福建省福州市第八中学高二数学上学期期末考试试题文

福州八中2016—2017学年第一学期期末考试
高二数学（文）
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
2017.1.18
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）
1．抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是 A ．25 B ．5 C ．215 D ．10
2．若'0()3f x =-，则000()(3)lim h f x h f x h h →+--=
A ． 12-
B ．6-
C ．9-
D ． 3-
3．下列命题错误的是 A ．命题“若m>0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题为“若方程x 2＋x －m ＝0无实根，则m≤0”
B ．若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题
C ．对于命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0”，则¬p：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”
D ．“x＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件 4. 设()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如左图所示，则()y f x =的图象最有可能是
5．已知动圆P 过定点A(－3,0)，并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64内切，则动圆的圆心P 的轨迹是
A ．线段
B ．直线
C ．椭圆
D ．圆
x
6．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为
A. 1
B.2
C. 3
D.12
7．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为 A. 12 B.2 C. 13 D. 3
8．设P 为双曲线2
2
112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为
A.63
B. 24
C.123
D. 12
二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
9．命题“03x -x R,x 2
>+∈∀”的否定是_______ _______
10．方程x 215－k ＋y 2k －9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是
11．若点P(8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是___________ 12. 已知函数32()33(2)1f x x ax a x =++++ 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是_________________
三、解答题（本大题共有3个小题，共36分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）
13．（本小题满分12分）
已知条件p ：实数x 满足()(3)0x a x a --<，其中0a >；条件q ：实数x 满足18216x +<≤.
(1) 若1a =,且“q p 且”为真,求实数x 的取值范围；
(2) 若q 是p 的充分不必要条件, 求实数a 的取值范围.
14. （本小题满分 12 分）
(1)求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程；
(2)求以椭圆3x 2＋13y 2＝39的焦点为焦点，以直线y ＝±x 2为渐近线的双曲线方程．
15．（本小题满分12分） 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时耗油量y(L)关于行驶速度x(km/h)的函数解析式可以表示为y ＝1128000x 3－380
x ＋8 (0<x≤120)．已知甲、乙两地相距100km. (1)当汽车以40km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
第Ⅱ卷
一、选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每题有且只有一个选项是正确的，请把答案填在答卷相应位置上）
16．已知2()2(1)f x x xf '=+-,则(0)f '等于
A ．4
B ．0
C ．-2
D ．2
17．下列命题中，真命题是
A. ∃ x 0∈R ，00≤x e
B. ∀ x ∈R,2x ＞x 2
C. a ＋b ＝0的充要条件是 a b ＝－1
D. a ＞1，b ＞1是ab ＞1的充分条件
18. 设f(x)，g(x)在[a ，b]上可导，且f′(x)>g′(x)，则当a<x<b 时，有
A ．f(x)>g(x)
B ．f(x)<g(x)
C ．f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)
D ．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b) 19．已知椭圆C ：x 24＋y 23
＝1，M ，N 是坐标平面内的两点，且M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN|＋|BN|＝
A ．8
B ．4
C ．12
D ．16
