2022-2023学年初中九年级上数学新人教版月考试卷(含解析)

2022-2023学年初中九年级上数学月考试卷
学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________
考试总分：135 分考试时间： 120 分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;
2．请将答案正确填写在答题卡上;
卷I（选择题）
一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是( )
A.ax2+bx+c=0
B.x2+y+3=0
C.(x−1)(x+1)=1
D.(x+2)(x−1)=x2
2. 圆外一点P到圆上各点的最短距离为3，最长距离为7，那么这个圆的半径为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
3. 关于x的一元二次方程(k+1)x2−2x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是( )
A.k≥0
B.k≤0
C.k<0且k≠−1
D.k≤0且k≠−1
4. 设a，b是两个实数，若定义一种运算“△”，a△b=a2+b2+ab，则方程(x+2)△x=1的实数根是( )
A.x1=x2=1
B.x 1=0，x 2=1
C.x 1=x 2=−1
D.x 1=1，x 2=−2
5. 下列命题中，假命题是( )
A.两条弧的长度相等，它们是等弧
B.等弧所对的圆周角相等
C.直径所对的圆周角是直角
D.一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍
6. 如图，把正六边形ABCDEF 各边分别延长，使延长的线段与正六边形ABCDEF 的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形A ′B ′C ′D ′E ′F ′，那么AB:A′B′的值是（ ）
A.1:2
B.1:√2
C.√2：√3
D.1:√3
7. 如图， △ABC 中， ∠A =80∘，点O 是△ABC 的内心，则∠BOC 的度数为( )
A.100∘
B.160∘
C.80∘
D.130∘
8. 如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，．则下列结论中不一定正确的是（ ）
A.OC⊥BE
B.OC//AE
C.∠COE＝2∠BAC
D.OD⊥AC
卷II（非选择题）
二、填空题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）
9. 若一个n边形的内角和是外角和的4倍，则n=________．
10. 写出一个一元二次方程________，使它的一根为12．
11. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC＝30∘，BC＝2，则⊙O的直径等于________．
12. 如图，AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，AC交⊙O于点D，若∠ACB=50∘，
则∠BOD=________．
13. 如图，在边长为20cm的等边三角形ABC纸片中，以顶点C为圆心，以此三角形的高为半径画弧分别交AC，BC于点D，E，则扇形CDE所围成的圆锥（不计接缝）的底面圆的半径为________cm．
14. 如图，⊙O的直径AB在△BCD的一边上，∠B=∠C，CD与⊙O 相切于点D，若CD=2√3，则半径OA的长为________.
15. 若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别是m+2与2m−5，则ba=________．
16.
如图，□ABCD的边长为2，对角线AC、BD交于点O，E为DC上一
点，∠DAE=30∘，过D作DF⊥AE于F点，连接OF．则线段OF的长度为
________．
三、解答题（本题共计 11 小题，每题 5 分，共计55分）
17. 解下列方程
（1）12x 2+x
＝2（配方法）；
（2）2x 2−7x+6
＝0（公式法）．
18. 一个零件的形状如图所示，按规定∠A=90∘，∠B和∠C分别是32∘和21∘的零件为合格零件，现质检工人量得∠BDC=149∘，就断定这个零件不合格，请你运用三角形的有关知识说明零件不合格的理由．
19. 如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图，填空：
（1）画射线AB；
（2）连接BC，延长CB交直线l于点D；
（3）在直线l上确定点E，使得AE+CE最小，请写出你作图的理由为________．
于　5　dm．
21. 关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．
(1)求实数k的取值范围；
(2)若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1x2，求k的值．
22. 如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC、OC、BC．求
证：∠ACO＝∠BCD．
23. 如图，点D为⊙O上一点，点C在直径AB的延长线上，且∠CDB=∠CAD，过点A作⊙O的切线，交CD的延长线于点E.
(1)判定直线CD与⊙O的位置关系，并说明你的理由；
(2)若CB=4，CD=8，①求圆的半径②求 ED的长.
24. 列一元二次方程解应用题.
