2024版高考数学一轮复习专题基础练专题五平面向量及其应用复数专题综合训练作业课件

=
1
3
所以z=2+ 2 i.(题眼)
1
= 2,
3
,
2
专题综合训练
3
对于A,复数z的虚部为 2 ,A不正确;(易错警示:注意复数的虚部不包含虚数单位)
1
3
− i
1
1
1 3
对于B, =1 3 = 1 23 21 3 =2- 2 i,故B正确;(方法总结:复数的除法运算,即将分子与分母同时乘以分母的共轭复数,
设x=2+rcos α,y=rsin α,0≤r≤1,α∈R,所以b·c=x+ 3y=rcos α+ 3rsin α+
π
π
2=2+2rsin(α+ 6 ),由于-1≤-r≤rsin(α+ 6 )≤r≤1,所以b·c∈[0,4].故选D.
专题综合训练
15. [多选][2022山东潍坊测评]已知复数z满足|z|=|z-1|=1,且复数z对应的点在第一象限,则下列结论正确的是
21
.故选B.
7
专题综合训练
14. [2023山东日照联考]已知向量a,b的夹角为60°,|a|=|b|=2,若向量c满足|c-a|≤1,则b·c的取值范围是
B.[-2 3,2 3]
A.[-4,4]
C.[0,2 3]
D.[0,4]
答案
14.D 解法一 如图,取=a,=b,=c,则点C在以A为圆心,1为半径的圆面上(包括边界),设向量b,c的夹角为θ,
答案
11.A 连接GB,GC,GD,如图所示,因为G为△BCD的重心,所以++=0,又=+=+=+,
所以++=3,所以·(++)=3·=-3||·||.又||·||≤(
||=1时取等号,所以·(++)=-3·≥-3.故选A.
专题综合训练
1
9. [2023河南信阳部分学校联考]在△ABC中,D是BC上一点,=2,M是线段AD上一点,=t+4 ,则t=
1
A.2
2
3
B.3
C.4
5
D.8
答案
9.D 解法一
2
3
1
1
3
3
如ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,因为=2,所以=3 ,即=2 .因为=t+4 =t+4×2 =t+8 ,A,M,D
=
,即|c|的取值范围是[
, ],故选B.
16
2 2
22
专题综合训练
13. [2022辽宁葫芦岛期末]如图,在△ABC中,已知||=||=2,A=120°,E,F分别是边AB,AC上的点,=λ,=μ,
其中λ,μ∈R,且λ+2μ=1,若线段EF,BC的中点分别为M,N,则||的最小值是
B.(5,5)
21
C.(5,5)
12
D.(5,5)
答案
5.D
1
2
因为a∥b,所以2x=y ①.因为a-c=(x+1,y-1), b⊥(a-c),所以x+1+2(y-1)=0 ②.由①②可得,x=5,y=5,
12
所以a=(5,5),故选D.
专题综合训练
6. [2023湖南省长沙市第一中学段考]若e1,e2是夹角为60°的两个单位向量,则a=2e1+e2与b=-3e1+2e2的夹角为
3
5
三点共线,所以t+8=1,所以t=8,故选D.
【方法总结】若=x+y,且O,A,B三点不共线,则有x+y=1⇔A,B,C三点共线
专题综合训练
2
解法二 因为=2,所以=3 .因为点M在AD上,所以可设=λ,(题眼)
2
1
则有-=λ(-),即=(1-λ)+λ=(1-λ)+ 3 ,又=t+4 ,且,不共线,所以由平面向量
3
1− = ,
= 8,
基本定理得ቐ 2 1 解得൞
5 故选D.
