嫩江市高级中学2021届高三数学12月月考试题文

黑龙江省嫩江市高级中学2021届高三数学12月月考试题 文
注意事项：
1。

答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2。

回答选择题时,选出每道小题答案后,用B 2铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效。

第I 卷（选择题 共60分）
一、选择题：(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设{|5}
A x Z x
=∈，{}|1B x R x =∈>，则A B =（ ）
A.{}1,2,3,4,5
B.{}2,3,4,5 C 。

{}25x x ≤≤ D 。

{}15x x <≤
2．设(),αππ∈-，且1
cos 2
α=-,则α=（ ）
A ．23
π
-
或23
π
B ．3
π-
或3
π
C ．3
π-
或23
π
D ．23
π-或
3
π 3．复数12z i =-（其中i 为虚数单位)，则3z i +=( ） A ．5
B ．2
C ．2
D ．
26
4．算盘是中国传统的计算工具，是一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三
才.”
北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分
是停游珠用的,中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态,自右向左，分别是个位、十位、百位、,上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠)是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨2粒下珠，算盘表示的数为质数（除了1和本身没有其它的约数)的概率是（ ）
A ．13
B ．12
C ．23
D ．16
5．已知集合{}3,A x x k k N ==∈，{}6,B x x z z N ==∈，则“x A ∈”是“x B ∈”的( ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．已知等差数列{}n
a 的前n 项和为n
S 且公差0d ≠，若7
4
3S
a =，则（ )
A ．3
4
S S = B ．3
5
S
S = C ．4
5
S
S = D ．4
6
S
S =，
7．若x >1，则1
21x x +
-的最小值为
( ）
A ．2
22+ B ．22- C ．222-+
D ．2
2
8．若圆2
2()()4x a y a -+-=上有且仅有两个点到原点的距离为2,则实
数a 的取值范围为（ ）
A ．(220)
-，
B ．(2
20)(022)-⋃，， C ．(2
21)(122)
--⋃，，
D ．(022)，
9．某医学团队研制出预防新冠病毒的新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克,如图所示为函数()y f x =的图象，当血液中药
物
残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一
次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为（ ） A ．上午10：00 B ．中午12：00 C ．下午4:00
D ．下午6:00
10.已知双曲线2
2
2
1(0)12
x y
a a -=>的一条渐近线方程为0
y -=,左焦点为
F
，当点M 在双曲线右支上，点N 在圆2
2(3)1
x
y +-=上运动时,则MN MF
+的最小值为( ） A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
11．四棱锥
P ABCD -的顶点都在球O 的球面上，
ABCD 是边长为正方形,若四棱锥P ABCD -体积的最大值为54，则球O 的表面积为（ ） A ．36π
B ．64π
C ．100π
D ．144π
12．点P 在函数y ＝e x 的图象上．若满足到直线y ＝x +a 的距离
的点P 有且仅有3个，则实数a 的值为（ ) A ．
B ．
C ．3
D ．4
第Ⅱ卷（非选择题 共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.
二．填空题(本大题共4小题，每小题5分,共20分）
13．如下一组数据：10,12，25，10，30，10，13;则该组数据的中位数与众数的差为_________。

14．下列命题中正确的是__________（填序号）
①若直线l 与平面α相交，则l 与平面α内的任意直线都是异面直
线；
②若两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条一定与该平面相交;
③若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的直线平行或异面 15.设I 为ABC ∆的内心,5,6,AB AC BC AI mAB nBC ====+,则+m n 为 。

16．斐波那契数列，指的是这样一个数列：1,1,2，3,5,8,13，21，34，55,89，。

.。

，在数学上，斐波那契数列{}n
a
定义为1
2
21
1,1,n n n a a
a a a ++===+，斐波那契数列有种看起来很神奇的巧合，
如根据2
1
n n n a
a a ++=+可得：21
n
n n a
a a ++=-，所以
1232432122
+++()()()n n n n a a a a a a a a a a a +++=-+-+-=-，类比这种方法，请计算
2221210+++=
a a a
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

) 17．已知函数
2()sin 12sin 62x f x x π⎛
⎫=++- ⎪⎝
⎭
(1)求()f x 的单调递增区间； （2）记
ABC 的内角
A ､
B ､
C 的对边长分别为a ，b ,c ,若
()3,1,3f B b a ===，求c 。

