2014-2015学年北京市西城区2015届九年级上学期期末考试数学试题(含答案)

北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷
九年级数学 2015. 1
一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的． 1．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．1
D ．2
2．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为CD 延长线上一点，如果ADE =120°，那么∠B 等于（ ） A ．130°
B ．120°
C ．80°
D ．60°
3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A B C D 4．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线
A ．()2
31y x =+- B ．()2
33y x =++ C ．()2
31y x =-- D ．()2
33y x =-+
5．△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比是1∶2，如果△ABC 的面 积是3，那么△A ′B ′C ′的面积等于
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
6．如果关于x 的一元二次方程21
104
x x m -+-=有实数根，那么m 的取值范围是
A ．m ＞2
B ．m ≥3
C ．m ＜5
D ．m ≤5
7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90︒，AC =12，BC =5， CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的值是 A ．
512
B ．
513 C ．1213
D ．
12
5
8．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y 轴的抛物线与网格对角线OM 的两个交点为A ，B ，其顶点为C ，如果△ABC 是该抛物线
的内接格点三角形，AB =A ，B ，C 的横坐标A x ，B x ，C x 满足A x ＜B x ＜C x ，那么符合上述条件的抛物线条数是（ ） A ．7 B ．8 C ．14 D ．16
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)A n -在反比例函数6
y x
=-错误!未找到引用源。

