八年级直线与圆的位置关系

直角与圆的位置关系
一、知识要点
（一）点和圆的位置关系
1.点和圆的位置关系有三种：点在圆外，点在圆上，. 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，则
点在圆外Ûd>r ；点在圆上Ûd=r ；点在圆内Ûd<r ； 2.过三点的圆：不在同一直线上的三点确定一个圆.
经过三角形的三个顶点，可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆. （二）直线和圆的位置关系 1.直线和圆的位置关系：
l
l
l
直线l 和⊙O 相交Ûd<r ；直线l 和⊙O 相切Ûd=r ；直线l 和⊙O 相交Ûd>r ； 其中，r 为⊙O 半径，d 为圆心O 到直线l 的距离. 2.切线的判定定理：
经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
如图，在⊙O 中，经过半径OA 的外端点A 作直线l ⊥OA ，则直线l 是⊙O 的切线 3.切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径. 如图，直线l 切⊙O 于点A ，则l ⊥OA
※结论1：如图，直线l 切⊙O 于点A ，直线l 1过圆心O ，且l 1⊥l ，则直线l 1过点A . ※结论2：如图，直线l 切⊙O 于点A ，直线l 1过点A ，且l 1⊥l ，则直线l 1过圆心O . 总结：这个定理共有三个条件，一条直线满足：①垂直于切线；②过切点；③过圆心. 定理可以直接用，结论需要证明. 4.切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 如图，PA 、PB 是的切线，切点分别为A 、B ，则PA=PB ，OP 平分∠
APB.
5.三角形的内心和外心
（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆；
（2）三角形的外心：经过三角形的三个顶点，可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心；
（3）三角形的内心：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心；
l
A
（4）直角三角形的内切圆半径与三边关系：
图1、图2、图3中、、分别是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，面积为S，
图1、图2中：
S
r
p
=，其中
1
()
2
p a b c
=++；图3中，∠C=90°，则
1
()
2
r a b c
=+-
F
图1 图2 图3
二、基础知识测试
知识要点1：圆的定义
1.已知同心圆O，大圆半径AO、BO分别交小圆于C、D，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由
知识要点2：点和圆的位置关系
2.在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CM是中线，CN是斜边上的高，以C为圆心，以3为半径画圆，则对A、B、C、M、N五点，在圆外的有，在圆上的有，在圆内的有.
知识要点3：垂径定理
3.已知AB为⊙O的直径，且AB=15，弦CD⊥AB于M，若O M∶OA=3∶5，则CD的长为（）
A. 3
B. 6
C. 12
D. 24
知识要点4：圆中弦、弧、圆心角关系定理
4.如图，在⊙O中，M、N分别是两条不平行的弦AB和CD的中点，且AB=CD，∠MON=126°，
则∠AMN=（）
A. 63°
B. 73°
C. 54°
D.90°
第3题图第4题图第5题图第6题图第7题图
知识要点5：圆周角定理
5.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC为（）
A. 22°
B. 26°
C. 32°
D. 68°
6.如图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB=25°，则∠BAO为（）
A. 55°
B. 60°
C. 65°
D. 70°
7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，则∠BOD为（）
知识要:6：直线和圆的位置关系
8.（1）一直线与圆有公共点时，最多有 个，这时这条直线叫圆的 ；最少有 个，这时这条直线叫圆的 .
（2）已知，⊙O 的直径为10，点O 到直线l 的距离为d ：①若直线l 与⊙O 相切，则d= ；②若d=4，则直线l 与⊙O 有 个交点；③若d=6，则直线l 与⊙O 的位置关系是 知识要点7：切线的判定
9.如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，BD=OB ，点C 在⊙O 上，∠CAB=30°，则直线CD 与⊙O 的位置关系是
D
A
A
D
第9题图 第10题图 知识要点8：切线的性质
10.如图，△ABC 中，内切圆I 和边BC 、CA 、AB 分别切于D 、E 、F ，若∠FDE=70°，则∠A= 三、例题解析
※点和圆的位置关系 思路：连圆心，得半径
【例1】在⊙O 中，直径AB=6，BC 是弦，∠ABC=30°，点P 在BC 上，点Q 在⊙O 上，且OP ⊥PQ. （1）如图1，当PQ ∥AB 时，求PQ 的长
（2）如图2，当点P 在BC 上移动时，求PQ 的最大值
〖练1〗如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，若BC=6，AC=8，∠ABD=45° （1）求BD 的长；（2）求图中阴影部分的面积
.
