福建省厦门大学附属科技中学2024-2025学年高二上学期10月阶段性检测数学试题

福建省厦门大学附属科技中学2024-2025学年高二上学期10月
阶段性检测数学试题
一、单选题
1．直线220x y ++=的一个方向向量为（ ） A ．(1,2)-
B ．()0,2-
C ．()1,2
D ．()2,1
2．直线320x my m +-=平分圆C ：22220x x y y ++-=，则m =（ ） A ．32
B ．1
C ．-1
D ．-3
3．已知()()1,2,,,1,2a y b x =-=r r
，且()2a b +r r ∥()
2a b -r r ，则（ ）
A ．1
,13
x y ==
B ．1,42
x y ==- C ．12,4
x y ==
D ．1,1x y ==-
4．已知向量a r 在向量b r 上的投影向量是，且(1,1,1)b =-r ，则a b ⋅=r r （ ）
A ．32-
B ．32
C ．
D 5．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知ABC V 的顶点()()()1,0,1,0,1,1A B C -，若直线
():310l ax a y +-+=与ABC V 的欧拉线垂直，则直线l 与ABC V 的欧拉线的交点坐标为（ ）
A ．13,55⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．13,55⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．13,55⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ．13,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭
6．已知点P 在圆22:(2)(3)1C x y -+-=上运动，点()2,0A -，则A C A P
⋅u u r u u
r 的取值范围为（ ） A ．[]20,30
B ．()20,30
C ．[]20,25
D ．()20,25
7．在平面直角坐标系中，已知点(),P a b 满足1a b +=，记d 为点P 到直线20x my --=的距离.当,,a b m 变化时，d 的最大值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．已知(0,0),O Q ⎛ ⎝⎭
，直线1:230l kx y k -++=，直线2:320l x ky k +++=，若P 为12
,l l
的交点，则32PO PQ +的最小值为（ ）
A ．
B ．6-
C ．9-
D ．3
二、多选题
9．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A ．若两个不同平面α，β的法向量分别是r μ，r
v ，且(
1,2,2)μ=-r ，(2,1,2)v =r ，则αβ∥ B ．若0
a b ⋅<r r ，则,a b r r 是钝角 C ．若对空间中任意一点O ，有111442
OP OA OB OC =++u u u r u u u r u u u r u u u r
，则P ，A ，B ，C 四点共面
D ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 10．已知直线1:310l x y +-=与2:270+-=l x y ，则下列说法正确的是（ ）
A ．1l 与2l 的交点坐标是()0,1-
B ．过1l 与2l 的交点且与1l 垂直的直线的方程为3130x y -+=
C ．1l ，2l 与x 轴围成的三角形的面积是40
3
D ．1l 的倾斜角是锐角
11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为侧面11BCC B （不含边界）内的动点，Q
为线段1AC 上的动点，若直线1A P 与11A
B 的夹角为45o
，则下列说法正确的是（）
A ．线段1A P
B 1AQ PQ +的最小值为1
C ．对任意点P ，总存在点Q ，便得1⊥
D Q CP
D ．存在点P ，使得直线1A P 与平面11ADD A 所成的角为60°
三、填空题
12．已知直线1210l x y -+=：与直线2240l x y -+=：，在1l 上任取一点A ，在2l 上任取一点B ，连接AB ，取AB 的靠近点A 的三等分点C ，过C 作1l 的平行线3l ，则1l 与3l 间的距离为． 13．已知四面体ABCD 满足π11
,cos ,cos ,2,3,2334
BAC CAD DAB AB AC AD ∠=∠=∠====，则点A 到平面BCD 的距离为.
14．已知点(1,0),(1,0),(0,2)A B C -，直线(0)y kx b k =+>将ABC V 分割成面积相等的两部分，则实数b 的取值范围为.
四、解答题
15．如图，已知ABC V 的顶点为()1,1A -，()3,0C ，1()0,1B 是边AB 的中点，AD 是BC 边上的高，AE 是BAC ∠的平分线．
(1)求高AD 所在直线的方程； (2)求AE 所在直线的方程．
16．如图，在四棱锥P ABCD -中，22PD AD ==，PD DA ⊥，PD DC ⊥，底面ABCD 为正方形，,M N 分别为,AD PD 的中点．
(1)求直线PB 与平面MNC 所成角的正弦值； (2)求点B 到平面MNC 的距离.
17．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，
1DD ⊥平面ABCD ，24DC DA ==，1DD =11DC D B ⊥.
(1)求证：DA DB ⊥；
(2)线段11C D 上是否存在点E ，使得平面EBD 与平面11ABB A 的夹角为π
4
？若存在，求1D E 的
长；若不存在，请说明理由.
18．已知正方形的边长为4，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以EF 为棱将正方形ABCD 折成如图所示的60︒的二面角．
(1)若H 为AB 的中点，M 在线段AH 上，且直线DE 与平面EMC 所成的角为60︒，求此时平面MEC 与平面ECF 的夹角的余弦值．
(2)在（1）的条件下，设((0,1))EG EA λλ=∈u u u r u u u r ，DN NC =u u u r u u u r ，CP PF =u u u r u u u r
，且四面体GNHP 的体积为
λ的值．
19．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种．设()11,A x y ，()22,B x y ，则欧几里得距离
(,)D A B =
1212(,)d A B x x y y =-+-，余弦距离
(,)1cos(,)e A B A B =-，其中cos(,)cos ,A B OA OB =〈〉u u u r u u u r
（O 为坐标原点）．
(1)若(1,2)A -，34,55B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，求A ，B 之间的曼哈顿距离(,)d A B 和余弦距离(,)e A B ；
(2)若点(2,1)M ，(,)1d M N =，求(,)e M N 的最大值；
(3)已知点P ，Q 是直线:1(1)l y k x -=-上的两动点，问是否存在直线l 使得
min min (,)(,)d O P D O Q =，若存在，求出所有满足条件的直线l 的方程，若不存在，请说明理
由．。