无穷限的广义积分的审敛法

定理5 设函数 f ( x) 在区间 [a,) 上连续，
如果
f ( x) dx 收敛；则
f
(
x
)dx
也收敛．
a
a
证 令 ( x) 1 ( f ( x) f ( x) ).
2
( x) 0，且 ( x) f ( x) , f ( x)dx 收敛, a
(
x
)dx
也收敛
.
但 f ( x) 2 ( x) f ( x) ,
一、判别下列广义积分 的收敛性：
1.
0
x4
x2 x2
dx; 1
2 dx
3. 1 (ln x)3 ;
2.
1
sin
1 x2
dx;
2
dx
4.
;
1 3 x2 3x 2
二、用 函数表示下列积分，并 指出这些积分的 收敛范围：
1. e xn dx (n 0); 0
2. 1(ln 1 ) p dx. 0x
f
(
x
)dx
也发散．
a
a
证
设 a b ，由 0 f ( x) g( x)及
g( x)dx
a
收敛，得
b
b
f ( x)dx g( x)dx g( x)dx.
a
a
a
即 F (b) b f ( x)dx 在 [a,) 上有上界． a
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由定理１知
f
(
x
)dx
收敛．
a
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定理2 (比较审敛原理 ) 设函数 f ( x)、g( x) 在
区间[a,) 上连续，如果 0 f ( x) g( x) (a
x ),并且
g(
x
)dx
收敛，则
f ( x)dx
a
a
也收敛；如果 0 g( x) f ( x) (a x ),并
且
g(
x
)dx
发散，则
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一、无穷限的广义积分的审敛法
不通过被积函数的原函数判定广义积分收敛 性的判定方法.
定理１ 设函数 f ( x) 在区间 [a,) 上连续，
且 f ( x) 0．若函数 F ( x)
x
f (t)dt
a
在 [a,) 上有界，则广义积分
f
(
x
)dx
收敛．
a
由定理1，对于非负函数的无穷限的广义积分 有以下比较收敛原理．
(2) lim x
x2
(e x x s1 )
lim
x
x s1 ex
0,
(s)
根据极限审敛法1, I2 也收敛.
由 (1), (2) 知
e x x s1dx 对 s 0 均收敛. 0 o
s
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－函数的几个重要性质：
１．递推公式 (s 1) s(s) (s 0). ２．当 s 0 时，(s) . 3．余元公式 (s)(1 s) (0 s 1).
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三、证明（其中 n 为自然数）:
(2n) 22n1 (n)(n 1).
2
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练习题答案 一、1、收敛； 2、收敛； 3、发散； 4、收敛； 二、 1、 1 ( 1 ), n 0;
nn 2、 ( p 1), p 1.
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解
0
3
1 x4 1
3
1 x4Βιβλιοθήκη 1 x4/3 ,p 4 1, 3
根据比较审敛法１，
广义积分 dx 收敛. 1 3 x4 1
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定理4 (极限审敛法１) 设函数 f ( x) 在区间 [a,)
(a 0) 上连续，且 f ( x) 0. 如果存在常数 p 1，
使得 lim x p f ( x) 存在，则
常数a 0) 的收敛性.
解 eax sin bx eax ,而 eaxdx 收敛. 0
eax sin bx dx 收敛. 所以所给广义积分收敛. 0
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二、无界函数的广义积分的审敛法
定理6 (比较审敛法2) 设函数 f ( x) 在区间 (a,b]
上连续，且 f ( x) 0, lim f ( x) .如果存在 xa0
2.当 s 1 0 时被积函数在点 x 0 的 右领域内无界 .
设 I1
1 e x x s1dx,
0
I2
e x x s1dx,
1
(1) 当 s 1 时, I1 是常义积分; 当 0 s 1 时,
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ex
x s1
1 x 1 s
1 ex
1 x 1 s
,
而 1 s 1, 根据比较审敛法 2, I1 收敛.
