山西省怀仁县高一数学下学期第二次月考试题(实验班)

2016-2017学年第二学期高一年级第二次月考数学试题（Ⅰ）
时长：120分 分值：150分
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)
1．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( )
A ．75°
B ．45°
C ．60°
D ．30°
2．已知△ABC 中，a ＝4，b ＝43，A ＝30°，则B 等于( )
A ．30°
B ．30°或150°
C ．60°
D ．60°或120°
3．已知三角形的三边长分别为a ，b ，a 2
＋ab ＋b 2
，则三角形的最大内角( )
A ．135°
B ．120°
C ．60°
D ．90°
4．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c 设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )
A.π6
B.π3
C.π2
D.2π3 5．在△ABC 中，B ＝60°，b 2
＝ac ，则这个三角形是( )
A ．等边三角形
B ．不等边三角形
C ．等腰三角形
D ．直角三角形 6．△ABC 中，已知sin B ＝1，b ＝3，则此三角形( )
A ．无解
B ．只有一解
C ．有两解
D ．解的个数不确定
7．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，且关于x 的方程(a 2
＋bc )x 2
＋2b 2
＋c 2
x ＋1＝0有两个相等的实数根，则A 的度数是( )
A ．120°
B ．90°
C ．60°
D ．30°
8．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2
A ＋cos2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )
A ．10
B ．9
C ．8
D ．5 9．已知数列1，，
，
，…，
，…，则3
是它的（ ）
A ． 第22项
B ． 第23项
C ． 第24项
D ． 第28项
10．已知数列{}n a ，2
2103n a n n =-+，它的最小项是（ ）
A. 第一项
B. 第二项
C. 第三项
D. 第二项或第三项 11．在数列{a n }中，a 1＝－2，a n ＋1＝1＋a n
1－a n
，则a 2 017＝( )
A ．－2 B
．－13 C ．－1
2
D ．3
12．数列252211L ，，，，的一个通项公式是（ ）
A. 33n a n =-
B. 31n a n =-
C. 31n a n =+
D. 33n a n =+二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13. ABC ∆中，若b=2a , B=A+60°,则A= 14.
如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为________． 15.已知数列{}n a ，85,11n a kn a =-=且，则17a = . 16.已知数列{}n a 满足12a =-，1221n n n a a a +=+-，则4a = .
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)在△ABC 中，已知c ＝2，b ＝23
3，B ＝45°，解此三角形．
18．(12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2C ＝－1
4
.
(1)求sin C 的值；
(2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时，求b 及c 的长．
19．(12分)已知A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若cos B cos C －sin B sin C ＝12
. (1)求A ；
(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积． 20．(12分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝
n
n ＋1
a n . (1)写出数列{a n }的前5项； (2)猜想数列{a n }的通项公式； (3)画出数列{a n }的图象．
21．(12分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )(n ∈N *
)．求数列的通项a n .
22．(12分)设函数f (x )＝cos(2x ＋π3
)＋sin 2
x .
(1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；
(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13，f (C 2)＝－1
4
，且C 为锐角，求sin A .
高一数学实验班答案
1---5 CDBBA 6---10 DCDBD 11---12 AB 13.30
o
14.
56
2
15.29 16.25
17．【解】由正弦定理得sin C ＝
c sin B
b
＝
2sin 45°23
3
＝3
2. 又因为0°＜C ＜180°，且b ＜c ， 所以C ＝60°或C ＝120°.
当C ＝60°时，A ＝180°－(60°＋45°)＝75°， a ＝b sin A sin B ＝23
3sin 75°sin 45°＝1＋3
3
；
当C ＝120°时，A ＝180°－(45°＋120°)＝15°， a ＝b sin A sin B ＝23
3sin 15°sin 45°＝1－3
3
.
18.解析 (1)∵cos2C ＝1－2sin 2
C ＝－14
，0<C <π，
∴s in C ＝
104
. (2)当a ＝2,2sin A ＝sin C 时， 由正弦定理a sin A ＝c
sin C ，得c ＝4.
由cos2C ＝2cos 2
C －1＝－14及0<C <π，
得cos C ＝±
64
. 由余弦定理c 2
＝a 2
＋b 2
－2ab cos C ，得b 2
±6b －12＝0(b >0)，解得b ＝6或b ＝2 6.
故⎩⎨⎧
b ＝6，
c ＝4
或⎩⎨
⎧
b ＝26，
c ＝4.
19.解析 (1)∵cos B cos C －sin B sin C ＝1
2
，
∴cos(B ＋C )＝1
2
.
∵A ＋B ＋C ＝π，∴cos(π－A )＝12.∴cos A ＝－1
2.
又∵0<A <π，∴A ＝2π
3
.
(2)由余弦定理，得a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc ·cos A . 则(23)2＝(b ＋c )2
－2bc －2bc ·cos 2π3.
∴12＝16－2bc －2bc ·(－1
2)．∴bc ＝4.
∴S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×4×3
2＝ 3.
20.【解析】 (1)a 1＝1，a 2＝
11＋1×1＝1
2
， a 3＝
21＋2×12＝13， a 4＝31＋3×13＝14， a 5＝41＋4×14＝1
5
. (2)猜想：a n ＝1n
.
(3)图象如下图所示：
【解析】解法一：(累乘法)∵a n ＝n (a n ＋1－a n )，即
a n ＋1a n ＝n ＋1
n
， ∴a 2a 1＝21，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n a n －1＝n
n －1
. 以上各式两边分别相乘，得a n a 1＝21×32×43×…×n n －1
＝n .又a 1＝1，∴a n ＝n .
解法二：(逐商法) 由
a n a n －1＝n n －1知，a 2a 1＝21，a 3a 2＝32，a 4a 3＝4
3
，…， a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n －1a n －2·a n a n －1＝1×21×32×43×…×n －1n －2×n
n －1
＝n .
22.解析 (1)f (x )＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x
2
＝12co s2x －32sin2x ＋12－12cos 2x ＝12－3
2sin2x . 所以当2x ＝－π2＋2k π，即x ＝－π
4
＋k π(k ∈Z )时，
f (x )取得最大值，f (x )最大值＝1＋3
2
， f (x )的最小正周期T ＝
2π
2
＝π， 故函数f (x )的最大值为1＋3
2
，最小正周期为π.
(2)由f (C 2)＝－14，即12－32sin C ＝－14，解得sin C ＝32，又C 为锐角，所以C ＝π
3
.
由cos B ＝13，求得sin B ＝22
3
.
由此sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝223×12＋13×32＝22＋3
6
.。