2018学年高二数学同步课堂必修二 专题2.3.2 平面与平

（时间：25分，满分55分）
班级 姓名 得分
课堂练习：
1． 已知直线l ⊥平面α，则经过l 且和α垂直的平面( )
A ．有1个
B ．有2个
C ．有无数个
D ．不存在 【答案】C
【解析】经过l 的平面都与α垂直，而经过l 的平面有无数个，故选C ．
2. 设,a b 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若αβ⊥，αγ⊥，则βγ⊥ B.若,a b 与α所成的角相等，则//a b C. 若a α⊥，//a β，则αβ⊥ D.若//a b ，a α⊂，则//b α 【答案】C
3. 平面和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是( ) A ．(0°，90°) B ． C ．(0°，90°] D ．
【答案】D
【解析】由二面角的定义知D 正确．
4．在三棱锥P －ABC 中，已知PA ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥PA ，如右图所示，则在三棱锥P －ABC 的四个面中，互相垂直的面有________对．
【答案】3
【解析】∵PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，∴PA ⊥平面PBC ， ∵PA ⊂平面PAB ，PA ⊂平面PAC ，
∴平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC．同理可证：平面PAB⊥平面PAC．
5．如下图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BC＝2，AA1＝1，E，F分别在AD和BC上，且EF ∥AB，若二面角C1－EF－C等于45°，求BF的长.
【答案】1
课后练习：
1．以下三个命题中，正确的命题有( )
①一个二面角的平面角只有一个；②二面角的棱垂直于这个二面角的平面角所在的平面；③分别在二面角的两个半平面内，且垂直于棱的两直线所成的角等于二面角的大小
A．0个 B．1个 C．2个
D．3个
【答案】B
【解析】仅②正确，故正确答案为B．
2.在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD 与平面BB1C1C所成角的大小是( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】如图，取BC的中点E，连接AE，则AE⊥平面BCC1B1.
故∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．
设各棱长为a，则AE＝
3
2
a，DE＝
1
2
a.
∴tan∠ADE＝ 3. ∴∠ADE＝60°．
3.把正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则△ABC是( )
A．正三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】A
．
4.在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝AC＝BC＝2，PC＝1，AB＝23，则二面角P－AB－C的大小为________.
【答案】60°
【解析】取AB中点M，连接PM，MC，则PM⊥AB，CM⊥AB，
∴∠PMC就是二面角P－AB－C的平面角．在△PAB中，PM＝22－32＝1，
同理MC＝1，则△PMC是等边三角形，∴∠PMC＝60°.
5．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝33，BC＝3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到C′点，且C′点在平面ABD上的射影O恰在AB上．
(1)求证：平面ABC ′⊥平面AC ′D ； (2)求直线AB 与平面BC ′D 所成角的正弦值．
【答案】(1) 证明过程详见试题解析；(2)直线AB 与平面BC ′D 所成的角的正弦值为
23
． 【解析】(1)证明：∵点C ′在平面ABD 上的射影O 在AB 上，∴C ′O ⊥平面ABD ，∴C ′O ⊥DA ． 又∵DA ⊥AB ，AB ∩C ′O ＝O ， ∴DA ⊥平面ABC ′，∴DA ⊥BC ′. 又∵BC ⊥CD ，∴BC ′⊥C ′D ．
∵DA ∩C ′D ＝D ，∴BC ′⊥平面AC ′D ．
又∵'
'
BC ABC 平面 ∴ 平面ABC ′⊥平面AC ′D ．
∵DA ⊥AB ，DA ⊥BC ′，
∴DA ⊥平面ABC ′，∴DA ⊥AC ′.
在Rt △AC ′B 中，AC ′＝AB 2
－BC 2
＝3 2. 在Rt △BC ′D 中，C ′D ＝CD ＝3 3. 在Rt △C ′AD 中，由面积关系，得AE ＝
AC ′·AD C ′D ＝32×3
33
＝ 6. ∴在Rt △AEB 中，sin ∠ABE ＝AE AB ＝
633＝23
，
即直线AB 与平面BC ′D 所成角的正弦值为2
3
.。