的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，那么△AOB 的面积等于 ．
10．如图，将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转某个角度得到 △AB ′C ′，使AB ′∥CB ， CB ，AC ′的延长线相交于点D ，如果∠D =28°，那么BAC ∠= °．
（第１０题 图） （第１１题 图） （第１２题 图）
11．如图，点D 为△ABC 外一点，AD 与BC 边的交点为E ，AE=3，DE=5，BE =4，要使△BDE ∽△ACE ，
且点B ，D 的对应点为A ，C ，那么线段CE 的长应等于 ．
12．在平面直角坐标系xOy 中，(,0)A m -，(,0)B m （其中0m >），点P 在以点(3,4)C 为圆心，半径等于2的圆上，如果动点P 满足90APB ∠=︒，（1）线段OP 的长等于 （用含m 的代数式表示）；（2）m 的最小值为 ．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：23tan30cos 452sin60︒+︒-︒．
14．解方程：2410x x -+=．
15．如图，在⊙O 中，点P 在直径AB 的延长线上，PC ，PD 与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ，连接CD
交AB 于点E ．如果⊙O 的半径等于1
tan 2
CPO ∠=
，求弦CD 的长．
16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC 的三个顶点A ，B ，C 都在格点上，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转90°得到△AB C ''． （1）在正方形网格中，画出△AB C ''；
（2）计算线段AB 在旋转到AB '的过程中所扫过区域的面积．（结果保留π）
17．某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每件商品售价a 元，则每天可卖出(80010)a -件．如果商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，求每件商品的售价是多少元．
18．如果关于x 的函数2(2)1y ax a x a =++++的图象与x 轴只有一个公共点，求实数a 的值．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在它的北偏东60°方向上，在A 的正东400
米的B 处，测得海中灯塔P 在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P 到环海路的距离PC 约等于多少米？取1.732，结果精确到1米）
20．如图，在正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中顶点E ，F ，G 分别在AB ，BC ，FD 上． （1）求证：△EBF ∽△FCD ；
（2）连接DH ，如果BC=12，BF =3，求tan HDG ∠的值．
21．如图，在⊙O 中，弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称．E 为半径OC 上一点，3OC OE =， 连接AE 并延长交⊙O 于点F ，连接DF 交BC 于点M ． （1）请依题意补全图形；
（3）求
BM
BC
的值．
22． 已知抛物线C ：2=23y x x +-.
（1）补全表中A ，B 两点的坐标，并在所给的平面直角坐标系中画出抛物线C ； （2）将抛物线C 上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的
1
2
，可证明得到的曲线仍是 抛物线，（记为1C ），且抛物线1C 的顶点是抛物线C 的顶点的对应点，求抛物线1C 对应的函数 表达式.
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）
23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1(,2)2A ，(3,)B n 在反比例函数m
y x
=（m 为常数）的图象G 上，
连接AO 并延长与图象G 的另一个交点为点C ，过点A 的直线l 与x 轴的交点为点(1,0)D ，过点C 作CE ∥x
轴交直线l 于点E ．
（1）求m 的值及直线l 对应的函数表达式； （2）求点E 的坐标；
∠=∠．
（3）求证：BAE ACB
24．如图，等边三角形ABC的边长为4，直线l经过点A并与AC垂直．当点P在直线l 上运动到某一位置（点P不与点A重合）时，连接PC，并将△ACP绕点C按逆时针
m>）．方向旋转60︒得到△BCQ，记点P的对应点为Q，线段P A的长为m（0∠= ︒；
（1）①QBC
m=时，点Q到直线l的距离
②如图1，当点P与点B在直线AC的同侧，且3
等于；
（2） 当旋转后的点Q 恰好落在直线l 上时，点P ，Q 的位置分别记为0P ，0Q ．在图2
中画出此时的线段0P C 及△0BCQ ，并直接写出相应m 的值；
（3）当点P 与点B 在直线AC 的异侧，且△P AQ 时，求m 的值．
25．如图1，对于平面上不大于90︒的MON ∠，我们给出如下定义：若点P 在MON ∠的内
部或边界上，作PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ，则称PE PF +为点P 相对于
MON ∠的“点角距离”，记为(),d P MON ∠．
如图2，在平面直角坐标系xOy 中，对于xOy ∠，点P 为第一象限内或两条坐标轴正 半轴上的动点，且满足(),d P xOy ∠=5，点P 运动形成的图形记为图形G ． （1）满足条件的其中一个点P 的坐标是 ，图形G 与坐标轴围成图形的面积
等于 ； （2）设图形G 与x 轴的公共点为点A ，已知(3,4)B ，(4,1)M ，求(),d M AOB ∠的值；
（3）如果抛物线21
2
y x bx c =-++经过（2）中的A ，B 两点，点Q 在A ，B 两点之间
的抛物线上（点Q 可与A ，B 两点重合），求当(),d Q AOB ∠取最大值时，点Q 的坐标．
北京市西城区
2014-2015学年度第一学期期末
九年级数学试卷参考答案及评分标准
2015.1
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9
．3．
10.28．
11.
4
15