18．在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习.复课后进行了摸底考试，我校数学教师为
了调
查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间
的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查.知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的,得到了右侧的等高条形图：
（1）将频率视为概率，求学习时长不超过1小时但考试成绩超过120分的概率；
（2）依题意，完成以下22⨯列联表(直接填写表格即可)：
在线
时长 数学成绩 不超过120分
超过120分
合计
不超过1小时
25 超过1小时
20 合计
20 25
45
是否有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”.
()
()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19．如图，在边长为2
的菱形ABCD 中，60ADC ∠=︒,现将ADC 沿AC 边折到APC
△的位置．
()2
0P K k ≥
0。

050 0。

010 0。

001
0k
3。

841
6.635 10.828
（1）求证:PB AC ⊥;
（2）求三棱锥P ABC -体积的最大值． 20．已知椭圆
E ：22
221(0)x y a b a b +=>>
过点
，且离心率为2．
（1）求椭圆E 的方程; （2)设直线
1x my =-,
()
m R ∈交椭圆E 于A ,B
两点，判断点9(,0)4G -与以
线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由． 21．已知函数()2x
f x e
ae x =-。

（1）讨论()f x 的单调区间；
(2）当0
a <时，证明:()2ln f x e x
>。

请考生在第22、23两题中任意选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
22．(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中,圆C
的参数方程为,
x a y αα
⎧=+⎪⎨=⎪⎩（α为参
数)，直线l
的参数方程为,
,
x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）,设原点O 在圆C 的内部，直线l 与圆C 交于M 、N 两点;以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求直线l 和圆C 的极坐标方程，并求a 的取值范围； （2）求证:2
2
OM ON
+为定值.
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =-++。

（1）解不等式()6f x ≤;
（2)记函数()()1g x f x x =++的最小值为m ，若,,a b c ∈R ,且230a b c m ++-=，求2
22
a
b c ++的最小值.
参考答案
一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 选项
B
A
B
A
B
A
A
B
C
A
C
C
二、填空题
13. 2 14。

③ 15。

15
16
16. 4895
三、解答题 17。

（1）
3133()sin cos cos sin cos 3sin 22223f x x x x x x x π⎛⎫=
++=+=+ ⎪⎝
⎭， 利用正弦函数的单调增区间易得()f x 的单调增区间为
52,2()66k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
，
（2）
()3sin 3
3f B B π⎛
⎫=+= ⎪⎝
⎭，所以
sin 1
3B π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，因为角B 是ABC 的内角,
所以6
B π
=
由余弦定理知：2222313cos 2223a c b c B ac c
+-+-===,解得1c =或
2c =.
19。

（1）如图所示，取AC 的中点为O ，连接PO OB 、，易得
AC PO AC OB ⊥⊥，，PO OB O = AC POB ∴⊥平面,又PB ⊆
面POB AC PB ∴⊥
（2）由(1
）知
AC POB 260? AC 2PO OB ABCD ADC ⊥∠=︒===平面，且在边长为的菱形中，，所以 ， ，P ABC A POB C POB
V V V ---=+体积转化为
ΔPOB 1
AC S 3=⋅
=11
2sin 32POB POB ⨯⨯∠=∠
，
当POB 90∠=︒时，P ABC
V
-的最大值为1。

20。

（1)
由已知得222
,
b c
a a
b
c ⎧=⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎩
解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩E 的方程为
22
142
x y +=． （2）设点()()1122,,A x y B x y ，则1
12299
(,),G (,)44
GA x y B x y ． 由221
142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪
⎩得()222230m y my +--=，所以12122223,22m y y y y m m +==-++，
从而121212129955()()()()4444
GA GB x x y y my my y y ⋅=+++=+++ ()
()()()
()
2222
1212222
315255251721041621622162
m m m m y y m y y m m m ++=++++=-+=>+++ 所以cos ,0GA GB >，又,GA GB 不共线,所以AGB ∠为锐角．故点9
(,0)4G -在
以AB 为直径的圆外． 21。

