1.8高斯函数

高斯函数
本节我们约定：全体实数的集合简称实数集，记作R 不超过实数x 的最大整数记作[]x 。

例如，[]3π=，2=⎡⎤⎣
⎦1，
[]-1.3=-2。

函数[],y x x R =∈叫做高斯（Grauss ）函数.
值得注意的是，高斯函数通常也叫做取整函数.因此常出现
类似[]-1.3=-1的错误.
显然[]x 是整数，且满足[][]11x x x x -<≤<+，当且仅当x 为整数时“=”成立。

请读者自己画出函数[]y x =的图像，并说明图像的特征。

高斯函数有如下性质。

性质1 函数[]y x =是不减函数，即若12x x ≤，则有[][]12x x ≤。

证明：由定义知[]11x x ≤，又12x x ≤，故[]12x x ≤，这说明[]1x 是不超过2x 的一个整数，而[]2x 是不超过2x 的最大整数，所以[][]12x x ≤
性质2 若n 是整数，则[][]x n n x +=+，即整数可以从方括号中提出。

性质3 [][][],()
1.()x x z x x x z ⎧-∈⎪-=⎨
--∉⎪⎩
证明：当x 是整数时，显然有[][]x x -=-；
当
x 不是整数时，设[](01)x x αα=+<<，则
[][]1(1),x x x αα-=--=--+-
故
[][]1(1)x x α⎡⎤-=--+-⎣⎦
[]()11x α=--+-⎡⎤⎣⎦
[]1x =--
性质4 若[][]x y =，则1x y -<.
证明：设[][](01),(01),x x y y ααββ=+≤<=+≤<两式相减，得
[][]()()x y x y αβαβ-=+-+=-
所以x y αβ-=-。

由01,01,αβ≤<≤<得1αβ-<， 故
1x y -<
性质5 [][][].x y x y +≤+
证明：设[][](01),(01)x x y y ααββ=+≤<=+≤<，两式相加，得
[][][][]()()().x y x y x y αβαβ+=+++=+++
由02αβ≤+<，得[]0αβ+≥，所以[][][].x y x y +≤+
性质6 若0,0x y ≥≥，则[][][].xy x y ≥
证明：设[][](01),(01)x x y y ααββ=+≤<=+≤<， 则[][]0,0x x y y ≥≥≥≥，故[][]xy x y ≥，即[][]x y 为不超过xy 的一个整数，故[][][].xy x y ≥
例1 若a bq r =+，其中,,,a b q r 均为正整数，且0r b ≤<，
求证：a q b ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
证明:因为bq r a
=+所以(01)a r r a b
b
b
=+≤<
故a q b
⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
例2[]x x x n =n n ⎡⎤⎡⎤
⎢
⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦若是实数，是正整数，则 [][][][][]:,1,n x<n(1),x x n x (1),1,1,n n x x ,=n n x x a a a a a n n a n a a a a a x a n ⎡⎤
=≤<+≤+⎢⎥⎣⎦
⎡⎤≤<+≤<+<<+⎢⎥⎣⎦
⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦⎣⎦证明设则故从而
即所以所以即
定理1设x 是正实数，n 是正整数，则从1到x 的整数中，n 的 倍数有x n
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
个
:1,n x<(+1)n x n n 2n 3n,n x x x n n n x x n n x n x n ⎡⎤⎡⎤
≤<+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎡⎤
•≤•⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
证明因为所以
这还说明1到的整数中，的倍数有下列个
，，……，，
定理2在n ！的标准分解式中，质因数p 的指数是
12n n n h=+++().p p p k k k p n p +⎡⎤⎡⎤⎡⎤
≤<⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
…… 证明:因为p 是质数，所以n ！中p 的指数h 等于把2,3,4, ……, n 都分解成标准分解式后，各分解式中p 的指数的总和.由定理1可 知，在2,3,4,…，n 中有n p ⎡⎤⎢⎥⎣⎦个p 的倍数，有2n p ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
个2
p 的倍数，……
1k+1+22
n n =
==n
p p n n n h=+++p p p k k k k p n p +⎡⎤⎡⎤
≤<⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
设，则……，所以
……
例3 求7在2 000!中的最高幂指数. 解:因为73 = 343 < 2 000 < 2 401=74而
所以7在2 000!中的最高幂指数为285+40+5=330.
例4 求2 001!中末尾0的个数.
分析：因为10 = 2X5，所以2 001!中末尾0的个数相当于2 001 !的质因数分解式中2X5的个数.由于2<5，故2 001!的质因数分解式中所含2的个数要比含5的个数多(为什么?)，因此只需考察2 001!中含有质因数5的个数. 解:因为625=54
<2 001<55= 3 125,
所以2 001!中含有质因数5的最高幂指数为 错误!未找到引用源。