． 12.（1）m ；（2）3. 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解： 23tan30cos 452sin60︒+
︒-︒
2
32=-⎝⎭
……………………………………………………… 3分 1
2
1
.2
= ………………………………………………………………………………… 5分 14．解：2410x x -+=．
∵ 1a =，4b =-，1c =， ……………………………………………………… 1分
∴ 224(4)
41112b
ac -=--⨯⨯=．……………………………………………… 2分
∴
x ==
……………………………………………… 3分 2=
=± ∴ 原方程的解是12x =22x =…………………………………… 5分
15．解：连接OC ．（如图1）
∵ PC ，PD 与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ，
∴ OC ⊥PC ，……………………………………………………………………… 1分 PC =PD ，
∠OPC=∠OPD ．
∴ CD ⊥OP ，CD =2CE ． …………………………2分
∵ 2
1tan =
∠CPO ，
∴ 1
tan
tan 2
OCE CPO ∠=∠=
．……………3分 设 OE=k ，则CE=2k ，OC =．（0k >） ∵ ⊙O 的半径等于 ∴
=
3k =．
∴ CE=6 ．………………………………………………………………………… 4分 ∴ CD =2CE=12 ．………………………………………………………………… 5分
16．（1）画图见图2． …………………………… 2分 （2）由图可知△ABC 是直角三角形，AC=4，BC=3，
所以AB=5．…………………… 3分
线段AB 在旋转到AB '的过程中所扫过区域 是一个扇形，且它的圆心角为90°，半径为5．
……………………………………… 4分 ∴ 221125
ππ5π444
AB B S AB '=
⨯=⨯=扇形． …………………………………… 5分
所以线段AB 在旋转到AB '的过程中所扫过区域的面积为25
π4
． 17．解：根据题意，得(20)(80010)8000a a --=．（20≤a ≤80） …………………… 1分
整理，得 210024000a a -+=．
可得 (40)(60)0a a --=．
解方程，得140a =，260a =．…………………………………………………… 3分 当140a =时，800108001040400a -=-⨯=（件）． 当260a =时，800108001060200a -=-⨯=（件）．
因为要使每天的销售量尽量大，所以40a =． ………………………………… 4分 答：商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，每件商品的售
价应是40元．……………………………………………………………………… 5分 18．解：（1）当0a =时，函数21y x =+的图象与x 轴只有一个公共点成立．…………1分 （2）当a ≠0时，函数2(2)1y ax a x a =++++是关于x 的二次函数．
∵ 它的图象与x 轴只有一个公共点，
∴ 关于x 的方程 2(2)10ax a x a ++++=有两个相等的实数根． ………2分
∴ 2(2)4(1)0a a a ∆=+-+=．………………………………………………3分 整理，得 2340a -=．
解得
a =．…………………………………………………………… 5分 综上，0a =
或a =
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．解：如图3，由题意，可得∠P AC =30°，∠PBC =60°． ………………………………………… 2分 ∴ 30APB PBC PAC ∠=∠-∠=︒．
∴ ∠P AC=∠APB ．
∴ PB =AB = 400．…………………………… 3分
在Rt △PBC 中，∠PCB =90°，∠PBC =60°，PB =400，
∴sin 400346.4PC PB PBC =⋅∠===≈346（米）
．………………4分
答：灯塔P 到环海路的距离PC 约等于346米． …………………………………… 5分
20．（1）证明：如图4．
∵ 正方形ABCD ，正方形EFGH ，
∴ ∠B =∠C =90°，∠EFG =90°，
BC =CD ，GH=EF=FG ．
又∵ 点F 在BC 上，点G 在FD 上，
∴ ∠DFC +∠EFB =90°，∠DFC +∠FDC =90°，
∴ ∠EFB =∠FDC ． …………………… 1分
∴ △EBF ∽△FCD ．…………………… 2分
（2）解：∵ BF =3，BC =CD =12，
∴ CF =9
，15DF ==． 由（1）得
BE CF BF CD
=． ∴ 399124
BF CF BE CD ⨯⨯===． …………………………………………… 3分 ∴
154
GH FG EF ====．……………………………………4分 454
DG DF FG =-=． ∴ 1tan 3
GH HDG DG ∠==． ………………………………………………… 5分 21．（1）补全图形见图5．…………………………………………1分
（2）证明：∵ 弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称，
∴ ∠DBC =2∠ABC ． ……………………………2分
又∵2AOC ABC ∠=∠， ∴ AOC DBC ∠=∠．……………………………3分
（3）解：∵
， ∴ ∠A =∠D ．
又∵ AOC DBC ∠=∠，
∴ △AOE ∽△DBM ． 分
∴
OE
BM OA BD
=． ∵ 3OC OE =，OA =OC ，
∴
13BM OE OE BD OA OC ===． ∵ 弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称，
∴ BC =BD ．
∴ 13
BM BM BC BD ==．………………………………………………………… 5分 22．解：（1）(1,4)A --，(3,0)B -． ……………………………………………………… 2分
画图象见图6．……………………………………………………………… 3分
（2）由题意得变换后的抛物线1C 的相关点的坐标如下表所示：
BF=BF
设抛物线1C 对应的函数表达式为 2(2)2y a x =+-．（a ≠0）
∵ 抛物线1C 与y 轴交点的坐标为(0, 1.5)-，
∴ 3422
a -
=-． 解得 18
a =． ∴ 221113(2)28822
y x x x =+-=+-．……… 5分 ∴ 抛物线1C 对应的函数表达式为2113822