某公司今年1月份的纯利润是20万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的纯利润是22.05万元，假设该公司2,3,4月每个月增长的利润率相同.
(1) 求每个月增长的利润率；
(2)请你预测4月份该公司的纯利润是多少？
25. 如图，△ABC中，∠C=90∘，AC=8cm，BC=4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动，另一点Q从A出发沿AC方向以2cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为ts．
(1)当t为几秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的14
(2)△PCQ的面积能否为△ABC面积的12若能，求出t的值；若不能，说明理由．
26. 已知x₁，x₂是关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2+1＝0的两个实数根，
①求m取值范围；
②若x21+x22＝15，求实数m的值；
27. 如图，在正方形ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，CD边上的点，AF和EG交于点H．现在提供三个关系：①AF⊥EG；②AH=HF；③AF=EG.
(1)从三个关系中选择一个作为条件，一个作为结论，形成一个真命题．写出该命题并证明；
(2)若AB=3，EG垂直平分AF，设BF=n.
①求EH:HG的值（含n的代数式表示）；
②连接FG，点P在FG上，当四边形CPHF是菱形时，求n的值．
参考答案与试题解析
2022-2023学年初中九年级上数学月考试卷
一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）
1.
【答案】
C
【考点】
一元二次方程的定义
【解析】
只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程．
【解答】
解：A，当a=0时，原方程是一元一次方程，，故不符合题意；
B，x2+y+3=0是二元二次方程，故不符合题意；
C，(x−1)(x+1)=1是一元二次方程，故符合题意；
D，(x+2)(x−1)=x2化简后是一元一次方程，故不符合题意.
故选C．
2.
【答案】
B
【考点】
点与圆的位置关系
【解析】
分类讨论：当点P在圆内，则圆的直径=5+1=6；当点P在圆外，则圆的直径=5−1=4，然后分别计算半径的长．
【解答】
解：∵点P在圆外，
∴圆的直径=7−3=4，所以圆的半径=2．
故选B．
3.
D
【考点】
根的判别式
一元二次方程的定义【解析】
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k+1≠0且△＝(−2)2−4(k+1)≥0
，然后求出两个
不等式的公共部分即可．【解答】
解：根据题意得k+1≠0且Δ=(−2)2−4(k+1)≥0
，
解得k≤0且k≠−1．
故选D.
4.
【答案】
C
【考点】
解一元二次方程-配方法
【解析】
根据题中的新定义将所求方程化为普通方程，左边化为完全平方式，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
【解答】
解：∵a△b=a 2+b2+ab
，
∴(x+2)△x=(x+2)2+x2+x(x+2)=1
，
整理得：x 2+2x+1=0
，即(x+1)
2=0
，
解得：x1=x2=−1.故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
圆周角定理
圆心角、弧、弦的关系
【解析】
等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的和是等弧；
圆周角定理及其推论：一条弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的两倍；
直径所对的圆周角是直角；
等弧所对的圆周角相等．
【解答】
解：A，两条弧的长度相等，但不一定能够完全重合，不符合等弧的概念，故错误；
根据圆周角定理及其推论可知B,C,D正确．
故选A．
6.
【答案】
D
【考点】
正多边形和圆
【解析】
根据六边形ABCDEF是正六边形，得到∠A′CB′=60∘，设AB=BC=a，则A′C=2a，然后求得A′B′=A′C⋅sin60∘=√3a，从而求得两条边的比．
【解答】
解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠A′CB′=60∘，
设AB=BC=a，则A′C=2a，
∴A′B′=A′C⋅sin60∘=√3a，
∴AB:A′B′=a:√3a=1:√3，
故选D．
7.
【答案】
D
【考点】
三角形的内切圆与内心
三角形内角和定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵∠A=80∘，
∴∠ABC+∠ACB=180∘−∠A
=180∘−80∘=100∘.
∵点O是△ABC的内心，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB
=12(∠ABC+∠ACB)=50∘，
∴∠BOC=180∘−(∠OBC+∠OCB)=130∘.
故选D.
8.
