九年级数学人教版(上册)期末测试

7．如图，PA，PB，CD 分别切⊙O 于点 A，B，E，CD 分别交 PA，PB 于点 C，D.下列关系：①PA＝PB；②∠ACO＝∠DCO；③ ∠BOE 和∠BDE 互补；④△PCD 的周长是线段 PB 长度的 2 倍，其 中正确的有(D )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
8．抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线 x＝－1，与 x 轴
＝DE2. ∴DC2＋BC2＝AC2，即四边形 ABCD 是勾股四边形．
22．(16 分)如图，关于 x 的二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象与 x 轴交于点 A(1，0)和点 B，与 y 轴交于点 C(0，3)，抛物线的对称轴 与 x 轴交于点 D.
(1)求二次函数的解析式． 解：把 A(1，0)和 C(0，3)代入 y＝x2＋bx＋c，得
的一个交点在(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图象如图，则下列结
论：①4ac－b2＜0；②2a－b＝0；③a＋b＋c＜0；④点(x1，y1)，(x2，
y2)在抛物线上，若 x1＜x2，则 y1＜y2.正确结论的个数是( C )
A．1
B．2
C．3 提示：①②③正确．
D．4
二、填空题(每小题 3 分，共 24 分)
∵∠ACP＋∠BCE＝90°，∠AQC＋∠CAP＝90°，∴∠CAP ＝∠ACP.∴AP＝CP.∴AP＝CP＝PQ.∴点 P 是△ACQ 的外心．∴结 论③正确．由于不能确定B︵D与A︵C的大小关系，因而不能确定∠BAD 与∠ABC 的关系．∴结论①不一定正确．故②③正确．
三、解答题(共 72 分) 17．(10 分)解方程： (1)3x2＋2x－5＝0. 解：x1＝1，x2＝－53.
2π＋3＋3 3＝4π＋9＋3 3.
21．(12 分)给出定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和 等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．
(1)在你学过的特殊四边形中，写出两种勾股四边形的名称．
解：正方形、矩形、直角梯形(任写两个)．
(2)如图，将△ABC 绕顶点 B 按顺时针方向旋转 60°得到△DBE， 连接 AD，DC，CE，已知∠DCB＝30°.求证：
16．如图，在⊙O 中，AB 是直径，点 D 是⊙O 上一点，点 C 是A︵D的中点，CE⊥AB 于点 E，过点 D 的切线交 EC 的延长线于点 G，连接 AD，分别交 CE，CB 于点 P，Q.连接 AC.下列结论：
①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点 P 是△ACQ 的外心，其 中正确的是 ②③(只需填写序号)．
(2)(1－2x)2＝x2－6x＋9. 解：x1＝43，x2＝－2.
18．(12 分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的 坐标分别为 A(－3，1)，B(－1，3)，C(0，1)．
(1)将△ABC 以点 C 为旋转中心旋转 180°，画出旋转后的 △A1B1C1，并写出点 A1，B1 的坐标．
9．把抛物线 y＝－12x2 向下平移 1 个单位长度，再向左平移 1 个
单位长度，得到的抛物线的解析式为 y＝－12(x＋1)2－1
．
10．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交价由 10 月份 的 7 000 元/米 2 下降到 12 月份的 5 670 元/米 2，则 11，12 两月平均 每月降价的百分率是 10% ．
解：这个游戏不公平，对小明更有利．理由：根据题意列表
如下：
转盘 A 转盘 B
－1 0 1 2
1 0 1 23 －2 －3 －2 －1 0
－1 －2 －1 0 1
由表可知，所有可能的情况有 12 种，每种情况出现的可能性相 同，其中两数之和为负数的情况有 5 种，
∴P(小聪获胜)＝152，P(小明获胜)＝172.∵152＜172，∴对小明更 有利．
∴S△MNB＝12×(2－t)×2t＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1. 由(1)可知，抛物线的对称轴为直线 x＝2，D(2，0)， ∴当 t＝1，即当 M(2，0)，N(2，2)或(2，－2)时，△MNB 的面 积最大，最大面积是 1.
解：如图所示，△A1B1C1 为所作 三角形，A1(3，1)，B1(1，－1)．
(2)平移△ABC，若点 A 的对应点 A2 的坐标为(－5，－3)，画出 平移后的△A2B2C2，并写出点 B23，－1)，C2(－2，－3)．
(3)若△A2B2C2 和△A1B1C1 关于点 P 中心对称，请直接写出对称 中心 P 的坐标．
13．有 4 张看上去无差别的卡片，上面分别写着 2，3，4，6，
小红随机抽取 1 张后，放回并混在一起，再随机抽取 1 张，则小红 7
第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率为16．
14．已知一元二次方程 2x2－5x＋1＝0 的两根为 m，n，则 m2 21
＋n2＝ 4 ．
15．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝ 2，将△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 60°到△AB′C′的位置，连接 C′B，则 C′B ＝ 3－1 ．
①△BCE 是等边三角形． 解：证明：①由旋转的性质，得 BC＝BE. ∵∠CBE＝60°，∴△BCE 是等边三角形．
②DC2＋BC2＝AC2，即四边形 ABCD 是勾股四边形． 解：由旋转的性质，得 AC＝DE.∵△BCE 是等边三角形，∴BC
＝CE，∠BCE＝60°. ∵∠DCB＝30°，∴∠DCE＝90°.∴在 Rt△DCE 中，DC2＋CE2
(2)若 AB＝12，求图中阴影部分的周长之和． 解：连接 BD.∵AB 是直径，∴∠ADB＝90°.∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA. 又∵∠CDA＝∠BAD，∴∠CDA＝∠BAD＝∠CAD.∴A︵C＝D︵C
＝B︵D.