y x x =+-
说明：其他正确解法相应给分． 五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分） 23．解：（1）∵ 点1(,2)2A 在反比例函数m y x
=（m 为常数）的图象G 上， ∴ 1212
m =⨯=．………………………………………………………………1分 ∴ 反比例函数m y x =（m 为常数）对应的函数表达式是1y x
=． 设直线l 对应的函数表达式为y kx b =+（k ，b 为常数，k ≠0）．
∵ 直线
l 经过点1(,2)2
A ，(1,0)D ， ∴ 12,20.k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 解得4,4.k b =-⎧⎨=⎩
∴ 直线l 对应的函数表达式为44y x =-+． ………………………………2分
（2）由反比例函数图象的中心对称性可知点C 的坐标为1(,2)2
C --． ………… 3分 ∵ CE ∥x 轴交直线l 于点E ，
∴ E C y y =．
∴ 点E 的坐标为3(,2)2
E -．………………………………………………… 4分 （3）如图7，作A
F ⊥CE 于点F ，与过点B 的y 轴的垂线交于点
G ，BG 交AE 于点M ，
作CH ⊥BG 于点H ，则BH ∥CE ，BCE CBH ∠=∠． ∵ 1(,2)2A ，1(,2)2C --，3(,2)2
E -， ∴ 点
F 的坐标为1(,2)2
F -． ∴ CF =EF ．
∴ AC =AE ．
∴ ∠ACE =∠AEC ．………………………… 5分
∵ 点(3,)B n 在图象G 上，
∴ 13
n =， ∴ 1(3,)3B ，11(,)23G ，11(,)23
H -． 在Rt △ABG 中，1
223tan 13
32AG ABH BG -
∠===-， 在Rt △BCH 中，1223tan 13
32CH CBH BH +∠===+， ∴ ABH CBH ∠=∠．………………………………………………………… 6分
∴ BCE ABH ∠=∠．
∵ BAE AMH ABH AEC ABH ∠=∠-∠=∠-∠，ACB ACE BCE ∠=∠-∠，
∴ ∠BAE =∠ACB ． …………………………………………………………… 7分 24．解：（1）①QBC ∠= 90︒；………………………………………………………………1分
② m =3时，点Q 到直线l 的距离等于
2分 （2）所画图形见图8．………………………… 3分
m =
4分 （3）作BG ⊥AC 于点G ，过点Q 作直线l 的垂线交l 于点D ，交BG 于点F ．
∵ CA ⊥直线l ，
∴ ∠CAP =90︒．
易证四边形ADFG 为矩形．
∵ 等边三角形ABC 的边长为4，
∴ ∠ACB =60︒，122DF AG CG AC ====，1302
CBG CBA ∠=∠=︒． ∵ 将△ACP 绕点C 按逆时针方向旋转60︒得到△BCQ ，
∴ △ACP ≌△BCQ ．
∴ AP = BQ = m ，∠P AC =∠QBC =90︒．
∴ ∠QBF =60︒．
在Rt △QBF 中，∠QFB =90︒，∠QBF =60︒，BQ=m ，
∴
QF =．…………………………………………………………… 5分 要使△P AQ 存在，则点P 不能与点A ，0P 重合，所以点P 的位置分为以下两
种情况：
① 如图9，当点P 在（2）中的线段0P A 上（点P 不与点A ，0P 重合）时，
可得0m <<
，此时点Q 在直线l 的下方．
∴
2
DQ DF QF =-=． ∵1
APQ S AP DQ ∆=⋅=，
∴
1(2)2
m =．
240
m -+=．
解得1m =
或2m = 经检验，m =
0m << 7分 ② 如图10，当点P
在（2）中的线段0AP 的延长线上（点P 不与点A ，0P 重合）时，可得
m >
Q 在直线l 的上方． ∴
2DQ QF DF =--．
∵
12APQ S AP DQ ∆=⋅=，
∴ .12)2m -
=． 整理，得 2330m --=．
解得 m （舍负）． 经检验，m =在m >8分 综上所述，m =3
2132+时，△P AQ ． 25．解：（1）满足条件的其中一个点P 的坐标是(5,0)；………………………………… 1分
（说明：点(,)P x y 的坐标满足5x y +=， 0≤x ≤5，0≤y ≤5均可）
图形G 与坐标轴围成图形的面积等于
252．…………………………………2分
（2）如图11，作ME ⊥OB 于点E ，MF ⊥x 轴于点F ，则MF =1，作MD ∥x 轴，交OB 于点D ，
作BK ⊥x 轴于点K ．
由点B 的坐标为(3,4)B ，可求得直线OB 对应的函数关系式为43
y x =． ∴ 点D 的坐标为3(,1)4D ，313444
DM =-=． ∴ OB =5，4sin 5
BK AOB OB ∠==， 4sin sin 5
MDE AOB ∠=∠=． ∴ 13413sin 455
ME DM MDE =⋅∠=⨯=． ……………………………………… 3分
∴ 1318(,)155
d M AOB ME MF ∠=+=+=． ……………………………………… 4分
（3）∵ 抛物线212
y x bx c =-++经过(5,0)A ，(3,4)B 两点， ∴ 221055,21433.2b c b c ⎧=-⨯++⎪⎪⎨⎪=-⨯++⎪⎩ 解得2,5.2b c =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴ 抛物线对应的函数关系式为215222
y x x =-++．………………………5分 如图12，作QG ⊥OB 于点G ，QH ⊥x 轴于点H ．作
QN ∥x 轴，交OB 于点N ．
设点Q 的坐标为(,)Q m n ，其中3≤m ≤5， 则215222QH n m m ==-++．
同（2）得 4sin sin 5
QNG AOB ∠=∠=． ∴ 点N 的坐标为3(,)4N n n ，34
NQ m n =-． ∴ 43sin ()54QG NQ QNG m n =⋅∠=-
4355
m n =-． ∴ 4342(,)5555
d Q AOB QG QH m n n m n ∠=+=-+=+ 24215(2)5522
m m m =+-++ 218155
m m =-++ 2121(4)55m =--+． ∴ 当4m =（在3≤m ≤5范围内）时，(),d Q AOB ∠取得最大值（215
）． ………………………………………………………… 6分
此时点Q 的坐标为5(4,)2
．…………………………………………………7分
语文园地一
学习目标
（一）知识与技能：能具体明白地描写生活中观察到的景物或者由此引发的联想。

