高二数学暑假综合练习二

【2019最新】精选高二数学暑假综合练习二
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．
1．已知集合A＝{x|x2＜3x＋4，xR}，则A∩Z中元素的个数为 ___________．2．已知＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则ab＝___________．
3．为了调查城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6，12，18．若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为 ___________．
4．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各参加其中一个小组，且他们参加各个兴趣小组是等可能的，则甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率为___________．5．已知非零向量a，b满足|a|＝|a＋b|＝1，a与b夹角为120°，则向量b的模为___________．
6．在平面直角坐标系xOy中，已知焦点为F的抛物线y2＝2x
O的距离为，则线段PF的长为___________．
7．已知等比数列{an}的公比q＝－，Sn为其前n项和，则＝
8．右图是一个算法的流程图，最后输出的k＝___________．
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a
c＝,3)，则△ABC的面积为 ___________．
10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C
A(1，0)，B(3，0)两点，且与直线x－y＋1＝0相切，则圆C．11．已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数k的取值范围
(第8题)
是_________．
12．已知α，β为平面，m，n为直线，下列命题：
①若m∥n，n∥α，则m∥α；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若α∩β＝n，m∥α， m∥β，则m∥n；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m
⊥n．
其中是真命题的有___________．(填写所有正确命题的序号)
13．已知直线x＝a(0＜a＜)与函数f(x)＝sinx和函数g(x)＝cosx的图象分别交于M，N两点，若MN＝，则线段MN的中点纵坐标为___________．
14．已知函数f(x)＝2x2＋m的图象与函数g(x)＝ln|x|的图象有四个交点，则实数m的取值范围为___________．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时
应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知平面向量a ＝(1，2sin θ)，b ＝(5cos θ，3)．
（1）若a ∥b ，求sin2θ的值；
（2）若a ⊥b ，求tan(θ＋)的值．
16．如图，已知斜三棱柱ABC －A1B1C1中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点．
（1）若平面ABC ⊥平面BCC1B1，求证：AD ⊥DC1；
（2）求证：A1B//平面ADC1．
17．经观察，人们发现鲑鱼在河中逆流匀速行进时所消耗的能量为E ＝kv3t ，其中v
为鲑鱼在静水中的速度，t 为行进的时间(单位：h)，k 为大于零的常数．如果水流的速度为3 km/h ，鲑鱼在河中逆流行进100 km ．
（1）将鲑鱼消耗的能量
E 表示为v 的函数；
（2）v 为何值时，鲑鱼消耗的能量最少? 18．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：＋＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，离心率为，右准线为l ：x ＝4．M 为椭圆上不同于A ，B 的一点，直线AM 与直线l 交于点P ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若＝，判断点是否在以PM 为直径的圆上，并说明理由；B
（3）连结PB 并延长交椭圆C 于点N ，若直线MN 垂直于x 轴，求点M 的坐标．
19．设t ＞0，已知函数f (x)＝x2(x － （1）求函数f (x)的单调区间；
（2）设函数y ＝f(x)在点P(x0，y0)(0，1]时，k ≥－恒成立，求t 的最大值；
（3）有一条平行于x 轴的直线l 恰好与函数y ＝f(x)的图象有两个不同的交点C ，D ，若四边形ABCD 为菱形，求t 的值．
A B C D A 1
B 1
C 1
(第16题) (第18题)
20．已知数列{an}的首项a1＝a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：S＝3n2an＋S，an≠0，n≥2，n∈N*．
（1）若数列{an}是等差数列，求a的值；
（2）确定a的取值集合M，使aM时，数列{an}是递增数列．