【答案】
D
【考点】
垂径定理
切线的性质
圆周角定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
二、填空题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）9.
【答案】
10
【考点】
多边形内角与外角
【解析】
利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】
解：∵多边形的外角和是360∘，多边形的内角和是外角和的4倍，
∴内角和是1440∘，
根据多边形的内角和为(n −2)×180∘=1440∘，
则n =10.
故答案为：10.
10.
【答案】
2x 2−x =0(答案不唯一)
【考点】
一元二次方程的解
【解析】
根据一元二次方程的解的意义写出一个符合条件的即可．
【解答】
解：答案不唯一，如2x 2−x =0.
故答案为：2x 2−x =0(答案不唯一)．
11.
【答案】
4
【考点】
三角形的外接圆与外心
圆周角定理
【解析】
作直径BD ，连接CD ，根据圆周角定理得到∠D ＝∠BAC ＝30∘，∠
BCD ＝90∘，根据直角三角形的
性质解答．
【解答】
作直径BD ，连接CD ，
由圆周角定理得，∠D ＝∠BAC ＝30∘，∠BCD ＝90∘，
∴BD ＝2BC ＝4，
12.
【答案】
80∘
【考点】
圆周角定理
切线的性质
【解析】
根据BC 是圆的切线，可得∠ABC =90∘,再求得∠A ，由圆周角定理可得∠BOD =2∠A ，即可求得答案.
【解答】
解：∵BC 是圆的切线，
∴∠ABC =90∘，
∵∠ACB =50∘，
∴∠A =90∘−∠ACB =90∘−50∘=40∘，
由圆周角定理可得：
∠BOD =2∠A =2×40∘=80∘.
故答案为：80∘.13.
【答案】
5√33
【考点】
切线的性质
等边三角形的判定方法
【解析】
【解答】
解：等边△ABC 中，边长为20cm ，则高为10√3cm ，
则^DE =13π×10√3cm =10√33π，
则扇形CDE 所围成的圆锥（不计接缝）的底面圆的半径为
r =10√33π÷2π=5√33.
故答案为：5√33.14.
【答案】
2
【考点】
切线的性质
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：如图：连接OD.
∵∠B=∠C，OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB=∠C.
又CD与⊙O切于点D，OD为⊙O的半径，
∴∠ODC=90∘，
∴∠C=∠OBD=∠ODB=13×(180∘−90∘)=30∘，
∴OC=2OD.
设OD=OA=x，
在Rt△ODC中，x
2+(2√3)2=4x2，
解得x=2.
故答案为：2.
15.
【答案】
9
【考点】
解一元二次方程-直接开平方法
一元二次方程的解
【解析】
利用直接开平方法表示出方程的解，确定出m的值，即可求出原式的值．【解答】
解：∵x 2=ba
，
∴x =±√ba ，即方程的两个实数根互为相反数，
则m +2+2m −5=0，
解得：m =1，
∴方程的两根为x =3或x =−3，
∴ba =x 2=9.
故答案为：9．
16.
【答案】
√62−√22
【考点】
四点共圆
勾股定理
正方形的性质
【解析】
作OG ⊥DF 于G ，连接OG ．易证A 、O 、F 、D 四点共圆，从而有∠OFG =∠DAO =45∘，则
有OG =FG ．设GF =GO =x ，则有DG =1+x ，OF =√2x ．然后先求出OD ，再在Rt △OGD 中运用勾股定理求出x ，就可得到OF 的长．
【解答】
解：作OG ⊥DF 于G ，连接OG ，如图所示．
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠DAC =45∘，∠AOD =90∘．
∵DF ⊥AE ，即∠AFD =90∘，
∴∠AOD =∠AFD ．
∴A 、O 、F 、D 四点共圆．
∴∠OFG =∠DAO =45∘．
∵OG ⊥DF ，即∠OGF =90∘，
∴∠FOG =45∘=∠OFG ．
∴OG =FG ．
∵∠AFD =90∘，∠DAE =30∘，AD =2，∴DF =1．
设GF =GO =x ，
则有DG =DF +FG =1+x ，OF =√GF 2+OG 2=√2x ．
在Rt △AOD 中，OD =AD ⋅sin ∠DAO =2×√22=
√2．在Rt △OGD 中，
∵∠OGD =90∘，∴OG 2+DG 2=OD 2．
∴x 2+(1+x)2=(√2)2
．
解得：x1=−12+√32，x
2=−
12−√32（舍去）．
所以OF=√2x=√62−√22．
故答案为：
√62−√22．
三、解答题（本题共计 11 小题，每题 5 分，共计55分）
17.