（二）过程与方法：感性认识排比句的特点及其表达作用。

（三）情感态度与价值观：积累描写景物的古诗词，激发课外阅读兴趣。

教学重难点
积累描写景物的古诗句，认识排比句的特点和作
用。

教学时间 2 课时教学过
程
第一课时一、导语
不知不觉春天已经来到我们身边。

看窗外，春光多美好。

我
知道，同学们最想去春游了，记得往年我们去
了哪里？今年我们还要去，不过需要由大家自己来安排。

二、准备计划
先读读课文里的这段话，想想需要考虑哪些问题，准备纸笔，稍作记录。

比如：去的时间、地点，怎么去，需要用到什么交通工具、搞些什么活动，带什么器具等等。

三、分组讨论
恐怕一个人拿不定主意，咱们分小组进行。

看哪一组计划得周密、妥当，咱们就听从他们的意见。

每人稍做准备，谈谈自己的计划，再由小组长统一意见，推选一人做好发言交流准备。

四、制定春游方案
各小组派代表发言，师生评议。

最后由班长综合大家意见，制定出一个春游
方案。

五、我的发现
分角色读读对话。

说说小林和小东发现了什么？读句子，回到课文中去找这些句子，再读一读，说说用这样的句式有什么好处。

交流后进行摘抄。

我们在哪些课文中也学到过类似的句子？
六、日积月累
自由朗读诗句。

说说自己读懂意思的诗句，提出难以理解的诗句。

教师点评释疑。

比一比，看谁背得多，背得快。

七、宽带网
1、自读：看图，读文，说说从中了解的知识。

2、小组交流：介绍自己了解的五岳和五湖。

3、拓展知识：搜集或下载资料，邀游祖国的山山水水。

第二课时习作
一、启发谈话
我们在校园里生活了三年，对环境应该很熟悉了，你能说说吗？你最喜欢哪个地方，比如校园的花坛，有哪些花草等，你经常在那里做些什么？（鼓励学生自由说，放开说，教师做适当补充指点）
小结：有的同学平时能够留心观察，说了自己的所见所想，讲得很具体，而有的同学疏于观察，我们要做善于观察的人。

二、实地观察
去校园里做一次观察，把观察到的景物记下来。

可以选一处景物来写，具体写出你的感受来，或者你想到了曾经在那里发生过的事情，觉得很有意思，也可以写下来。

注意要仔细观察。

三、交流观察所得
指名说说你已观察到什么，准备怎么写，让学生在互相交流中得到启发。

教师结合学生的交流进行点评。

四、学生完成习作
五、同桌互相交流，评改。