21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请
在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．选修4—1：几何证明选讲
如图，CP 是圆O 的切线，P 为切点，直线CO 交圆O 于A ，B 两点，AD ⊥CP ，垂足为D ．
求证：∠DAP ＝∠BAP ．
B ．选修4—2：矩阵与变换 设a ＞0，b ＞0，若矩阵A ＝ 把圆
C ：x2＋y2＝1变换为
椭圆E ：＋＝1．
（1）求a ，b 的值；
（2）求矩阵A 的逆矩阵A －1．
C ．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆C ：ρ＝4cos θ被直线l ：ρsin(θ－)＝a 截得的弦长为2，求实数a 的值．
D ．选修4—5：不等式选讲
已知a ，b 是正数，求证：a2＋4b2＋≥4．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作
答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．如图，PA⊥平面ABCD ，AD//BC ，∠ABC＝90°，AB ＝BC ＝PA ＝1，AD ＝3，E 是
PB 的中点．
（1）求证：AE ⊥平面PBC ；
（2）求二面角B －PC －D 的余弦值．
23．在一个盒子中有大小一样的7个球，球上分别标有数字1，1，2，2，2，3，3．现
A B D C P O · (第21A 题)
P
从盒子中同时摸出3个球，设随机变量X为摸出的3个球上的数字和．（1）求概率P(X≥7)；
（2）求X的概率分布列，并求其数学期望E(X)．
高二暑假综合练习（二）参考答案
一、填空题．
1．4 2．－6 3．4 4． 5．1
6． 7．－5 8．11 9．,6) 10． 2
11．[，1) 12．②③④ 13． 14．(－∞，－－ln2)
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或
演算步骤．
15．（本小题满分14分）
解：（1）因为a∥b，所以1×3－2sinθ×5cosθ＝0，…………………3分
即5sin2θ－3＝0，所以sin2θ＝．…………………6分
（2）因为a⊥b，所以1×5cosθ＋2sinθ×3＝0．…………………8分
所以tanθ＝－．…………………10分
所以tan(θ＋)＝,1－tanθtan)＝．…………………14分
16．（本小题满分14分）
证明：（1）因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC．
因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，ADÌ平面ABC，所以AD⊥平面BCC1B1．…………………5分
因为DC1Ì平面BCC1B1，所以AD⊥DC1． (7)
分
（2）(证法一)
连结A1C，交AC1于点O，连结OD，则O为A1C的中点．
因为D为BC的中点，所以OD//A1B． (11)
分
因为OD平面ADC1，A1B平面ADC1，
所以A1B//平面ADC1． (14)
分
(证法二)
取B1C1的中点D1，连结A1D1，D1D，D1B．则D1C1,\d\fo4()\s\up2(∥))BD．所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B// C1D．
因为C1D平面ADC1，D1B平面ADC1，
所以D1B//平面ADC1．
同理可证A1D1//平面ADC1．
因为A1D1平面A1BD1，D1B平面A1BD1，A1D1∩D1B＝D1，
所以平面A1BD1//平面ADC1． (11)
分
因为A1B平面A1BD1，所以A1B//平面ADC1．…………………14分17．（本小题满分14分）
解：（1）鲑鱼逆流匀速行进100km所用的时间为t＝．…………………2分所以E＝kv3t＝kv3＝(v(3，＋¥))．…………………6分（2）E¢＝100k ＝100k．…………………10分
令E¢＝0，解得v＝4.5或v＝0(舍去)．
因为k＞0，v＞3，所以当v(3，4.5)时，E¢＜0，当v(4.5，＋¥)时，E¢＞0．故E＝在(3，4.5)上单调递减，在(4.5，＋¥)上单调递增．…………13分
所以，当v＝4.5时，E取得最小值．
即v＝4.5km/h时，鲑鱼消耗的能量最小．…………………14分18．（本小题满分16分）
解：（1）由＝，,＝4．))解得所以b2＝3．
所以椭圆方程为＋＝1． (4)
分
（2）因为＝，所以xM＝1，代入椭圆得yM＝，即M(1，)，
所以直线AM为：y＝(x＋2)，得P(4，3)，
所以＝(－1，)，＝(2，3)．…………………8分
因为·＝≠0，所以点B不在以PM为直径的圆上．…………………10分（3）因为MN垂直于x轴，由椭圆对称性可设M(x1，y1)，N(x1，－y1)．直线AM的方程为：y＝(x＋2)，所以yp＝，
直线BN的方程为：y＝(x－2)，所以yp＝，…………………12分
所以＝．因为y1≠0，所以＝－．解得x1＝1．
所以点M的坐标为(1，)． (16)
分
19．（本小题满分16分）
解：（1）f ′(x)＝3x2－2tx＝x(3x－2t)＞0，因为t＞0，所以当x＞或x＜0时，f ′(x)＞0，
所以(－∞，0)和(，＋∞)为函数f (x)的单调增区间；
当0＜x＜时，f ′(x)＜0，所以(0，)为函数f (x)的单调减区间．………………4分
