理论力学8-2达朗贝尔-拉格朗日原理

第二类拉格朗日方程
i r r i ri q qk * k Qk mi r i
n i 1
第二类拉格朗日方程
i r ri d qk dt qk
第 8章
* Qk Qk 0
* Qk d T k dt q
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例 8-2-2
已知：离心调速器以匀角速度 转动。各杆 长度为l，T型杆宽度为2d，均不计重量。不 计摩擦。 求：角速度与张角a的关系。
O
例 8-2-2
第 8章 广义坐标？ 自由度？ 是否为理想约束系统？ 受力分析？ 加速度分析？ 虚位移分析？
a A aB (d l sin ) 2
F
i 1
N
i
δ ri
F
i 1
N
i
*
δ ri
2m1 (d l sin ) 2 cos 2(m1 m2 ) g sin δrA 0
2
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自由刚体上任意点的虚位移(速度)可由基点O的 虚位移(速度)和刚体的虚转动位移(角速度)确定
δri δrO δ ri
第 8章

( F m a ) δr 0
i i 1
n
O
a A aB (d l sin ) 2
δrB δrA
aC 0
δrB
B
2 δr A d
aA A
x
δrC 2δrA sin
aB

m1 gδrA sin m1a AδrA cos m1 gδrB sin m1aB δrB cos 2m2 gδrC 0
8.3 第二类拉格朗日方程
从达-拉原理出发，已经实现
自动满足完整约束
分析动力学
引入广义坐标
将动力学普遍方程中的加速度项变换成只
与速度相关的表达式 引入广义力和动力学函数，与系统 的动能和势能相联系
2013年12月15日
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广义坐标形式的达朗贝尔-拉格朗日原理
第 8章 理想完整约束系统：广义坐标q1, q2, …, qn n r ri ri (q1 , q2 , , qn , t ) δri i δq j j 1 q j
i i 1
n
达朗贝尔-拉格朗日原理是非自由质系动力
r ) δr N δr 0 (F m
i i i i i i i 1 n i 1
(F N
i i 1
i
mi r i ) δr i 0
用约束反力代替约束后，质系就变成了自由 质系，所有虚位移都是相互独立的，故
Fi Ni mi r i 1, 2, , n i 0,
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达朗贝尔-拉格朗日原理与牛顿定律等价！
学的普遍规律，既适用于定常、完整约束， 也适用于非定常、非完整约束，是带有统帅 意义的理论 动力学普遍方程中不包含理想约束的约束反 力，减少了未知数的数量 虚位移原理可以看成是达朗贝尔-拉格朗日 原理的特殊情况。 从达-拉原理可推导出第二类拉格朗日方程， 是分析动力学的重要方程 联合虚位移原理和达朗贝尔原理，可以得到 达朗贝尔-拉格朗日原理。
n
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第 8章
5/27
分析动力学 分析动力学
分析动力学
i 1
Fi δri Q j δq j
n N
r Q j Fi i q j i 1 j 1 i 1 N N n r i δq j mi ri δri mi r i i 1 i 1 j 1 q j
R δrO MO δΘ
同理，力系{F1*, F2*, …, Fl*}在这组虚位移上所作 的虚功为： * δA* R* δrO MO δΘ
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3
问题的提出
第 8章 拉格朗日方程在理论上和工程上都具有重要 意义，推导拉格朗日方程时的目标是什么？
不需要考虑理想约束的约束反力
m1 g δrC
C
m1 g
如果在一个质点系上分别作用两个不同的力 系，它们对此质点系作用效果相同，则称这 两个力系对此质点系等效。 根据达朗贝尔-拉格朗日原理，两力系等效的 充分必要条件：它们在质点系的任意一组相 同的虚位移上所做的虚功都相等，即
第 8章
分析动力学
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分析动力学
m2 g
y
(m1 m2 ) g tan m1 (d l sin )
分析动力学
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分析动力学
o
y
m1
m 1g m 2g
F1x m1 g
F2 x m2 g
x
m2
(m1 g m1 x1 )δx1 (m2 g m2 x2 )δx2 0
x2 δx2 0 (m2 m1)g (m1 m2 )
2 ( m2 m1 ) g (m1 m2 ) x
m1
x
研究对象？ 理想约束？ 自由度？ 广义坐标？
(m1 g m1a1 )δr1 ( m2 g m2 a2 )δr2 0
m2
[(m1 m2 ) g (m1 m2 )a2 ]δr2 0
o
a1
m1
整个系统 双面理想约束，达-拉原理适用 单自由度 任一小球的x坐标
(m1 m2 )a2 (m1 m2 ) g x2 a2
(m1 m2 ) x2 (m2 m1 ) g
δr1
y
m2
x a2
δr2
m1 g m2 g
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解法二
解析法
第 8章
解题步骤