=
,
= ,
3
4
8
专题综合训练
10. [2022湖北恩施质监]圆的内接四边形ABCD中,AD=2,CD=4,BD是圆的直径,则·=
A.12
B.-12
C.20
D.-20
答案
10.B 解法一
因为BD是圆的直径,所以∠BAD=∠BCD=90°,所以·=-(-)·=·-·=
8
2) 2 + (
故||的最大值为 (
14
2 =1,AB的中点坐标为(11 2, 14),则以AB为直径的圆的方程为(x-11 2)2+(y- 14)2=1,
−0)
8
16 16
16
16
4
11 2 2
)
16
+(
14 2 1 3
) +2=2,最小值为
16
(
11 2 2
)
16
+(
14 2 1 1
13
)
2 2
D.(- 2 , 2 )
答案
·
2

7.B ∵b=(1,1),∴|b|= 2,又|a|=2,|a+b|2=a2+b2+2a·b=10,∴a·b=2,∴a在b上的投影向量为 || ×||= 2× 2=b,
其坐标为(1,1).故选B.
专题综合训练
8. [2022T8联盟联考(二)]如图,在同一平面内沿平行四边形ABCD的两边AB,AD向外分别作正方形ABEF,ADMN,其
(2+ 2)−(2+2)
结论3 在平面四边形ABCD中,有cos<,>=
.
2| |||
专题综合训练
11. [2023湖南湘潭摸底]在四边形ABCD中,G为△BCD的重心,AG=2,点O在线段AG上,则·(++)的最小
值为
A.-3
B.-2
C.-1
D.0
专题综合训练
2. [2023高三名校联考(二)]设复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,z1=1+2i,i为虚数单位,则z1z2=
A.1-2i
B.-5
C.5
D.5i
答案
2.B 因为z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称,z1=1+2i,所以z2=-1+2i,(题眼)
所以z1z2=(1+2i)(-1+2i)=-5,故选B.
||+| | 2
) =1,当且仅当||=
2
专题综合训练
3
12. [2022浙江绍兴期末]已知a·b=4,|a+b|=2,向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的取值范围是
13
A.[1,2]
B.[2,2]
C.[1,3]
D.[0,1]
答案
3
5
2
12.B 由a·b=4,|a+b|=2,得a2+b2=2,如图所示,不妨设=a=( 2,0),=b,则|a|= 2,|b|= 2 ,设b=(m,n)(m>0,n>0),
2
则ቐ
( +
1
+
= 2,
2) 2 + 2 =
2
4,
得൞
=
=
3 2
,
3 2 14
8
即b=( 8 , 8 ).
14
,
8
专题综合训练
设=c,则=a-c,=b-c,因为(a-c)·(b-c)=0,所以⊥,所以点C在以AB为直径的圆上运动,在△AOB中,
|AB|= (
3 2
−
||·||·cos∠ADB-||·||·cos∠BDC=||2-||2=22-42=-12.故选B.
解法二 如图所示,因为BD是直径,所以AB⊥AD,CB⊥CD.由平面四边形对角线向量定理,可得·=
2 + 2 −2 −2 2 +2 −2 −(2 −2 )−2
3
A.复数z的虚部为 2 i
1 1
3
B. =2- 2 i
C.z2=z-1
1
3
D.复数z的共轭复数为-2+ 2 i
答案
2
2
+
= 1,
15.BC 设z=a+bi(a,b∈R,且a,b>0),因为|z|=|z-1|=1,即|a+bi|=|(a-1)+bi|=1,所以൝
解得൞
(−1) 2 +2 = 1,
7
A. 7
B.
21
7
21
C. 14
D. 21
专题综合训练
答案
13.B 由||=||=2,A=120°,得·=||||cos A=-2,连接AM,AN,因为M,N分别是线段EF,BC的中点,所以
1
1
1
1
=2(+)=2(λ+μ),=2(+),所以=-=2[(1-λ)+(1-μ)],两边同时平方,得 2 =
1
2 2 +2(1-λ)(1-μ)·
2 2 ]=1[4(1-λ)2-4(1-λ)(1-μ)+4(1-μ)2]=λ2+μ2-λμ-λ-μ+1,又λ+2μ=1,所以 2 =
[(1-λ)
+(1-μ)
4
4
2
3
2
3
(1-2μ)2+μ2-(1-2μ)μ-(1-2μ)-μ+1=7μ2-4μ+1=7(μ-7)2+7,所以当μ=7时, 2取得最小值7,即||的最小值为
= −4,
解得ቊ
∴z3=-4+i,∴|z3|= (−4) 2 + 12 = 17.故选A.