（2）因为k＝3x02－2tx0≥－恒成立，所以2t≤3x0＋恒成立，…………………6分
因为x0∈（0，1]，所以3x0＋≥2)＝，
即3x0＋≥，当且仅当x0＝,6)时取等号．
所以2t≤，即t的最大值为,2)．…………………8分
（3）由（1）可得，函数f (x)在x＝0处取得极大值0，在x＝处取得极小值－．因为平行于x轴的直线l恰好与函数y＝f (x)的图象有两个不同的交点，
所以直线l的方程为y＝
－．…………………10分
令f (x)＝－，所以x2(x－t)＝－，解得x＝或x＝－．
所以C（，－），D（－，－）． (12)
分
因为A（0，0），B（t，0）．易知四边形ABCD为平行四边形．
AD＝)2＋(－)2)，且AD＝AB＝t，
所以)2＋(－)2)＝t，解得：t＝,2)． (16)
分
20．（本小题满分16分）
解：（1）在S＝3n2an＋S中分别令n＝2，n＝3，及a1＝a得
(a＋a2)2＝12a2＋a2，(a＋a2＋a3)2＝27a3＋(a＋a2)2，
因为an≠0，所以a2＝12－2a，a3＝3＋2a．…………………2分
因为数列{an}是等差数列，所以a1＋a3＝2a2，即2(12－2a)＝a＋3＋2a，解得a＝3．……4分
经检验a＝3时，an＝3n，Sn＝，Sn－1＝满足S＝3n2an＋S．
（2）由S＝3n2an＋S，得S－S＝3n2an，即(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝3n2an，
即(Sn＋Sn－1)an＝3n2an，因为an≠0，所以Sn＋Sn－1＝3n2，(n≥2)，①……………6分
所以Sn＋1＋Sn＝3(n＋1)2，②
②－①，得an＋1＋an＝6n＋3，(n≥
2)．③………………8分
所以an＋2＋an＋1＝6n＋9，④
④－③，得an＋2－an＝6，(n≥2)
即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列，………10分
因为a2＝12－2a，a3＝3＋2a．
所以an＝…………………12分
要使数列{an}是递增数列，须有
a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，an＜an＋1，且当n为偶数时，an＜an ＋1，
即a＜12－2a，
3n＋2a－6＜3(n＋1)－2a＋6(n为大于或等于3的奇数)，
3n－2a＋6＜3(n＋1)＋2a－6(n为偶数)，
解得＜a＜．
所以M＝(，)，当aM时，数列{an}是递增数列． (16)
分
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：几何证明选讲
证明：因为CP与圆O 相切，所以∠DPA＝∠PBA．………………2分
因为AB为圆O直径，所以∠APB＝90°，
所以∠BAP＝90°－∠PBA．………………6分
因为AD⊥CP，所以∠DAP＝90°－∠DPA，
P
所以∠DAP＝∠BAP．………………10分
B．选修4—2：矩阵与变换
解（1）：设点P（x，y）为圆C：x2＋y2＝1上任意一点，
经过矩阵A变换后对应点为P′（x′，y′）
则＝＝，所以．………………2分
因为点P′（x′，y′）在椭圆E：＋＝1上，
所以＋＝1，这个方程即为圆C方程．………………6分
所以，因为a＞0，b＞0，所以a＝2，b＝．………………8分
（2）由（1）得A＝))，所以A－1＝ 0,0 ,3)))．………………10分
C．选修4—4：坐标系与参数方程
解：因为圆C的直角坐标方程为(x－2) 2＋y2＝4，
直线l的直角坐标方程为x－y＋2a＝0． (4)
分
所以圆心C到直线l的距离d＝＝|1＋a|．………………6分因为圆C被直线l截得的弦长为2，所以r2－d2＝3．
即4－(1＋a)2＝3．解得a＝0，或a＝－2．………………10分
D．选修4—5：不等式选讲
已知a，b是正数，求证：a2＋4b2＋≥4．
证明：因为a，b是正数，所以a2＋4b2≥4ab． (2)
分
所以a2＋4b2＋≥4ab＋≥2)＝4．
即a2＋4b2＋≥4． (10)
分
22．（1）根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1
D(0，3，0)，P(0，0，1)，E(，0
＝(，0，)，＝(0，1，0)，＝(－1
因为·＝0，·＝0，
所以⊥，⊥．
所以AE⊥BC，AE⊥BP．
因为BC，BP平面PBC，且BC∩BP＝B，
所以AE⊥平面PBC． (4)
分
（2）设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0．因为＝(－1，2，0)，＝(0，3，－1)，所以－x＋2y＝0，3y－z＝0．
令x＝2，则y＝1，z＝3．
所以n＝(2，1，3)是平面PCD的一个法向量． (8)
分
因为AE⊥平面PBC，所以是平面PBC的法向量．
所以cos<，n>＝＝,14)．
由此可知，与n的夹角的余弦值为,14)．
根据图形可知，二面角B－PC－D的余弦值为－,14)．………………10分
23．解（1）P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝．
所以P（X≥7）＝. (4)
分
（2）P(X＝6)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝4)＝＝．
所以随机变量X的概率分布列为
…………………………………………8分
所以E(X)＝4×＋5×＋6×＋7×＋8×＝6．………………………10分。