1. 确定研究对象：系统整体 2. 判断是否受理想约束 3. 受力分析：主动力、待求解的约束反力（需 解除相应的约束） 4. 运动分析：分析加速度 5 给出虚位移，找出它们之间的关系 5. 给出虚位移 找出它们之间的关系 几何法：利用运动学中速度分析的方法， 找出各点虚位移 δri 之间的关系 解析法：对约束方程进行变分，即可求得 各点虚位移 δxi , δyi , δzi 之间的关系 6. 列出动力学方程，并求解
T q k
qk
r n ri n i i mi r d d mi r q qk i 1 i dt dt i 1 k n n r r i mi r i d mi r k i 1 i qk dt i 1 i q
[( F
i 1
n
ix
mi xi ) δxi ( Fiy mi yi ) δyi ( Fiz mi zi ) δzi ] 0
x1 x2 l
y1 r y2 r
δx1 δx2
δy1 0 δy2 0
x1 x2
n n 2 1 mi r i2 d 1 mi r k i 1 2 i dt q 2 q k i 1 d T T k qk dt q
d T T Q , k 1, 2, , n 第二类拉格朗 k k dt 日方程 q qk V Q 如主动力都是有势力： k qk V 0 d T T V k qk k dt q qk q d L L 0, k 1, 2, , n 主动力为势力时 k 的拉格朗日方程 dt q qk
分析动力学
分析动力学
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1
例 8-2-1
第 8章 建立如图所示系统的运动微分方程。 第 8章
解法一
几何法
i i i
(F m a ) δr 0
i i 1
n
o
y
δr1 δr2
a1 a2
第 8章
第 8章
分析动力学
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分析动力学
(m1 g m1a1 ) δr1 ( m2 g m2 a2 ) δr2 0
ri mi r δq j i q j j 1 i 1
Q
* j
完整系统
Q j Q* j 0
广义主动力和广义 惯性力相互平衡！Βιβλιοθήκη 4/27广义惯性力
i r ri d qk dt qk
r d i dt qk
i i i i i i 1 i 1
对理想约束
N δr 0
i i i 1
n
r ) δr 0 (F m
i i i i i 1
n
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与牛顿定律的关系（续）
r ) δr 0 (F m
i i i i i 1 n n n
讨论
第 8章
i
N δr 0
问题的提出
第 8章 分析静力学：虚位移原理给出了受双面理想约 束的质系的可能平衡位置是真实平衡位置的充 分必要条件
δA Fi δri 0
i 1 N
8.2 达朗贝尔－拉格朗日 原理
分析动力学
分析力学研究质系动力学问题有何原理？
2013年12月15日
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达朗贝尔－拉格朗日原理
第 8章 具有理想、双面约束的非自由质系，其可能运 动ri = ri(t) 是真实运动的充分必要条件是 第 8章
与牛顿定律的关系
设质点Pi受主动力Fi、约束力Ni的作用，加速 度为 r i ：
mi ri Fi N i (i 1, 2, , n)
n i
( F m a ) δr 0
i i i i i 1
n
n
动力学普遍方程
Fi N i mi r i 0
n
第 8章
N
i 1 N
N
分析动力学
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分析动力学
R δrO ( ri Fi ) δΘ
i 1
N
* ( R R* ) δrO ( MO MO ) δΘ 0
由 δrO , δΘ 的任意性可得
(e) *( e ) R( e ) R*( e ) , MO MO
δrB δrA
O
几何法
δrB m1
B
2 m1
d
x
m1 g
aB
δrA aA A
分析动力学
11/17
分析动力学
m1
B
d
x
m1
A
δrC
C
m1 g
m2
m2 g
aC 0
y
C
m2 y
12/17
δrC 2δrA sin
2
例 8-2-2
第 8章
几何法
i i i
力系等效定理的证明
质系动力学普遍方程： Fi δri mi r i δri 0
i 1
N
拉格朗日关系式
第 8章
ri ri (q1 , q2 , , qn , t )
对t求导
i r
N
N
k求导 ri r 对q i r r j i q i t k qk q j 1 q j
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分析动力学
L = T – V — 拉格朗日函数，或动势 若部分主动力 d L k dt 有势： q
分析动力学
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分析动力学
对于任意一组虚位移δri都成立
[( F
i 1
ix
mi xi ) δxi ( Fiy mi yi ) δyi ( Fiz mi zi ) δzi ] 0
r ) δr N δr 0 ( F m
N n
对qk求导
n n i r 2 ri 2 ri ri j q qk j 1 q j qk t qk j 1 q j qk
Q
j 1
n
j
Q* j δq j 0
r j i q t qk
：虚转动位移
力系等效定理的证明
力系{F1, F2, …, Fn}在这组虚位移上所作的虚功
δA Fi ( δrO δΘ ri )
Fi δrO Fi (δΘ ri )
i 1 i 1
力系等效定理的证明
第 8章
δA δA*
* R* δrO MO δΘ R δrO MO δΘ