【答案】
方程整理得：x 2+2x
＝4，
配方得：x 2+2x+1
＝5，即(x+1)
2
＝5，
开方得：x+1＝±√5，
解得：x1＝−1+√5，x2＝−1−√5；
这里a＝2，b＝−7，c＝6，
∵△＝49−48＝1，
∴x=7±14，
解得：x1＝2，x2=32．
【考点】
解一元二次方程-配方法
解一元二次方程-公式法
【解析】
（1）方程整理后，利用配方法求出解即可；（2）方程利用公式法求出解即可．
【解答】
方程整理得：x 2+2x
＝4，
配方得：x 2+2x+1
＝5，即(x+1)
2
＝5，
开方得：x+1＝±√5，
解得：x1＝−1+√5，x2＝−1−√5；这里a＝2，b＝−7，c＝6，
∵△＝49−48＝1，
∴x=7±14，
解得：x1＝2，x2=32．
18.
【答案】
解：如图所示：
连接AD并延长，则∠1=∠ACD+∠CAD，
∠2=∠ABD+∠BAD，
故∠BDC=∠ACD+∠ABD+∠A=32∘+21∘+90∘=143∘，
因为∠BDC实际等于149∘，
所以此零件不合格．
【考点】
三角形的外角性质
【解析】
连接AD，利用三角形内角与外角的关系求出此零件合格时∠CDB的度数与已知度数相比较即可．【解答】
解：如图所示：
连接AD并延长，则∠1=∠ACD+∠CAD，
∠2=∠ABD+∠BAD，
故∠BDC=∠ACD+∠ABD+∠A=32∘+21∘+90∘=143∘，
因为∠BDC实际等于149∘，
所以此零件不合格．
19.
【答案】
射线AB即为所求；
连接BC，延长CB交直线l于点D如图所示；
两点之间线段最短
【考点】
直线、射线、线段
作图—复杂作图
线段的性质：两点之间线段最短
【解析】
（1）画射线AB即可；
（2）连接BC，延长CB交直线l于点D即可；
（3）根据两点之间线段最短即可在直线l上确定点E，使得AE+CE最小．【解答】
射线AB即为所求；
连接BC，延长CB交直线l于点D如图所示；
点E即为所求．
在直线l上确定点E，使得AE+CE最小，理由为：两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
20.
【答案】
5．
【考点】
垂径定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
21.
【答案】
解：(1)∵关于x的一元二次方程x 2+(2k+1)x+k2+1=0
有两个不相等的实数根，
∴Δ=(2k+1)2−4(k2+1)=4k−3>0
，
解得：k>34．
∴实数k的取值范围为k>34．
(2)由根与系数的关系，得：
x1+x2=−(2k+1)<0，x1⋅x2=k2+1>0，∴x1<0，x2<0，
∴−x1−x2=x1x2，
∴2k+1=k 2+1
，
解得：k=0或k=2，
又∵k>34，
∴k=2．
【考点】
根与系数的关系
根的判别式
【解析】
（1）由方程的系数结合根的判别式即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出实数k的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=−(2k+1)、x1⋅x2=k 2+1
，结合x1+x2=−x1⋅x2即可
得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k值，再根据k>34即可确定k的值．【解答】
解：(1)∵关于x的一元二次方程x 2+(2k+1)x+k2+1=0
有两个不相等的实数根，
∴Δ=(2k+1)2−4(k2+1)=4k−3>0
，
解得：k>34．
∴实数k的取值范围为k>34．
(2)由根与系数的关系，得：
x1+x2=−(2k+1)<0，x1⋅x2=k2+1>0，∴x1<0，x2<0，
∴−x1−x2=x1x2，
∴2k+1=k 2+1
，
解得：k=0或k=2，
又∵k>34，
∴k=2．
22.