（1)解:()f x 的定义域为(),-∞+∞,()2x f x e ae '=-．
当0a ≤时，0f
x
，则()f x 的增区间为(),-∞+∞，无减区间． 当0a >时，由0f
x
,得2ln x a =+． 当(),2ln x a ∈-∞+时，0f
x
；当()2ln ,x a ∈++∞时，0f
x
，
所以()f x 的减区间为(),2ln a -∞+，增区间()2ln ,a ++∞． (2）证明：法一:要证明22ln x
ae x e x
e ->．由于当0a <时，2
0ae x <，只要
证2ln 0
x
e
e x ->．
设()2
ln x
g x e e x =-，则()2
x
g x e e x '=-，()2
20x
g x e x e ''=+>，所以()g x '在0,
上是
增函数．
又()2
10g e e '=-<,()222
2022e g e
e '=-=>，
所以存在()01,2x ∈，使得()0
2000x g e x e x '=-=，即0
20x e e x =,00ln 2x x =-．
所以当()00,x x ∈时，0g
x
；当()0,x x ∈+∞时，0g x
，
因此()g x 在()0
0,x 上是减函数，在()0
,x +∞上是增函数,所以()g x 有极小值，
且极小值为()()0
222
22222
000000
ln 22220x g x e e x e x e x e e e x e x e =-=--=+->-=． 因此()
0g x >，即2ln 0x e x -->．综上,当0a <时，()2ln f x e x >．
法二：要证明2
2
ln x
ae x e x e ->，只要证22
ln x e x x e x ae ->． 设()()2
0x g x ae x x e =->,则()()2
1x x e g x x -'=．当01x <<时，0g
x
；当1x >时，
0g x
，
所以()g x 在0,1
上是减函数，在
1,
上是增函数，
所以1x =是()g x 的极小值点，也是最小值点，且()()2
min 1g x g e ae ==-．
令()()2ln 0x
h x e x x =>，则()()221ln x h x x e -'=．
当0x e <<时,()0h x '>；当e x >时,()0h x '<，所以()h x 在()0,e 上是增函数,
在(),e +∞上是减函数,
所以x e =是()h x 的极大值点,也是最大值点，且()
()max
h x h e e ==，
所以当0a <时,()()2
g x e ae e h x ≥->≥，即22
ln x e x x e x ae ->．综上，当0a <时，
()2ln f x e x
>．
法三：要证明22ln x
ae x e x
e ->．
由于当0a <时，2
0ae x <，只要证2ln 0
x
e
e x ->．
设()()()222222ln ln x
x g x e e x e x e x e e e e x =-=-++--，
令()()220x
h x e e x e x =-+>，则()2x h x e e '=-,
当02x <<时，()0h x '<;当2x >时，()0h x '>，所以()h x 在()0,2上是减函数,
在
2,
上是增函数,
所以2x =是()h x 的极小值点，也是()h x 的最小值点，即()()min
20h x h ==．
设()2
2
2
ln m x e x e
e x =--，则
()()2
22
1x e
m x e x x
e -'=-=
．
当01x <<时,()0m x '<；当2x >时，()0m x '>，所以()m x 在0,1
上是减函数,
在1,
上是增函数,
所以1x =是()m x 的极小值点,也是()m x 的最小值点，即()()min
10m x m ==．
综上,()0h x ≥(当且仅当2x =时取等号)，()0m x ≥（当且仅当1x =时取等
号）,
所以()()()0g x h x m x =+>，故当0a <时，()2
ln f x e x
>．
22。

解（1）将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得y x =,所
以直线l 的极坐标方程为()4
R π
θρ=
∈；
将圆C 的参数方程化为直角坐标方程,得()2
25x a y -+=，
所以圆C 的极坐标方程为
()22
2cos 50a a ρθρ-+-=.
202112
- 11 - 由原点O 在圆C 的内部，得()2
2005a -+<
，解得a <<a 的取值
范围是(。

（2)将4πθ=代入()222cos 50a a ρθρ-+-=
，得2250a ρρ+-=。

则
12ρρ+=,2125a ρρ=-，所以
()2222
21212122OM ON ρρρρρρ+=+=+
-)()222510a =--=， 故22OM ON +为定值.
23．解：（1）
()161216x f x x x ≤-⎧≤⇔⎨---≤⎩或1121216x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++≤⎩或122116x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++≤⎩， 解得22x -≤≤，即不等式()6f x ≤的解集为{}22x x -≤≤。

（2）()()1212221223g x f x x x x x x =++=-++≥---=，当且仅当()()21220x x -+≤时取等号,∴3m =。

故233a b c ++=。

由柯西不等式
()()()2222222123239a b c a b c ++++≥++=， 整理得
222914a b c ++≥，当且仅当123a b c ==，即314a =，614b =，914c =时等号成立。

所以
222a b c ++的最小值为914.。