= 1,
1 = 2−,
专题综合训练
5. [2022东北三省四校联合体模拟]已知向量a=(x,y),b=(1,2),c=(-1,1),若满足a∥b,b⊥(a-c),则向量a的坐标为
63
A.(5,5)
36
专题综合训练
−
1
3. [2023湖南长沙重点中学摸底]设复数z满足z- =2i,|z|=2,复数z在复平面内所对应的点位于第一象限,则z=
A.
1+ 3i
2
B.
3−i
4
C.
−1+
3i
2
D.
3+i
4
答案
−
−
3.B 设z=a+bi(a∈R,b∈R),则 =a-bi,所以z- =2bi=2i,则b=1,(题眼)
四边形(O为复平面的坐标原点),则|z3|=
A. 17
B.17
C. 15
D.15
答案
4.A
设z3=x+yi(x,y∈R),由题知O(0,0),A(3,1),B(-1,2),C(x,y),∵四边形OABC为平行四边形,∴==-,
即(3,1)=(-1-x,2-y),∴ቊ
3 = −1−,
专题综合训练
专题综合训练

1. [ 2023广西桂林检测]已知复数z=a+bi(a,b∈R),若i2 023+2=b+i,则|z|=
A. 3
B.2
C. 5
D.3
答案


1.C 由i2 023+2=b+i,可得−i+2=b+i,即2+ai=b+i,∴a=1,b=2,即z=1+2i,∴|z|= 12 + 22 = 5,故选C.
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
答案
1
1
7
6.C 由题意可得e1·e2=1×1×cos 60°=2,故a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-612 +e1·e2+222 =-6+2+2=-2,
|a|= (2e1+e2) 2 = 412 + 41 ·2 + 22 = 7,|b|= (−3e1+2e2) 2 = 912 −12e1·e2 + 422 = 7,故cos<a,b>=
=
=
2
2
【技巧应用】应用平面四边形对角线向量定理的结论1得到等量关系,
注意勾股定理的应用
2 -2 =22-42=-12,即·=-12.故选B.
专题综合训练
结论拓展
平面四边形对角线向量定理
结论1
(2+ 2)−(2+2)
在平面四边形ABCD中,有·=
.
2
结论2
在平面四边形ABCD中,若AC⊥BD,则有 2 + 2 =2 +2 .
π
中AB=2,AD=1,∠BAD= 4 ,则·=
A.-2 2
B.2 2
C.0
D.-1
答案
8.C 由题意知,=+,=+,所以·=(+)·(+)=·+·+·+·=
π
2
3π
4
π
4
π
2
2×2×cos +2×1×cos +1×2×cos +1×1×cos =0.故选C.
7
−2
·
1
=
=||·|| 7× 7 2,因为0°≤<a,b>≤180°,所以<a,b>=120°,故选C.
专题综合训练
7. [2023九师联盟联考]已知平面向量a,b满足|a|=2,b=(1,1),|a+b|= 10,则a在b上的投影向量的坐标为
2 2
A.( 2 , 2 )
B.(1,1)
C.(-1,-1)
所以|z|= 2 + 2 = 2 + 1=2,解得a=± 3.又复数z在复平面内所对应的点位于第一象限,所以a= 3,所以z= 3+i,
1
所以 =
1
3−i
3−i
=
=
,故选B.
3+i ( 3+i)( 3−i)
4
专题综合训练
4. [2023山西摸底]设复数z1,z2,z3在复平面上对应的点分别为A,B,C,已知复数z1=3+i,z2=-1+2i,若四边形OABC为平行
ππ
由图可知,θ的取值范围为[ 6 , 2 ].b·c=|b||c|cos θ=2|c|cos θ,因为|c|cos θ为向量c在向量b上的投影向量的模长,且
0≤|c|cos θ≤2,所以b·c的取值范围是[0,4].
解法二 不妨设a=(2,0),b=(1, 3),c=(x,y).因为|c-a|≤1,所以(x-2)2+y2≤1.