所以2 001!中末尾0的个数是499.
例5 求30!的标准分解式. 解:所有不大于30的质因数有
2，3，5,7,11，13，17，19,23,29. 只要求出上述10个质因数的最高幂指数即可. 在30!中，
2的最高幂指数为
3的最高幂指数为
5的最高幂指数为
230305617
55h
⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥=+=⎢⎥⎣⎦⎣⎦
同理7,11,13,17,23,29的最高幂指数依次为4,2,2,1,1,1,1. 所以30！的标准分解式为 30！=错误!未找到引用源。

（另一本书）
在上一节里面我们讨论了把任意一个正整数分解成标准分解式的问题，现在我们就要实际求出n!的标准分解式，为了达到这个目的，我们先介绍两个在数论中常常用到的函数：[]x 与
{}
x 。

定义：函数[]x 与{}x 是对于一切函数都有定义的函数，函数[]x 的值等于不大于x 的最大整数；函数{}x 的值是x -[]x 。

我们 把[x]叫做x 的整数部分，{x}叫做x 的分数部分.
[][][]{}23=3e =2-=-4=0-=-13532
-==0.14159{2}=0.41455{}=1-0.14159=0.95840ππππ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎧⎫⎨⎬⎩⎭
例，，，，；，
……，……，………….
由定义可以立刻得出下列简单性质:
[]{}[][][]{}[][][][][]{}{}{}[]x x +x 1,1,0x ,b>0, =b 1
,1,x x x x x x x x x n x x y x y x y x y x a b a a a a b b b b a b x x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
≤<+-<≤≤++≥+⎧⎪-⎨⎪⎩⎡⎤⎧⎫⎧⎫
≤≤-⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎩⎭
---Ⅰ =.
Ⅱ <1.Ⅲ =n+,n 是整数.
Ⅳ +=,+.
Ⅴ =Ⅵ 若 是两个整数，则
+b ,0b Ⅶ 若是任意两个正整数，则不当不是整数时，，当是整数时.b .
a a
b ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
大于而为的倍数的正整数的个数是
证 a <b 时显然.设m 是任一不大于a 而为b 的倍数的正整
数，则
110,
0m bm a a
m b
<=≤<≤
故满足以上条件的m 的个数等于满足(1)的1m 的个数，因而等于a b ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
. 证完
定理 在n!的标准分解式中质因数p(p n ≤)的指数
r=r 1h n n p p ∞
⎡⎤⎡⎤=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦∑……
注意.若s
p >n 。

则s 0n p ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
，故上式只有有限项不为零，因而有意义. 证 设想把2，……，n 都分解成标准分解式，则由算术基本定
理，h 就是这n-1个分解式中p 的指数之和，设其中P 的指数是r 的有n ，个()1r ≤，则
l 23123233l 23+2+3+ +++? +++?
++?
+? N +N +N +h n n n n n n n n n ===…………… …，
其中r r 1+2+r N n n +=…恰好是2,……,n 这n-1个数中能被s
p .除尽 的个数，但由Ⅶ ，r r N n p ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
，故 23+n n n p p h p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
… 证完
推论1 1
n!,r r n p p n
p ∞
=⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣
⎦≤∑=∏
其中
p n
≤∏
表示展布在不超过n 的一切指数上的积式.
推论2贾宪数
!
!()!
n k n k -是整数
()
0k n <<.由
Ⅳ
及
()n n k k,=-+111
111-k r +r r ,
,,
r r r r r r r r r r r r n n n p p p p n
p n
n n k k p p p n n k k p p p p
p
∞
∞
∞
===∞∞∞
===⎡⎤⎡⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
≤≤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
≥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤-≥+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
∑
∑
∑-∑∑∑∏∏故
1、 分母是60的最简真分数有多少个？
【分析】260235=⨯⨯
（1） 如图2-52，用矩形平面部分标识1以内分母是60
的分数的集合
1235960
{
,,,}6060606060
…，，，
它共有60个元素，（为方便计算，把
60
60
也列入其中）
（2） 在这些分数里，
分子能被2整除的分数有60230÷=（个）； 分子能被3整除的分数有60320÷=（个）；
分子能被5整除的分数有60512÷=（个）；
这三类分数分别用图2-52中A,B,C,三个圆圈内的平面部分表示。