※直线和圆的位置关系 （一）切线的判定：
1.经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【例2】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，
BC=D是线段BC的中点.
（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）过点D作DE⊥AC于E，求证：直线DE是⊙O的切线
〖练2〗（1）如图，在△ABC中，AC=BC，以BC为直径的半⊙O与AB边交于D，DE⊥AC于E，求证：DE是⊙O的切线.
A
（2）如图，在△OBC中，∠OBC=90°，以O为圆心，OB为半径的圆与BO的延长线交于点E，过点E 作ED∥OC交⊙O于D，直线CD、BE交于点A.
①试判直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；②若AD=4，AE=2，求⊙O的半径
2. r为⊙O半径，d为圆心O到直线l的距离，则直线l和⊙O相切Ûd=r
思路：作垂直，证半径
【例3】（1）如图，在梯形ABCD中，∠C=90°，AD∥BC，AD+BC=AB，以AB为直径作⊙O.
①求证：CD是⊙O的切线；
②试探索以CD为直径的圆与AB有怎样的位置关系？证明你的结论
（2）如图，PA是⊙O的切线，A为切点，PBE是⊙O的割线，交⊙O于B、E，M是BE的中点，连OM ①若把直线PA沿OP对折，得对应直线为PD，求证：PD是⊙O的切线；
②连PO交⊙O于F，若
PA=PF=4，求⊙O的半径及∠AMO的度数.
〖练3〗（1）如图，△ABC为等腰三角形，O为底边BC的中点，OD⊥AB，以O为圆心，OD为半径作⊙O，求证：AC与O相切
B
（2）如图，AD是△ABC的高，AD=1
2
BC，E、F分别为AB、AC的中点，以EF为直线作⊙O，试判断
BC与⊙O的位置关系，并说明理由
（二）切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径
【例4】（1）如图，直线AC与⊙O相切于点A，AB是弦，P是优弧AB是一动点
①若AP经过圆O，请判断∠P与∠BAC的数量关系，并加以证明
②若AP不经过圆O，∠P与∠BAC是否存在某种确定的数量关系，证明你的结论
（2）如图，OA和OB是⊙O的半径，OA⊥OB，P是OA上一点，BP的延长线交⊙O于Q，过Q的⊙O 的切线交直线OA于R.
①求证：RP=RQ；②若P在OA的延长线上，其余条件不变，（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.
〖练4〗（1）如图，EB为半⊙O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半⊙O于D，BC⊥AD于C，若AB=2，半⊙O的半径为2，求BC的长；
ACB
（2）如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在优弧AB上，若∠P=50°，求∠
（三）切线长定理：
1.经过圆外一点引圆的切线，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长；
2.从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
【例5】（1）为了测量一个圆形铁环的直径，某同学采用如下方法，将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角30°的三角板和一把刻度尺，按照如图所示的方法得到相关的数据，进而可以求铁环的半径，若测得PA=5，铁环的半径是
（2）如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 相切于A 、B ，PA=4，∠APB=40°，C 是弧AB 上任意一点，过C 作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于D 、E
①求△PDE 的周长；②求∠DOE 的度数；③当点C 在弧AB 上移动时，试确定∠PAC+∠PBC 的值.
（3）如图，⊙O 分别切△ABC 的三边AB 、BC 、CA 于D 、E 、F ，若BC=a ，AC=b ，AB=c ①求AD 、BE 、CF 的长；②当∠A=90°时，求内切圆的半径
〖练5〗（1）⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 为切点. 1）求证：①AD=AF=
2AB AC BC +-；②BD=BE=2
BA BC AC
+-；③CE 与CF 呢？你能从中发现什么规律？
2）如图，当∠C=90°时，求证：2
a b c
r +-=
（其中r 是△ABC 内切圆的半径）.
（2）如图，直线
3
3
4
y x
=-+与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C（m，n）是第二象限内任意一
点，以C为圆心的圆与x轴相切于点E，与直线AB相切于点F.
①当四边形OBCE是矩形时，求点C的坐标；②如图，若⊙O与y轴相切于点D，求⊙C的半径r.
（四）与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
【例6】如图，I是△
ABC的内心，∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D，求证：BD=ID D
B C
〖练6〗如图，△ABC的三边满足
1
()
2
BC AB AC
=+，O、I分别为△ABC的外心、内心，∠BAC的外角
平分线交⊙O于E，AI的延长线交⊙O于D，DE交BC于H.
求证：（1）AI=BD；（2）OI=1
2 AE。