函数零点的判断及其运用三注意

函数零点的判断及其运用三注意
一知识篇
1注意函数的零点与方程的根的关系：
一般地，对于函数()y f x =（x D ∈）我们称方程()0f x =的实数根x 也叫做函数的零点，=g 的根或根的个数就是求函数()()y f x g x =-的零点
2注意函数的图像与方程的根的关系：
一般地，函数()y f x =（x D ∈）x ()0f x ==g 的根，就是求函数
y ＝f 与y =g 的图像的交点或交点个数，或求方程()()y f x g x =
-的图像与x 轴交点的横坐标
3注意判断一个函数是否有零点的方法：
如果函数()y f x =在区间[a,b]上图像是连续不断的曲线，并且有()()0f a f b ⋅<，那么，函数()y f x =在区间（a,b ）上至少有一个零点，即至少存在一个数(,)c a b ∈使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的一个根对于我们学习的简单函数，可以借助()y f x =图像判断解的个数，或者把()f x 写成()()g x h x -，然后借助()y g x =、()y h x =的图像的交点去判断函数()f x 的零点情况
二运用篇
1判断函数零点注意构造新函数
[例1]已知二次函数2()f x ax bx c =++对于x 1、x 2∈R ，且x 1＜x 2时12()()f x f x ≠，求证：方程()f x ＝121[()()]2
f x f x +有不等实根，且必
有一根属于区间（x 1，x 2）
解：设构造函数F （x ）＝()f x －121[()()]2
f x f x +，则方程 ()f x ＝121[()()]2
f x f x +①与方程F （x ）＝0②等价 ∵F（x 1）＝1()f x －121[()()]2f x f x +＝121[()()]2
f x f x - F （x 2）＝2()f x －121[()()]2f x f x +＝121[()()]2
f x f x -+ ∴F（x 1）·F（x 2）＝－2121[()()]4
f x f x -，又12()()f x f x ≠ ∴F（x 1）·F（x 2）＜0
故方程②必有一根在区间（x 1，x 2）＝F （x ）在x 轴上、下方均有分布，所以此抛物线与x 轴相交于两个不同的交点，即方程②有两个不等的实根，从而方程①有两个不等的实根，且必有一根属于区间（x 1，x 2）
点评：本题由于方程是()f x ＝121[()()]2
f x f x +，其中因为有()f x 表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明()f x 的图像与x 轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证1()f x 2()f x ＜0，（x ）＝()f x －121[()()]2f x f x +的图像与x 轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在
2判断函数零点要注意函数图象的连续性
[例2]试确定方程322420x x x --+=最小根所在的区间，并使区间两个端点是两个连续的整数
分析：构造函数()f x ＝32242x x x --+，我们可以从函数式中发现其自变量没有任何限制,也就是说其函数图象是连续的判断
一个函数在一个区间是否有零点,首先要保证图像是连续不断的曲线在得到这一保证后就可以计算()f x 的自变量x 取整数值时的函数值，根据其符号，确定方程根的个数及根的分布
解：令()f x ＝32242x x x --+
∵(3)f -＝－54－9＋12＋2＝－49＜0；(2)f -＝－16－4＋8＋2＝－10＜0；
(1)f -＝－2－1＋4＋2＝3＞0；(0)f ＝0－0－0＋2＝2＞0； (1)f ＝2－1－4＋2＝－1＜0；(2)f ＝16－4－8＋2＝6＞0 根据(2)f -·(1)f -＜0，(0)f ·(1)f ＜0，(1)f ·(2)f ＜0 可知()f x 的零点分别在区间（－2，－1），（0,1），（1,2）内因为方程是一个一元三次方程，所以它最多有三个根，所以原方程的最小根在区间（－2，－1）内
点评：计算一元高次函数值可借助于计算器来完成，在实数范围内一元n 次方程最多有n 个实根，当然本题也可以用因式分解方法来解如:32242x x x --+
()()()22121221222-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---=x x x x x ()()
22212-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x 所以
32242x x x --+＝0有三个根：12
3函数零点的运用要注意数形结合思想的渗透
[例3]已知函数0)1(),1(2)(2=<<++=f b c c bx x x f ，且方程01)(=+x f 有实根1求证：-3<c≤-1,b≥02若m 是方程01)(=+x f 的一个实根，判断)4(-m f 的正负并加以证明
分析：（1）题中条件涉及不等关系的有1<<b c 和方程01)(=+x f 有实根
及一个等式0)1(=f ，通过适当代换及不等式性质可解得；（2）本小题只要判断)4(-m f 的符号，因而只要研究出4-m 值的范围即可定出)4(-m f 符号
1证明：由0)1(=f ，得12bc=0,解得21+-=c b ，又1<<b c ， 1c c >+->21,解得313-<<-c 又由于方程01)(=+x f 有实根，即0122=+++c bx x 有实根， 故0)1(442≥+-=∆c b 即0)1(4)1(2≥+-+c c 解得3≥c 或1-≤c ∴13≤<-c ，由2
1+-
=c b ，得b ≥0 （2）
c bx x x f ++=2)(2=)1)(()1(2--=++-x c x c x c x ∵01)(<-=m f ，∴c<m<1（如图）
∴c—4<m —4<—3<c∴)4(-m f 的符号为正
点评：二次函数值的符号，可以求出其值判断，也可以灵活运用二次函数的图像及性质解题。