（3） 此外，分子能被2和3整除的分数有60(23)10÷⨯=（个）；
分子能被2和5整除的分数有60(25)6÷⨯=（个）； 分子能被3和5整除的分数有60(35)4÷⨯=（个）。

标识着三个集合的是图中给每个圆面的公共部分，即三个“枣核形”。

（4） 最后，分子能同时被2、3、5整除的分数有60(235)2÷⨯⨯=（个） （5） 因此，1以内分母是60的分数中，不是最简真分数的有 （个）。

（6） 如果最初不将
60
60
列为集合里的元素，则应列式为59(291911)(953)116-+++++-=（个）
图2-52
R
Q
P
2、 从1~500的整数中，不能被3整除、也不能被5整除的数有多
少个？
【分析】设1~500中能被3整除的数的集合用图2-55中记A 的圆面表示，能被5整除的数的集合用图中记B 的圆面表示，则“不能被3整除，也不能被5整除”的数集，相当于图中画有阴影的部分。

【解法1】因为5003=166÷（余2），5005=100÷，50015=33÷（余5）
， 所以1~500中能被3整除的数有166个，能被5整除的数有100个，则“即能被3整除，也能被5整除”的数有33个。

所以1~500中能被3整除、但不能被5整除的数有166-33=133个，能被5整除、但不能被3整除的数有100-33=67个。

或能被3整除、或能被5整除、或能两者整除的数有133+67+33=233个。

因此，不能被3整除、也不能被5整除的书有500-233=267个。

3、 如图2-56，图中共有多少个三角形？ 【分析】（1）以图中所有的三角形的集合作为全集。

（2）考虑分别以A,B,C,为一个顶点的三角形的集合P ,Q,R,集合P ,Q,R 各有14个三角形，如果在集合P 中，每个三角形都以A 为他的一个顶点，另两个点点：
如果分别在AB 、AC 上，有4个这样的三角形； 如果分别在AB 、AD 上，有5个这样的三角形； 如果分别在AD 、AC 上，有5个这样的三角形； （3）P ,Q,R,中两两交集所包含的三角形，分别以A,B;A,C;B,C 为顶点，因此，各有4个。

（4）P ,Q,R,三个集合的交集（即以A,B,C 为顶点的三角形的集合）只包含一个三角形，即∆ABC 。

（5）图2-57表示上述集合P ,Q,R 及全集，长方形内三个圆外的平面部分表示不以A,B,C 为顶点的三角形的集合，着样的三角形全在∆DEF 内，共有16个。

【解】143-43+1+16=47⨯⨯（个）
答：图2-57中共有47个三角形。

4、 某班有学生48人，班主任在班会上问：“谁做完了语文作业？”这时有37人举手，又
问“谁做完了数学作业？” 这时有42人举手。

最后问：“谁做语文作业、数学作业都没有做完？”这时没有人举手，你算算看，这个班语文、数学作业做完的有多少人？ 答：31人。

5、 在50名女学生中，穿的都是红裙子或黄裙子、白上衣或花上衣。

已知：穿黄裙子的有
31人，穿白上衣的有18人，穿红裙子和花上衣的有14人。

问穿黄裙子和白上衣的有多少人？
图2-55
67
33
133
B A 图2-57
R
Q
P
图2-56
G
A B
C
F
E
D
答：13人。

提示：先算出红裙子的人数及穿白上衣和红裙子的人数。

6、1001！的末尾有几个“0”？【解】因为因数中有几个“10”，就有几个“0”， 1001=1001100099921⨯⨯⨯⨯⨯！… 因为，100100
[
]20()525
=个，[]=4(个) 所以1001！的末尾有共有20+4=24（个）“0”。