【答案】
证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴，
∴∠A＝∠BCD，
又∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A．
∴∠ACO＝∠BCD．
【考点】
圆周角定理
【解析】先根据垂径定理得到
，再根据圆周角定理得到∠A ＝∠BCD ，加上∠ACO ＝∠A ．然后利用
等量代换得到结论．
【解答】
证明：∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，∴，
∴∠A ＝∠BCD ，
又∵OA ＝OC ，
∴∠ACO ＝∠A ．
∴∠ACO ＝∠BCD ．23.
【答案】
解：(1)直线CD 与圆相切，连接OD,
∵OA =OD =OB,
∴∠DBA =∠BDO,∠CAD =∠ADO ，∵AB 是圆的直径，
∴∠ADB =90∘，
∴∠DAB +∠DBA =90∘，
∵∠CDB =∠CAD ，
∴∠CDB +∠BDO =90∘，
∴OD ⊥CE ，
∵OD 为⊙O 半径，
∴CD 与⊙O 相切.
(2)设半径为r ，在Rt △COD 中，r 2+82=(r +4)2，解得r =6，
∵AE 与⊙O 相切，
∴∠CAE =90∘ ，AE =DE ，
由勾股定理AE 2+AC 2=CE 2，代入数据解得AE =12，即ED =12.
【考点】
切线的判定
切线的性质
勾股定理
(1)直线CD 与圆相切，连接OD,求得∠DAB +∠DBA =90∘，∠CDB +∠BDO =90∘，即可求得结论；
【解答】
解：(1)直线CD 与圆相切，连接OD,
∵OA =OD =OB,
∴∠DBA =∠BDO,∠CAD =∠ADO ，
∵AB 是圆的直径，
∴∠ADB =90∘，
∴∠DAB +∠DBA =90∘，
∵∠CDB =∠CAD ，
∴∠CDB +∠BDO =90∘，
∴OD ⊥CE ，
∵OD 为⊙O 半径，
∴CD 与⊙O 相切.
(2)设半径为r ，在Rt △COD 中，r 2+82=(r +4)2，
解得r =6，
∵AE 与⊙O 相切，
∴∠CAE =90∘ ，AE =DE ，
由勾股定理AE 2+AC 2=CE 2，
代入数据解得AE =12，即ED =12.
24.
【答案】
解：(1)设每个月增长的利润率为x ，
根据题意得：
20×(1+x)2=22.05，
解得：x 1=0.05=5%，
x 2=−2.05（不合题意，舍去）.
答：每个月增长的利润率为5%.
(2) 22.05×(1+5%)=23.1525（万元）.
答：4月份该公司的纯利润为23.1525万元.
一元二次方程的应用——利润问题
一元二次方程的应用——增长率问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设每个月增长的利润率为x ，
根据题意得：
20×(1+x)2=22.05，
解得：x 1=0.05=5%，
x 2=−2.05（不合题意，舍去）.
答：每个月增长的利润率为5%.
(2) 22.05×(1+5%)=23.1525（万元）.
答：4月份该公司的纯利润为23.1525万元.
25.
【答案】
解：(1)∵S △PCQ =12t(8−2t)，S △ABC =12×4×8=16，∴12t(8−2t)=16×14，
整理得t 2−4t +4=0，
解得t =2．
答：当t =2s 时，△PCQ 的面积为△ABC 面积的14.
(2)当S △PCQ =12S △ABC 时，12t(8−2t)=16×12，整理得t 2
−4t +8=0，Δ=(−4)2−4×1×8=−16<0，
∴此方程没有实数根，
∴△PCQ 的面积不可能是△ABC 面积的12．
【考点】
一元二次方程的应用——几何图形面积问题
根的判别式
【解析】
（1）根据三角形的面积公式可以求出时间t ；
（2）由等量关系S △PCQ =12S △ABC 列方程求出t 的值，但方程无解．
【解答】
解：(1)∵S △PCQ =12t(8−2t)，S △ABC =12×4×8=16，∴12t(8−2t)=16×14，
整理得t 2−4t +4=0，
解得t =2．
答：当t =2s 时，△PCQ 的面积为△ABC 面积的14.