又∵∠AOB＝180°，∴∠DOB＝60°.∵OD＝OB，∴△DOB 是等边三角形．
解析：连接 OD，∵DG 是⊙O 的切线，∴∠GDO＝90°.∴ ∠GDP＋∠ADO＝90°.在 Rt△APE 中，∠OAD＋∠APE＝90°.∵ AO＝DO，∴∠OAD＝∠ADO.∴∠APE＝∠GPD＝∠GDP.∴GP＝ GD.∴结论②正确．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠CAQ ＋∠AQC＝90°.∵点 C 是A︵D的中点，∴∠CAQ＝∠ABC.又∵ ∠ABC＋∠BCE＝90°，∴∠AQC＝∠BCE.∴PC＝PQ.
∴BD＝OB＝12AB＝6.∵A︵C＝B︵D，∴AC＝BD＝6.∵BE 切⊙O 于点 B，∴BE⊥AB.
∴∠DBE＝∠ABE－∠ABD＝30°.∵CD∥AB，∴∠E＝180° －∠ABE＝90°.∴DE＝12BD＝3，BE＝3 3.
又∵lA︵C＝lB︵D＝601π8×06＝2π， ∴阴影部分的周长之和为 lA︵C＋AC＋lB︵D＋DE＋BE＝2π＋6＋
解：对称中心 P 的坐标为(－1，－1)．
19．(10 分)如图，两个转盘中指针落在每个数字上的机会相等， 现同时转动 A，B 两个转盘，停止后，指针各指向一个数字．小聪 和小明利用这两个转盘做游戏：若两数之和为负数，则小聪胜；否 则，小明胜．你认为这个游戏公平吗？如果不公平，对谁更有利？ 请你利用画树状图或列表的方法说明理由．
A．(x＋4)2＝15
B．(x＋4)2＝17
C．(x－4)2＝15
D．(x－4)2＝17
4．若关于 x 的一元二次方程 ax2－x＋1＝0 有实数根，则 a 的取
值范围是( A )
A．a≤14且 a≠0
B．a≤14
C．a≥－14且 a≠0
D．a≥－14
5．若正六边形的外接圆的半径长为 4，则它的边长等于( A )
论：如图，
①当 CP＝CB 时，PC＝3 2， ∴OP＝OC＋PC＝3＋3 2或 OP＝PC－OC＝3 2－3. ∴P1(0，3＋3 2)，P2(0，3－3 2)； ②当 BP＝BC 时，OP＝OC＝3，∴P3(0，－3)； ③当 PB＝PC 时，∵OC＝OB＝3，∴此时点 P 与点 O 重合．∴ P4(0，0)． 综上所述，点 P 的坐标为(0，3＋3 2)或(0，3－3 2)或(0，－3) 或(0，0)．
(3)动点 M 从点 A 出发，以每秒 1 个单位长度的速度在 AB 上向点 B 运动，同时动点 N 从点 D 出发，以每秒 2 个单位长度的速度在抛物 线的对称轴上运动，当点 M 到达点 B 时，点 M，N 同时停止运动．当 点 M，N 运动到何处时，△MNB 的面积最大？试求出最大面积．
解：设点 M 运动的时间为 t 秒，则 AM＝t， DN＝2t，由 AB＝2，得 BM＝2－t，
A．4
B．2
C．2 3
D．4 3
6．如图，点 O 为平面直角坐标系的原点，点 A 在 x 轴上，△OAB 是边长为 4 的等边三角形，以 O 为旋转中心，将△OAB 按顺时针方 向旋转 60°，得到△OA′B′，那么点 A′的坐标为( D )
A．(2，2 3) B．(－2，4) C．(－2，2 2) D．(－2，2 3)
1c＝＋3b，＋c＝0，解得bc＝＝3－. 4，∴二次函数的解析式为 y＝x2－4x ＋3.
(2)在 y 轴上是否存在一点 P，使△PBC 为等腰三角形？若存在，
请求出点 P 的坐标． 解：令 y＝0，则 x2－4x＋3＝0，解得 x＝1 或 x＝3.∴B(3，0)．∴
BC＝3 2. 点 P 在 y 轴上，当△PBC 为等腰三角形时，分三种情况进行讨
期末测试
一、选择题(每小题 3 分，共 24 分)
1．抛物线 y＝3(x－2)2＋5 的顶点坐标是(A )
A．(2，5)
B．(－2，－5)
C．(－2，5)
D．(2，－5)
2．下列图形：
从中任取一个是中心对称图形的概率是(C )
A．14
B．12
C．34
D．1
3．用配方法解方程 x2＋1＝8x，变形后的结果正确的是( C )
20．(12 分)如图，CD 是⊙O 的弦，AB 是直径，且 CD∥AB.连 接 AC，AD，OD，其中 AC＝CD.过点 B 的切线交 CD 的延长线于 点 E.
(1)求证：DA 平分∠CDO. 解：证明：∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠BAD.∵AO＝OD， ∴∠ADO＝∠BAD.
∴∠ADO＝∠CDA.∴DA 平分∠CDO.
11．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的 直径是 10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm，如图所示， 则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为 8 mm.
12．将进货单价为 70 元的某种商品按零售价 100 元/个售出时， 每天能卖出 20 个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价 1 元， 其日销售量就增加 1 个，为了获得最大利润，则应降价 5 元．