7、2000！的末尾有几个“0”？
【解】=20001999199821⨯⨯⨯⨯⨯2000！… 因为，2000200020002000
[
]525125625
+[]+[]+[]=400+80+16+3=499（个）
所以2000！的末尾有共有499个 “0”。

8、对于a 100=！2M ，M 不整除2， 求a =？
【解】以为23456100100100100100100
[
][][][][][]97222222+++++= 所以a=97
9、红、黄、蓝变色灯的拉线开关是这样设计的：接上电源即出现红色，卡第一次开关时灯色由红变黄，拉第二次开关时，灯色由黄变蓝，拉第三次灯色由黄变蓝，拉第三次开关时有蓝变红，如此循环往复。

现对编号为1、2、3、……，2000的2000盏灯接上电源，先拉2的倍数的灯，再拉编号为3的倍数的灯，最好将编号为5的倍数的灯也一次拉一下。

三次拉完后，黄色的灯还剩多少？
①2000
[]=10002D F G +++=A
②2000
[]=6663D E G +++=B
③2000
[]=4005
E F G +++=C
④2000
6D+G=[]=333
⑤2000
15E+G=[]=133
⑥2000
10F+G=[]=200
⑦200030
G=[]=66
⨯(①+②+③)-2(④+⑤+⑥)+3⑦
=(1000+666+400)-2(333+133+200)+366=932
5
3
2
G
F
E
D
C
B
A
10、1~100盏灯，全部关着，先拉3的倍数的灯，再拉5的倍数的灯，最后拉7的倍数的灯，问最后剩几盏灯？
①1000
[
]=3333D F G +++=A ②1000
[]=2005D E G +++=B
③1000
[]=1427
E F G +++=C
④1000
15D+G=[]=66
⑤1000
35E+G=[]=28
⑥1000
21F+G=[]=47
⑦1000105
G=[]=9
(①+②+③)-2(④+⑤+⑥)+4⑦=429（盏）
答：最后有429盏灯亮着。

11、“姑苏城外寒山寺，夜半钟声到客船。

”每年除夕，寒山寺都会吸引大批的中外游客观光旅游，祈福。

据说，寒山寺上有三口钟，金钟、银钟、铜钟，平日许愿只需敲铜钟一口，但除夕这天，三口钟齐鸣。

金钟每隔4秒敲一声，银钟每隔5秒敲一声，铜钟每隔6秒 一声。

如果新年一开始，三口钟同时开始敲，如果要听到356次钟声，请问钟声持续了多久？
【解】设要听到356次钟声，请问钟声持续了x 秒？
金钟：
14x + 银钟：15x +
铜钟：16x +
金、银：120x
+
金、铜：112x
+
银、铜：130x
+
金、银、铜:160x
+
3+3+1=45620123060
x x x x x x x
∴+++++++有（）（）（）365
解得：780()=13x =秒分钟。

答：若要听到356次钟声，请问钟声持续了13分钟。

7
5
3
G
F
E
D
C
B
A
12、200以内，既不是5、也不是7、还不是9、又不是11的倍数的自然数有几个？ 【解】第一层：200200200200[]=40[]=28[]=22[]=1857911
， ， ， 第二层：200200200200[
]=5[]=4[]=3[]=3575951179200200[]=2[]=2711911⨯⨯⨯⨯⨯⨯， ， ， ，， ； 第三层：200200200200[
]=[]=[]=[]=0579571159117911
⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 第四层：200[]=057911⨯⨯⨯ ++22+18-+++++++（4028）（543322）（22）=111(个)
答：这样的自然数共有111个.
13：从1至2012中任取若干个数 ，并且保证其中任意5个数之和都是15 的倍数，最多可以取出多少个数？
解析：15的倍数有201213415⎡⎤=⎣⎦
（个），所以最多可取出134个。

14：函数y=[x]+5（-0.5＜x ＜2.5）的值域为————
解析：{0，1，2，3}。