(2)当S △PCQ =12S △ABC 时，12t(8−2t)=16×12，整理得t 2−4t +8=0，
Δ=(−4)2−4×1×8=−16<0，
∴此方程没有实数根，
∴△PCQ 的面积不可能是△ABC 面积的12．
26.
【答案】
（1）由题意有△＝(2m +1)2−4(m 2+1)≥0，
解得m ≥34．
即实数m 的取值范围是m ≥34．
（2）由x
21+x 22
＝15得(x 1+x 2)2−2x 1x 2＝15，∵x 1+x 2＝−(2m +1)，x 1+x 2＝m 2+1，
∴[−(2m +1)]2−2(m 2+1)＝15，
即m 2+2m −8＝0，
解得m ＝−4或m ＝2．
∵m ≥34，
∴m ＝2．
故实数m 的值为2．【考点】
根与系数的关系
【解析】
（1）令△≥0即可求出m 的取值范围；
（2）将x 21+x 22
＝15转化为(x 1+x 2)2−2x 1x 2＝15，再代入计算即可解答．【解答】
（1）由题意有△＝(2m +1)2−4(m 2+1)≥0，
解得m ≥34．
即实数m 的取值范围是m ≥34．
（2）由x
21+x 22
＝15得(x 1+x 2)2−2x 1x 2＝15，∵x 1+x 2＝−(2m +1)，x 1+x 2＝m 2+1，
∴[−(2m +1)]2−2(m 2+1)＝15，
即m 2+2m −8＝0，
解得m ＝−4或m ＝2．
∵m ≥34，
∴m ＝2．
故实数m 的值为2．
27.【答案】
解：(1)真命题：若AF ⊥EG ，则AF =EG ．
证明：过点E 作EM ⊥CD 于点M ，
在正方形ABCD 中，
AB//CD 且AB =BC ．
∵EM ⊥DC ，
∴EM =BC =AB 且EM ⊥AB ，
∴∠BAF =90∘−∠AEH =∠GEM ．
∵∠B =∠EMG =90∘，
∴△ABF ≅△EMG ，
∴AF =EG ．
(2)①∵∠B =∠AHE =90∘，∠FAB =∠EAH ，
∴△AEH ∼△AFB ，
∴EHAH =n3，
∴EHHG =EHEG −EH =EHAF −EH =EH2AH −EH =n6−n ．②当点P 在FG 上且四边形CPHF 是菱形时，FH =FC =3−n ．
∵在Rt △AFB 中，∠B =90∘，
∴n 2+32=[2(3−n)]2，
∴解之得：n 1=4+√7(舍)，n 2=4−√7．
【考点】
正方形的性质
全等三角形的性质与判定
勾股定理
菱形的性质
相似三角形的性质与判定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)真命题：若AF ⊥EG ，则AF =EG ．
证明：过点E 作EM ⊥CD 于点M ，
在正方形ABCD 中，
AB//CD 且AB =BC ．
∵EM ⊥DC ，
∴EM =BC =AB 且EM ⊥AB ，
∴∠BAF =90∘−∠AEH =∠GEM ．
∵∠B =∠EMG =90∘，
∴△ABF ≅△EMG ，
∴AF =EG ．
(2)①∵∠B =∠AHE =90∘，∠FAB =∠EAH ，
∴△AEH ∼△AFB ，
∴EHAH =n3，
∴EHHG =EHEG −EH =EHAF −EH =EH2AH −EH =n6−n ．②当点P 在FG 上且四边形CPHF 是菱形时，FH =FC =3−n ．∵在Rt △AFB 中，∠B =90∘，
∴n 2+32=[2(3−n)]2，
∴解之得：n 1=4+√7(舍)，n 2=4−√7．。