题，利用方程思想解决函数的零点问题，要注意体会．
(1)按照“飘移点”的概念，只需方程有根即可，据此判断；
(2)本问利用零点存在定理即可判断，即判断端点处的函数值异号；
(3)若函数在(0,+∞)上有飘移点，只需方程在该区间上有实根，然后借助于二次函数的性质可以解决．。