7.2.2复数的乘、除运算+教学设计2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修二

§7.2.2复数的乘、除运算
——乘除运算片段教学（偏讲解）一、教材分析
本节为人教A版必修第二册第七章第二节的内容，主要内容是代数形式的复数乘、除法运算法则。

两个复数的乘法可以类似于两个多项式的乘法运算来进行，两个复数的除法可以通过共轭复数转化为乘法运算。

本节的内容较为基础，主要考察学生的数学运算的能力，复数的乘除运算结合是常考的内容。

二、学情分析
在学习本节内容前，学生已经在初中学习了多项式的乘法运算，前面又学习了复数的加减运算，为本节内容的学习奠定良好的，基础学生在学习复数的乘除运算时能够更好地进入状态，更加理解本节课的内容。

三、教学目标
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算；
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律;
3.理解复数除法运算的实质，会利用复数四则运算求解相关问题
数学学科素养
1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则;
2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导;
3.数学运算：复数四则运算;
4.数学建模：结合复数四则运算，解决复数范围内的问题
四、教学重难点
重点：复数代数形式的乘、除运算法则
难点：灵活运用复数的乘、除运算法则求解相关问题
五、教学方法
讲解法，提问法，讨论法
六、教学过程
教学
环节
教师活动学生活动设计意图
复习回顾【教师提问】
1.已知复数z1=a+bi,复数z2=c+
di(a,b,c,d∈R),则z1+z2，z1−z2如何表
示？
2.设a,b,c,d∈R，则(a+b)(c+d)怎样展
开？
【教师引导】
上述式子是我们初中所学习的多项式乘
法，如何展开？
【教师进一步提问】
复数z1=a+bi,复数z2=c+di，
（a,b,c,d∈R)，则z1⋅z2=(a+bi)(c+
di)，按照上述运算法则将其展开，则z1⋅
z2等于什么？
【教师总结】
两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，
只要在所得的结果中把i2换成−1，并且把
实部与虚部分别合并即可
【学生回答】
学生思考并回答：
z1+z2=(a+c)+(b+d)i
z1−z2=(a−c)+(b−d)i
(a+b)(c+d)
=ac+ad+bc+bd
【学生思考】
同桌之间讨论，需要将复数的
乘积按照多项式展开
z1⋅z2=(a+bi)(c+di)
=ac+adi+bci+bdi2
=ac+adi+bci−bd
=(ac−bd)+(ad+bc)i
通过复
习，为引
入本节新
课做好铺
垫。

建立
知识间的
联系，提
高学生概
括、类比
推理的能
力
新知讲解+课堂练习【教师讲解】
复数的乘法法则：
设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复
数，那么它们的乘积为：
z1⋅z2=(a+bi)(c+di)
=(ac−bd)+(ad+bc)i
注：两个复数的积是一个确定的复数
【教师提问】
复数的乘法是否满足交换律、结合律？乘
法对加法满足分配律吗？
学生认真听讲通过思考，
类比多项
式的乘法
引入复数
的乘法运
算，提高学
生分析问
题、概括能
力
【教师提示】
交换律：验证z1z2＝z2z1是否成立
结合律：验证(z1z2)z3＝z1(z2z3)是否成立乘法对加法的分配律：
验证以下式子是否成立
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
【教师总结】
复数的乘法满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律
【教师提问】
例1：计算(1−2i)(3+4i)
【教师进一步提问】
变式：计算(1−2i)(3+4i)(−2+i)
【教师提示】
复数乘法的结合律
【教师总结】
多个复数相乘运算法则不变
【教师提问】
探究：类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？
【教师引导】
利用除法是乘法的逆运算
若z1=a+bi，z2=c+di≠0，设
z1÷z2=x+yi，可将z2乘到等式右边，利用等式关系求解x,y
【教师讲解】
复数的除法法则：
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈
R且c+di≠0)是任意两个复数，那么：z1÷z2=(a+bi)÷(c+di)【小组合作】
小组讨论，可设z1=a+
bi,z2=c+di，代入三个式子
进行验证
z1z2=(a+bi)(c+di)
=(ac−bd)+(ad+bc)i
z2z1=(c+di)(a+bi)
=(ca−db)+(da+cb)i
=z1z2
其余同理，可通过代入验证
【学生练习】
(1−2i)(3+4i)
=(3+4i−6i−8i2)
=11−2i
【学生思考】
多个复数的乘积如何计算
【学生计算】
(1−2i)(3+4i)(−2+i)
=(11−2i)(−2+i)
=−20+15i
【学生求解】
{
x=
ac+bd
c2+d2
y=
bc−ad
c2+d2
利用小组
合作，启发
学生思考，
增强学生
间的沟通
交流，锻炼
学生团队
合作解决
问题的能
力
通过例题
进一步巩
固复数的
乘法运算，
提高学生
的概括问
题、解决问
题的能力
利用除法
是乘法的
逆运算引
入，引导学
生采用复
数的乘法
求解，启发
学生思考
强调注意
点，引出分
母实数化
的特点，加
强学生对
分子分母
=ac+bd
c2+d2
+
bc−ad
c2+d2
i
注：
1.通常把(a+bi)÷(c+di)写成a+bi
c+di
的形式
2.复数除法的实质是分母“实数化”，分子分母同乘分母的共轭复数
【教师提问】
例2：计算(1+2i)÷(3−4i)【学生计算】
(1+2i)÷(3−4i)
=
(1+2i)(3+4i)
(3−4i)(3+4i)
=
−5+10i
25
=−
1
5
+
2
5
i
同乘父母
共轭复数
的理解，锻
炼学生逻
辑推理的
能力
通过练习
检验学生
对于知识
的掌握情
况
课堂小结【教师引导】通过这节课，你学到了什么
知识？
在解决问题时，用到了哪些数学思想？
【学生总结】
学生与教师一起总结本节课
所学主要知识及解题技巧
师生共同
回顾总
结．引领学
生感悟数
学认知的
过程，体会
数学核心
素养
板书设计
§7.2.2复数的乘、除运算
1.复数的乘法法则
z1⋅z2=(a+bi)(c+di)
=(ac−bd)+(ad+bc)i 2.复数的除法法则(c+di≠0)
z1÷z2=(a+bi)÷(c+di)
=
ac+bd
c2+d2
+
bc−ad
c2+d2
i
课后作业完成本节课后练习题课下完成作业通过完成
课后作业，
巩固回忆
知识。