二、填空题（本大题共2小题，每小题4分，共8分） 20．若点A 的坐标为1
(,2)2，F 是抛物线x y 22
=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为
21．已知f(x)＝xe x ，g(x)＝－(x ＋1)2
＋a ，若∃x 1，x 2∈R ，使得f(x 2)≤g(x 1)成立，则实数a 的取值范围是________
三、解答题（本大题共有2个小题，共26分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）
22．（本小题满分13分）
已知椭圆1C ：2221(1)y x a a +=>与抛物线2C ：24x y =有相同焦点1F ． （1）求椭圆1C 的标准方程；
（2）已知直线1l 过椭圆1C 的另一焦点2F ，且与抛物线2C 相切于第一象限的点A ，设平行1l 的直线l 交椭圆1C 于,B C 两点，当△OBC 面积最大时，求直线l 的方程．
23. （本小题满分13分）
已知函数f(x)＝alnx ＋12x 2＋(a ＋1)x ＋1．
（1）当a ＝－1时，求函数f(x)的单调增区间；
（2）若函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； （3）若a ＞0，且对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2，都有| f(x 1)－f(x 2)|＞2| x 1－x 2|，求实数a 的最小值．
福州八中2016—2017学年第一学期期末考试
高二数学（文） 试卷参考答案及评分标准
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分
1-8 BABC CCAD
二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分
9. 03x -x R,x 0200≤+∈∃
10. (12,15)
11. 2x －y －15＝0
12. ()() ∞+-∞-,21,
三、解答题：本大题共有3个小题，共36分
13．（本小题满分12分）
解:(1)由()(3)0x a x a --<且0a >,可得3a x a <<,
当1a =时, 有13x <<； …………… 2分
由18216x +<≤，可得23x <≤， …………… 4分
又由""p q ∧为真知，p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是23x <<. …6分
(2)由q 是p 的充分不必要条件可知:q p ⇒且p q ≠>, 即集合{}{}233,0x x x a x a a <≤⊂<<>, …………… 9分 从而有233
a a ≤⎧⎨>⎩,即12a <≤,所以实数x 的取值范围是12a <≤. …………… 12分
14. （本小题满分12分） 解： (1)∵双曲线x 216－y 24
＝1的焦点为(±25，0)， ∴设所求双曲线方程为：x 2a 2－y 2
20－a
2＝1(20－a 2>0) …………… 2分 又点(32，2)在双曲线上，
∴18a 2－420－a
2＝1，解得a 2＝12或30(舍去)， …………… 5分 ∴所求双曲线方程为x 212－y 28
＝1. …………… 6分 (2)椭圆3x 2＋13y 2＝39可化为x 213＋y 23＝1， …………… 7分 其焦点坐标为(±10，0)，
∴所求双曲线的焦点为(±10，0)， …………… 8分
设双曲线方程为：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a>0，b>0) ∵双曲线的渐近线为y ＝±12x ，∴b a ＝12，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝10－a 2a 2＝14
， ………10分 ∴a 2＝8，b 2＝2，
即所求的双曲线方程为：x 28－y 22
＝1. …………… 12分 15．（本小题满分12
解： (1)当x ＝40
耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫1128000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(L)． 答：当汽车以40km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5L. ………4分
(2)当速度为xkm/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了100x
h ，设耗油量为h(x)L. 依题意得h(x)＝⎝
⎛⎭⎪⎫1128000x 3－380x ＋8·100x ……………6分 ＝11280x 2＋800x －154
(0<x≤120)， …………… 7分 h ′(x)＝x 640－800x 2＝x 3－803640x
2(0<x≤120)．…………… 8分 令h ′(x)＝0，得x ＝80. …………… 9分
当x ∈(0,80)时，h ′(x)<0，h(x)是减函数；
当x ∈(80,120]时，h ′(x)>0，h(x)是增函数． ∴当x ＝80时，h(x)取到极小值h(80)＝11.25(L)．……………11分
因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．
答：当汽车以80km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25L. ……………12分
第Ⅱ卷
一、选择题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 16-19 ADCA
二、填空题：本大题共2小题，每小题4分，共8分 20. 21. ⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－1e ，＋∞ 三、解答题: 本大题共有2个小题，共26分