常数
M
0 及 q 1，使得
f
(
x)
(
x
M a)q
(a
x
b), 则广义积分 b f ( x)dx 收敛；如果存在常数 a
N
0 及 q 1，使得
N f ( x) ( x a)q (a
x b),
则广义积分 b f ( x)dx 发散. a
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定理７(极限审敛法2) 设函数 f ( x) 在区间 (a,b] 上连续，且 f ( x) 0, lim f ( x) .
如果 0 g( x) f ( x), 且
g(
x
)dx发散,
a
则
f
(
x
)dx
必定发散
.
a
如果
f
(
x
)dx
收敛，由第一部分知
a
g(
x
)dx
也收，这与假设矛盾．
a
例如，广义积分
a
dx xp
(a
当 0)当
p P
1 时收敛； 1 时发散．
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定理3 (比较审敛法１) 设函数 f ( x) 在区间
1
sin
例7 判别广义积分 3 xdx 的收敛性. 1x
解
sin 1 x
1 ,而
1 dx 收敛，
x
x ０x
根据比较审敛原理,
1
sin
1 x
dx
收敛，
0x
1 sin
从而 1 xdx 也收敛． 0x
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三、 函数
定义 (s) ex xs1dx (s 0) 0
特点: 1.积分区间为无穷;
sin s
４．在 (s) ex xs1dx 中，作代换 x u2， 0
有 (s) 2 eu2 u2s1du. 0
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四、小结
广义积分审敛法
无穷限的广义积分审敛法
无界函数的广义积分审敛法
比较审敛法１ 极限审敛法１ 比较审敛法２ 极限审敛法２
绝对收敛
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练习题
a
b
b
b
f ( x)dx 2 ( x)dx f ( x)dx,
a
a
a
即
f ( x)dx 2 ( x)dx f ( x) dx.
收敛.
a
a
a
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定义
满足定理5条件的广义积分
a
f
( x)dx
称为绝对收敛 .
绝对收敛的广义积分
f
(
x
)dx
必定收敛．
a
例5 判别广义积分 eax sin bxdx (a,b 都是 0
[a,) (a 0) 上连续，且 f ( x) 0. 如果
存在常数
M
0及
p 1，使得
f (x)
M xp
(a
x
),则
a
f
( x)dx收敛；如果存在
常数 N 0 ，使得 f ( x) N (a x )， x
则
a
f
( x)dx
发散．
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例１ 判别广义积分 dx 的收敛性. 1 3 x4 1
xa0
如果存在常数 0 q 1，使得 lim ( x a)q f ( x) xa0 存在, 则广义积分 b f ( x)dx 收敛； a
如果存在常数 q 1，使得 lim ( x a)q f ( x) xa0
d 0 (或 lim ( x a)q f ( x) ), 则广义积 xa0
/2
x
2
dx
的收敛性
.
解
lim
x
x
x3 1
/2
x
2
lim x2 x 1
x x2
,
根据极限审敛法１，所给广义积分发散．
例４ 判别广义积分 arctan xdx 的收敛性.
1
x
解 lim x arctan x lim arctan x ,
x
x
x
2
根据极限审敛法１，所给广义积分发散．
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f
(
x
)dx
收敛；
x
a
如果 lim xf ( x) d 0 (或 lim xf ( x) ), 则
x
x
f
(
x
)dx
发散．
a
例２ 判别广义积分 dx 的收敛性. 1 x 1 x2
解 lim x2 1 1, 所给广义积分收敛．
x
x 1 x2
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例３
判别广义积分
1
x3 1
分 b f ( x)dx 发散． a
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例6 判别广义积分 3 dx 的收敛性. 1 ln x 解 被积函数在点 x 1的左邻域内无界．
由洛必达法则知
lim ( x 1) 1
x 1 0
ln x
lim
x 1 0
1 1
1 0,
x
根据极限审敛法2,所给广义积分发散.
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