高考数学复习 第02课时 第一章 集合与简易逻辑-集合的运算名师精品教案

第02课时：第一章 集合与简易逻辑—集合的运算
一．课题：集合的运算
二．教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握集合问题的常规处理方法． 三．教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．
四．教学过程：
（一）主要知识：
1．交集、并集、全集、补集的概念；
2．A B A A B =⇔⊆ ，A B A A B =⇔⊇ ；
3．()U U U C A C B C A B = ，()U U U C A C B C A B = ．
（二）主要方法：
1．求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用；
2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题；
3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．
（三）例题分析：
例1．设全集{}
|010,U x x x N *=<<∈，若{}3A B = ，{}1,5,7U A C B = ，{}9U U C A C B = ，则A ={}1,3,5,7，B ={}2,3,4,6,8．
解法要点：利用文氏图．
例2．已知集合{}32|320A x x x x =++>，{}
2|0B x x ax b =++≤，若 {}|02A B x x =<≤ ，{}|2A B x x =>- ，求实数a 、b 的值．
解：由32320x x x ++>得(1)(2)0x x x ++>，∴21x -<<-或0x >，
∴(2,1)(0,)A =--+∞ ，又∵{}|02A B x x =<≤ ，且{}|2A B x x =>- ， ∴[1,2]B =-，∴1-和2是方程20x ax b ++=的根，
由韦达定理得：{1212a b -+=--⨯=，∴{
12a b =-=-． 说明：区间的交、并、补问题，要重视数轴的运用．
例3．已知集合{(,)|20}A x y x y =-=，1{(,)|0}2
y B x y x -==-，则A B = φ；
A B = {(,)|(2)(1)0}x y x y y --=；（参见《高考A 计划》考点2“智能训练”第6题）． 解法要点：作图．
注意：化简{(,)|1,2}B x y y x ==≠，(2,1)A ∈．
例4．（《高考A 计划》考点2“智能训练”第15题）已知集合
222{|(1)(1)0}A y y a a y a a =-++++>，215{|,03}22
B y y x x x ==
-+≤≤， 若A B φ= ，求实数a 的取值范围． 解答见教师用书第9页．
例5．（《高考A 计划》考点2“智能训练”第16题）已知集合
{}2(,)|20,A x y x mx y x R =+-+=∈，{}(,)|10,02B x y x y x =-+=≤≤， 若A B φ≠ ，求实数m 的取值范围．
分析：本题的几何背景是：抛物线22y x mx =++与线段1(02)y x x =+≤≤有公共点，求实数m 的取值范围．
解法一：由{22010
x mx y x y +-+=-+=得2(1)10x m x +-+= ① ∵A B φ≠ ，∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解，
首先，由2(1)40m ∆=--≥，解得：3m ≥或1m ≤-．
设方程①的两个根为1x 、2x ，
（1）当3m ≥时，由12(1)0x x m +=--<及121x x ⋅=知1x 、2x 都是负数，不合题意；
（2）当1m ≤-时，由12(1)0x x m +=-->及1210x x ⋅=>知1x 、2x 是互为倒数的两个正数，
故1x 、2x 必有一个在区间[0,1]内，从而知方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解， 综上所述，实数m 的取值范围为(,1]-∞-．
解法二：问题等价于方程组{
221y x mx y x =++=+在[0,2]上有解， 即2
(1)10x m x +-+=在[0,2]上有解，
令2()(1)1f x x m x =+-+，则由(0)1f =知抛物线()y f x =过点(0,1)，
∴抛物线()y f x =在[0,2]上与x 轴有交点等价于2(2)22(1)10f m =+-+≤ ① 或22(1)401022(2)22(1)10
m m f m ∆=--≥⎧-⎪<<⎨⎪=+-+>⎩ ② 由①得32m ≤-，由②得312
m -<≤， ∴实数m 的取值范围为(,1]-∞-．
（四）巩固练习：
1．设全集为U ，在下列条件中，是B A ⊆的充要条件的有 （ D ）
①A B A = ，②U C A B φ= ，③U U C A C B ⊆，④U A C B U = ，
()A 1个 ()B 2个 ()C 3个 ()D 4个
2．集合{(,)|||}A x y y a x ==，{(,)|}B x y y x a ==+，若A B 为单元素集，实数a 的取值范围为[1,1]- ．。