22． （本小题满分13分）
解：（1） 抛物线y x 42
=的焦点为)1,0(1F ， 1=∴c ，又21,2b a =∴=∴椭圆方程为12
22
=+x y ． …………………………………4分 （2）（法一）设),(00y x A ，00>x ，00y >
,412x y = 1',2y x ∴= ,2
101x k l =∴ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21
∴直线1l 的方程为)(21410020x x x x y -=-即，2004121x x x y -=且过点2(0,1)F - 2001124x x ∴-=-∴=，，,12
101==∴x k l ∴切线1l 方程为1-=x y ……………………6分
因为1//l l ，所以设直线l 的方程为m x y +=，
由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12
22x y m x y ，消y 整理得,022322=-++m mx x ……………8分 22412(2)0m m ∆=-->，解得203m ≤< ①
设11(,)B x y ，22(,)C x y ，则2121222,,33
m m x x x x -+=-= ∴222
121244(2)||11()4293m m BC x x x x -=+⋅+-=⋅- 222263
229)2(1242m m m -=--⋅= …………………9分 直线l 的方程为0=+-m y x ，∴点O 到直线l 的距离为2m
d =……10分
21122||||622232
OBC m S BC d m ∆∴=⋅⋅=⋅⋅-⋅ 2222(62)2(3)33
m m m m -⋅==-⋅， ………………………11分 由①203m ≤<， 2
30m ∴-> 2222
33(3)22m m m m -+-≤=（当且仅当232m =即62m =±时，取等号） OBC S ∴最大2= 所以，所求直线l 的方程为：6y x =±
． …………………………13分 （法二）2(0,1)F -，由已知可知直线1l 的斜率必存在，
设直线1:1l y kx =-
由21
4y kx x y =-⎧⎨=⎩ 消去y 并化简得2
440x kx -+= ∵直线1l 与抛物线2C 相切于点A .
∴2
(4)440k ∆=--⨯=，得1k =±. ………6分
∵切点A 在第一象限.∴1k = ………………7分
∵l ∥1l ∴设直线l 的方程为y x m =+ 由2212y x m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得223220x mx m ++-=， ……………8分 22(2)12(2)0m m ∆=-->，解得33m -<<.
设11(,B x y 3-，3= 22
221212122222||()4()43333m m x x x x x x m --=+-=--=-. ………10分 又直线l 交y 轴于(0,)D m
2221211222||||||3(3)2233
OBC S OD x x m m m m ∆∴=⋅⋅-=⋅⋅⋅-=- 22239()324
m =⋅--+ …………11分 当232
m =，即6(3,3)m =时，max 2()OBC S ∆=. ………12分 所以，所求直线l 的方程为62y x =±
. …………………13分 23. （本小题满分13分）
解：（1）当a ＝－1时，f(x)＝－lnx ＋12
x 2＋1． 则f ′(x)＝－1x
＋x ， x ∈(0，＋∞)……………………………2分 令f ′(x)＞0，得x ＞1．
所以函数函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)．…………………………4分 高二数学文期末考试卷答案 第14页
（2）因为函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以f ′(x)＝x 2＋(a ＋1) x ＋a x ＝(x ＋1)( x ＋a)x
≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立．6分 即x ＋a ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立．…………………………7分 所以a ≥0．
即实数a 的取值范围是[0，＋∞)．………………………………8分
（3）因为a ＞0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
因为x 1，x 2∈(0，＋∞)，x 1≠x 2，不妨设x 1＞x 2，所以f(x 1)＞f(x 2)．
由| f(x 1)－f(x 2)| 2| x 1－x 2|恒成立，可得f(x 1)－f(x 2)＞2(x 1－x 2)，
即f(x 1)－2x 1＞f(x 2)－2x 2恒成立．
令g(x)＝f(x)－2x ，则在(0，＋∞)上是增函数． ………………………10分
所以g ′(x)＝a x ＋x ＋(a ＋1)－2＝x 2＋(a －1) x ＋a x
≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立． 即x 2＋(a －1) x ＋a ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立．………………………11分
即a ≥－x 2－x x ＋1
对x ∈(0，＋∞)恒成立 因为－x 2－x x ＋1＝－(x ＋1＋2x ＋1
－3)≤3－2 2 ………………………12分 （当且仅当x ＋1＝2x ＋1
即x ＝2－1时取等号），所以a ≥3－22． 所以实数a 的最小值为3－22． ……………………………………13分。